UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
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- Nicolás Casado Montoya
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1 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo [, b] a al cociente del incremento de la función f() f( f( y el incremento de la variable b a Interpretación geométrica f() f( f( TVM b a Geométricamente la Tasa de Variación Media de f() en [, b ] secante a la curva y f() en los puntos A ( a, f( ) y B ( b, f( ) Si llamamos a la longitud del intervalo [, b] intervalo [ a, a + ] será: a es la pendiente de la recta a, la Tasa de Variación Media de f() en el TVM f() f(a + ) f( Ejemplo. Calcula la TVM de f () en el intervalo [, ] TVM de () f en [, ] f() f() 6 6 Ejemplo. Calcula la tasa de variación media de la función f() en el intervalo [, ] f() f() 0 TVM []
2 . DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Definiciones Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas Llamaremos derivada de f () en el punto «a», y escribiremos f '(, al límite cuándo la TVM de () f en [, ] a. Es decir: f() f( f'( lim a a a de Si llamamos a la diferencia a, entonces a a + Podemos epresar f '( de la siguiente forma: Interpretación geométrica f(a + ) f( f'( lim Geométricamente la derivada de la función f () en a es la pendiente de la recta tangente a la curva y f() en el punto de abscisa a. Ejemplo. Calcula la derivada de la función f () en el punto de abscisa ( + ) f( + ) f() f'() lim lim + lim + lim lim lim (+ ) ( + ) + Df() f'() []
3 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas Ejemplo. Calcula la derivada de la función f() en f(+ ) f() (+ ) f'() lim lim ( + + ) lim lim [ ] 8 + lim (8 + ) lim lim ( 8 + ) 8 D f() f'() 8 Función derivable en un punto Diremos que una función es derivable en un punto a si eiste la derivada f ( Diremos que f() es derivable en un intervalo ], b [ todos los puntos del intervalo ] a, b [ Derivadas laterales a si eiste la derivada de f() para f() f( Llamaremos derivada por la izquierda de f() en a, al límite lim f' ( a ) a a f() f( + Llamaremos derivada por la dereca de f() en a, al límite lim f' ( a ) + a a Una función es derivable en un punto si, y sólo si, eiste la derivada por la izquierda y por la dereca en dico punto y ambas coinciden.. FUNCIÓN DERIVADA Llamaremos derivada de la función f () a la función que a cada valor de la variable le asocia la derivada de f() en dico punto. Se escribe f '() y también Df () Df () f '() f lim ( + ) f( ) Ejemplo. Calculamos la derivada de la función f () f( + ) f() ( + ) f'() lim lim lim + lim ( ) lim + []
4 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas D f() f'(). También se suele escribir: D( ) Ejemplo 6. Calculamos la función derivada de f () f( + ) f() f'() lim lim lim lim + lim ( + )( + + ) ( + + ) ( + ) ( ) + lim lim ( + + ) ( + + ) + + Df () f'(). También se puede escribir: D ( ) Aplicando la definición a las distintas funciones se obtienen las Reglas de derivación. REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES Función Derivada K (constante) 0 n ; n R n n a ; a > 0; a a lna e e log a ln lna []
5 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas Función Derivada sen cos cos sen tg + tg cos arc sen arc cos arc tg + Cálculo de la derivada de una función en un punto a partir de la función derivada Para calcular f '( se calcula la función derivada f '() y se sustituye por a. Ejemplo 7. Calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican f () en f () cos en π d) f () en f () en f () en f '() f'() ( ) 6 80 f () cos en π f'() sen π π f' sen []
6 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas f () en f() f'() f'() 7 d) f () en f () f '() f '(). DERIVADAS DE LAS OPERACIONES Derivada de la suma de funciones. La derivada de la suma (rest de funciones es igual a la suma (rest de la derivada de las funciones [ f () + g()' ] f'() + g'() Derivada del producto de una constante por una función. La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función [ kf() ]' k f'() Derivada del producto de funciones. La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada del primer factor por el segundo sin derivar más el primer factor por la derivada del segundo. [ f (). g()' ] f'(). g() + f(). g'() Derivada del cociente de funciones. La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador por la derivada del denominador y dividido por el denominador al cuadrado. ' f() f'() g() f(). g'() g() [ g() ] Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena [( f o ' g)( ) ] g' ( f( ) ). f' ( ) 6. REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS Aplicando la Regla de la Cadena a las Reglas de derivación de funciones, obtenemos la regla de derivación de las siguientes funciones compuestas: [6]
7 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas Función Derivada n n [ f() ] ; n R n [ f() ] f'() f() [ f() ] f'() f () f'() f() f() f() a a lna f'() f() f() e e f'() log a f() f'() f() lna ln f() f'() f() sen f() f'() cos f() cos f() f'() sen f() tg f() f'() cos f() arc sen f() [ f() ] f'() arc cos f() [ f() ] f'() arc tg f() + [ f() ] f'() [7]
8 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 8. Calcula la derivada de las siguientes funciones potenciales: e) f) g) ) f () f () f () f () f () f () f '() f '() d) f() Antes de derivar epresamos f() en forma potencial f'() ( ) Antes de derivar epresamos f() en forma potencial f () ( ) f '() Ejemplo 9. Calcula la derivada de las siguientes funciones polinómicas: f() f() f() f() f'() f() f'() f() f'() 9 Ejemplo 0. Calcula la derivada de las siguientes funciones: [8]
9 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas f () f () 7 f () 9 Primero epresamos f() como una función potencial, después aplicamos la Regla de derivación de la función potencial. f() f'() f() 7 7 f'() ( 7) f() 9 9 f'() ( 9) Ejemplo. Calcula la derivada de las siguientes funciones: f () f () d) f () f () 8 Primero epresamos f() como una función potencial, después aplicamos la Regla de derivación de la función potencial. f () f () ( ) f '() ( ) f '() 8 8 f () ( 8) f'() [9]
10 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas d) f() ( ) f'() Ejemplo. Calcula la derivada de los siguientes productos: f() e f() e f() ln d) f() e sen Recordemos la Regla de derivación del producto de dos funciones: f() e e ( ) + e e + e e ( + ) f'() e + e f() e f '() e + e e ( + ) f() ln f'() ln + ln + ( + ln) d) f() e sen f'() e sen + e cos e ( sen + cos) Ejemplo. Calcula la derivada de los siguientes cocientes: d) e f() sen f () cos + f() f() Recordemos la Regla de derivación del cociente de funciones e f() e e f'() e ( ) [0]
11 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas sen f () cos cos cos sen f'() cos ( sen) cos + sen cos + tg cos d) + f() f'() f() ( ) ( + ) ( ) ( ) f'() ( ) ( ) + + Ejemplo. Calcula la derivada de las siguientes funciones compuestas: y + ( ) y + sen y e d) y ln ( ) Para calcular la derivada de funciones compuestas tendremos que aplicar la Regla de la Cadena y ( + ) y' ( + ) 0 ( + ) y + es la composición de una función potencial y una La función ( ) polinómica. y + y' + + La función y + es la composición de la función raíz cuadrada y una función polinómica. sen sen y e y' e cos La función sen y e es la composición de la función eponencial y una función trigonométrica. []
12 d) ln ( ) y Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas y' 6 Ejemplo. Calcula la derivada de las siguientes funciones: y sen ln y y ( + ) y sen sen y ' sen cos sen ( ) ln y y' ln ln y ( + ) ( + ) y' 0 ( ) ( ) + ( + ) 0 + Ejemplo 6. Calcula la derivada de las funciones y arctg ( ) y cos ( + ) y tg arctg ( ) y y' + ( ) ( + ) y cos ( + ) y ' [ sen ( + ) ] sen ( + ) y tg y cos cos D D ( ) ( ) []
13 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas Ejemplo 7. + Calcula la derivada de la función f(), en los puntos que se indican: 0 Calculamos la derivada de f(x) f'() ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f' ( ) 6 f'( ) f' ( 0) ( ) Ejemplo 8. Calcula la derivada de f () cos, en los puntos: π 6 π Calculamos la derivada de f(): f'() ( sen) sen π π π f' sen sen 6 6 π π π f' sen sen Ejemplo 9. Calcula la derivada de f '( ) ( ) f ' ( ) f ' f () ln, en los puntos y []
14 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas 7. DERIVADAS SUCESIVAS Llamaremos segunda derivada de la función f() a la derivada de la derivada de f(). Escribiremos f () (f ()) Llamaremos tercera derivada de f() a la derivada de la segunda derivada de f(). Escribiremos f () (f ()) Así sucesivamente, definiríamos la derivada n-ésima de una función. Ejemplo 0. Calcula la segunda derivada de las siguientes funciones: f() 6 f() sen f () + d) f () cos f() 6 Calculamos primero la derivada de f(): f'() Calculamos la derivada de f (): f''() f() sen Calculamos primero la derivada de f(): f '() sen cos sen Calculamos la derivada de f (): ''() f () + f ( cos ) cos Calculamos primero la derivada de f(): f'() + + ( + ) (Epreso la derivada en forma potencial porque la voy a derivar) Calculamos la derivada de f (): f''() ( ) ( ) + ( + ) ( + ) d) f () cos Calculamos primero la derivada de f(): f'() [ sen] sen Calculamos la derivada de f (): ''() f [ cos] cos []
15 Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas Ejemplo. Calcula las derivadas sucesivas de las siguientes funciones polinómicas: f() + f() f() 6 + d) f() + f() + f '() f ''() f '''() f IV () f V () 0 f() f'() f''() 6 f '''() 6 f IV () 0 f() 6 + f'() 6 f ''() f '''() 0 d) f() + f '() 0 f ''() 0 f '''() 0 f iv () 0 f V () 0 f VI () 0 Observa que el orden de la última derivada no nula es igual al grado del polinomio. []
16 8. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas Si una función f() es derivable en a, entonces es continua en a Si f() no es continua en a, entonces no es derivable en a Estudio de la derivabilidad de funciones definidas a trozos Seguiremos los siguientes pasos: º) Calcularemos el dominio de definición (Una función no puede ser derivable en los puntos en los que no está definid º) Estudiaremos la continuidad de la función en los puntos donde cambia la epresión de la función: Si no es continua en a no es derivable en a Si es continua en a, ay que comprobar si es derivable o no Para calcular la derivada de una función definida a trozos se calcula la derivada de la función en los distintos trozos de la misma. Ejemplo. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función: f () si si < 0 0 La función f() es continua en ], 0 [ y ], + [ que la definen en estos conjuntos. Veamos si es continua en 0 Calculamos los límites laterales: lim f() lim 0 0 lim f() lim porque lo son las funciones Los límites laterales son distintos No eiste el límite de f() cuando tiende a 0 f() no es continua en 0 f() no es derivable en 0. Es derivable en ], 0 [ porque eiste f () 0 para todo ], 0 [ Es derivable en ] 0, + [ porque eiste f () para todo ] 0, + [ [6]
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