EJERCICIOS MÓDULO 4. Geometría plana. 1) Cuántos vértices tiene un polígono cuyo número total de diagonales es 9?

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1 Seminario Universitario Matemática EJERCICIOS MÓDULO 4 Geometría plana 1) Cuántos vértices tiene un polígono cuyo número total de diagonales es 9? ) Cuántos lados tiene un polígono en el cual la suma de las medidas de los ángulos interiores es cinco veces la suma de las medidas de los ángulos exteriores? 3) Si en un polígono el número de lados es igual al número total de diagonales. La amplitud de sus ángulos interiores: Sumarán 40º; 540º ó 70º? 4) Si el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono es igual a la suma de los ángulos interiores dividido por 40, de cuál polígono se trata? Ayuda: 1R = 90. 5) La razón de la suma de los ángulos interiores de un polígono a la suma de los ángulos exteriores es de 5:1 De qué polígono se trata? 6) Calcular el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm, el radio de los círculos pequeños mide cm. 7) El área de un círculo es 60 π cm menor que el área de uno cuyo radio es 6 cm mayor. Encontrar el radio del círculo más pequeño. 8) Calcular el radio y el área de un círculo cuya longitud de la circunferencia mide 5,1 cm. 9) Calcula el radio y la longitud de un círculo cuya área mide 8,6 dm. 10) Se rodea con una cuerda un balón. A continuación se mide la longitud del trozo de la misma. Cuál es el radio del balón si el trozo de cuerda mide 94,0 cm de longitud? 113

2 Módulo 4: Geometría 11) En la figura α + β = δ y α = β, entonces los ángulos α, β y δ miden respectivamente: a) 90º; 60º y 30º. b) 60º, 30º y 90º. c) 45º, 45º y 90º. d) 10º, 60º y 180º 1) Sobre dos rectas paralelas L1 y L, se graficaron dos triángulos como se indica en la figura, el ABC es equilátero y el BED es isósceles de base BD. Cuánto mide el ángulo α? 13) El lado mayor de un triángulo es 4 cm más largo que el lado menor. El tercer lado tiene 14 cm menos que el triple de la longitud del lado menor. Si el perímetro es30 cm. Cuál es la longitud de cada lado? 14) Cuál de los tres triángulos tiene mayor área? Justificar la respuesta. 15) Los fotógrafos pueden usar ascensores de tijeras para fotos panorámicas, como se muestra en la figura. Las vigas que se cruzan del ascensor forman paralelogramos que se mueven juntos para subir y bajar la plataforma. Utilizando ABCD, cuál es la 16) En el amplitud de B cuando A = 10? KLMN, cuál es el valor de ˆα? 3 α + 50º a) 5º; b) 0º; c) 40º; b) 5º; α + 30º 17) El perímetro de un rectángulo es de 50 cm y el ancho es /3 de la altura. Encontrar las dimensiones del rectángulo. 114

3 Seminario Universitario Matemática 18) El triple de la longitud de un lote rectangular supera en 60 pies al doble del ancho. El perímetro es de 350 pies, determinar el área del lote en m. Ayuda: 1 m 3,8 pies. 19) Un granjero desea encerrar un campo rectangular y dividirlo en tres partes iguales con un cerco, como se observa en la figura. Si la longitud del campo es tres veces el ancho y se requieren 1000 m de cerco, cuáles son las dimensiones del campo? 0) Hallar el área de un rombo si su diagonal mayor mide 4 cm y su diagonal menor mide 3/4 de la diagonal mayor. 1) Si el lado de un cuadrado aumenta 5 cm, su área se multiplica por 4. Cuál era el lado inicial del cuadrado? ) Calcular el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonal mayor y menor miden 8 cm y 6 cm respectivamente. 3) Calcular el lado de un rombo cuyo perímetro es de 40 cm. 4) Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m, c = 1 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c, Hallar su área en cm. 5) El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 m y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área. 6) Hallar el área de un trapecio cuya base mayor mide 4 cm, la base menor mide la tercera parte de la base mayor y la altura mide la cuarta parte de la base mayor. 7) Las farolas de una ciudad tienen la forma que se observa en la imagen. Los cristales de la parte superior tienen 6,7 cm de arista superior, 30,7 cm de arista inferior y 15,4 cm de arista lateral. Los cristales de la parte inferior tienen 30,7 cm de arista superior, 1 cm de arista inferior y 37, cm de arista lateral. Qué cantidad de cristal tiene cada farola? 8) El área de un cuadrado excede a la de un rectángulo en 8 cm. Hallar el lado del cuadrado sabiendo que el ancho del rectángulo es 4 cm más pequeño que el lado del cuadrado y que la altura de aquél es 6 cm mayor que éste. 115

4 Módulo 4: Geometría 9) Cuál es el área de la figura ABCDE siguiente? 30) En un rectángulo ABCD tal que BC = 1 cm, se han dibujado el AEF equilátero. AE = EB = 7 cm, además un rectángulo de ancho igual a la tercera parte de BC y de largo a la mitad de AB. Cuál es el perímetro del área sombreada? 31) Calcular el perímetro y el área de esta figura: 3) Una pista para carreras tiene la forma que se ilustra en la figura, con lados rectos y extremos semicirculares. Si la pista mide en total 4400 m y los dos lados rectos miden 1100 m de largo cada uno. Cuál es el radio de las partes semicirculares aproximado a los metros más cercanos? 33) Obtener el área sombreada en cm de la figura sombreada, sabiendo que: AB = 100 mm y BC = EF = 600mm 116

5 Seminario Universitario Matemática 34) Completar el texto y justificar. Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos isósceles cuyas bases son la diagonal, sin embargo los ángulos en la base de un triángulo miden el doble de los ángulos basales del otro; por lo tanto dicho cuadrilátero se trata de un. 35) Observar el siguiente diagrama, y responder: qué figura geométrica corresponde al recinto 1? 36) La figura coloreada no es un rombo, pero tiene las diagonales perpendiculares. Justificar que también se puede calcular su área mediante la fórmula: Dd. 37) El perímetro de un pentágono regular es 45 cm y su apotema mide 6,4 cm. Cuál es su área? 38) Calcular la apotema de un pentágono de 5 m de lado y 50 m de área. 39) Hallar la amplitud de un ángulo exterior de un octógono regular. 40) El área de un cuadrado es de 304 cm. Calcular el área de un hexágono regular que tiene su mismo perímetro. 41) Se hace un recipiente con un pequeño pedazo de estaño cuadrado cortando un cuadrado de 3 cm de cada esquina y doblando los lados como se observa en la figura. Si el recipiente va a atener un volumen de 48 cm 3, encontrar la longitud del lado del pedazo de estaño original. 117

6 Módulo 4: Geometría Geometría del espacio 4) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un prisma triangular de 7,9 cm de alto y 1,5 cm de arista de la base. 43) Las dimensiones de un tetrabrik son 16,3 cm de alto, 9,6 cm de largo y 6,3 cm de ancho. Cuál es su capacidad? Qué cantidad de material se necesita para su construcción? 44) Calcular el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal regular de 5 cm de arista básica, de 1 cm de altura y 14 cm de arista lateral. 45) Calcular el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 10 cm de arista básica y de 1 cm de altura. 46) Calcular el área lateral y el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 8 cm de arista básica y el área lateral es el doble del área de la base. 47) Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuyas caras laterales con triángulos equiláteros de 4,3 cm de perímetro. 48) Calcular el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal regular de 16 cm de arista básica y 8 cm de arista lateral. 49) Calcular el área total de una pirámide que tiene: por base un rectángulo cuyos lados son de cm y 16 cm, por altura 5 cm, cuyo pie coincide con el centro de simetría de la base. 50) Calcular, en cm 3, el volumen de una pirámide de base cuadrangular si se sabe que el lado de la base mide 0 mm y la altura de la pirámide mide 0,03 m. 118

7 Seminario Universitario Matemática 51) Una lata cilíndrica tiene un volumen de 40 π cm 3 y mide 10 cm de altura. Cuál es el diámetro? 51) Un lápiz tiene forma de prisma hexagonal y tiene en su interior una mina de forma cilíndrica. Si el lápiz tiene 18 mm de largo y 4 mm de lado de la base y la mina tiene 3 mm de ancho, Cuál es el volumen de la parte del lápiz que no está ocupado por la mina? 53) Una lata de conservas cilíndrica tiene 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de la base. Cuál es su capacidad? Qué cantidad de material se necesita para su construcción? Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta? 54) Un joyero tiene 3 esferas sólidas y pequeñas de oro, de mm, 3 mm y 4 mm de radio. El joyero decide fundirlas y hacer una sola esfera con ellas. Cuál será el radio de la esfera resultante? 55) Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6370 km, calcular la superficie y el volumen de nuestro planeta suponiéndolo esférico. 56) Calcular, en cm 3, el volumen de un cono si la altura mide 0,1 m y el radio de la base mide la tercera parte de la altura. 57) Calcula el área lateral y total de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm. 58) Para una fiesta, Luis ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 5 cm de generatriz? 119

8 Módulo 4: Geometría SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Geometría plana 1) El polígono posee 6 vértices. ) El polígono posee n = 1 lados. 3) La suma de los ángulos interiores es 540º. 4) El polígono es un hexágono. 5) El polígono es un dodecágono. 6) El área de la parte sombreada es de 6,83 cm. 7) El radio del círculo más pequeño es r = cm. 8) El radio es r 4 cm y el área del círculo es A = 50,01 cm. 9) El radio es r 3 dm y la longitud de la circunferencia es L 18,85 dm. 10) El radio es r 15 cm. 11) La opción correcta es la b). 1) El ángulo α = 45º. 13) Los lados miden 8 cm, 10 cm y 1 cm. 14) A cargo del alumno. 15) La amplitud del ángulo B = ) La respuesta correcta es b). 17) Las dimensiones son: altura h = 15 cm y ancho a = 10 cm. 18) El área del lote es de 708,75 m. 19) El campo mide 100 m de ancho y 300 m de largo. 0) El área del rombo es de 16 cm. 1) La longitud del lado inicial es de 5 cm. ) El área del rombo es A = 4 cm y el perímetro es P = 0 cm. 3) El lado del rombo es l = 10 cm. 4) El área del trapecio es de cm. 10

9 Seminario Universitario Matemática 5) Los lados no paralelos miden 0 m y el área del trapecio isósceles es de 677,6 m aproximadamente. 6) El área del trapecio es de 96 cm. 7) Cada farola posee 5566,4 cm de cristal aproximadamente. 8) El lado del cuadrado es l = 8 cm. π 9) El área es A total = 6 +. cm. 30) A cargo del alumno. 31) El área de la figura es A = 170,88 m. y el perímetro es P = 61,33 m. 3) El radio de las partes semicirculares es r 350 m. 33) El área sombreada es de 1800 cm. 34) Se trata de un romboide. 35) Cuadrados. 36) A cargo del alumno. 37) El área del pentágono regular es 144 cm. 38) La apotema es a = 4 m. 39) La amplitud de un ángulo exterior de un octógono regular es de 45º. 40) El área del hexágono regular es de 660,43 cm aproximadamente. 41) El lado del pedazo de estaño original es de 10 cm. 11

10 Módulo 4: Geometría Geometría del espacio 4) El área lateral es AL = 35,55 cm, el área total es AT 37,5 cm y el volumen V 3 7,7 cm. 43) La capacidad del envase es V 3 = 985,8 cm y se necesita para su construcción A = 639,30 cm de material. 44) A L = 10 cm ; A T = 74,95 cm ; V = 59,80 cm 3. 45) A L = 60 cm ; A T = 360 cm ; V = 400 cm 3. 46) A L = 18 cm ; V = 147,84 cm 3. 47) V = 15,10 cm 3. 48) A L = 187,84 cm ; A T = 1953,1 cm ; V = 5093,83 cm 3. 49) A T = 1365,0 cm 50) V PIRÁMIDE = 4 cm 3. 51) El diámetro de la lata es d = 4 cm. 5) El volumen de la parte del lápiz que no está ocupado por la mina es V 3 = 61,01 mm. 53) La capacidad de la lata de conservas es V = 1101,68 cm 3 ; se necesita para su construcción A T = 604,44 cm de material, y para la etiqueta A L = 338,98 cm. 54) El radio de la esfera resultante es r = 3 99 mm. 55) El volumen del planeta es V = 1,08 x 10 1 km 3 y el área es A = ,8 km. 56) V CONO = 1076,67 cm 3. 57) A L = 15 π cm y A T = 4 π cm. 58) Utilizó cm de cartón. 1