Función derivada. lim

Transcripción

1 Pro. Enrique Mateus Nieves Función derivada TASA DE VARIACIÓN: Muchas leyes de la Física, la Química, la Bioloía o la Economía, son unciones que relacionan una variable dependiente y con otra variable independiente, lo que suele escribirse en la orma y otro, la variable y lo hace de media) de. Si la variable independiente cambia de un valor inicial a a a a y con respecto a en el intervalo. La razón de cambio promedio (o tasa de variación a, es: Razón de cambio promedio = a a (equivalente al teorema del valor medio en a, Con recuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más Esto lleva a deinir lo que podemos llamar razón de cambio puntual (o instantánea) de con respecto a en el punto a como: lim a a a pequeños. y Ejemplo 1. La tasa de variación media de la unción en los intervalos,-1 1,3 1vale: Tvm -,-1 Tvm 1, y Observe que, en el primer caso, la Tvm coincide con la variación de la unción de la unción, pues nos hemos trasladado sólo una unidad a la derech En cambio, en el seundo caso, la Tvm es la media de las variaciones unitarias, que son: 1 Tvm 1, 1 y Tvm, Ejemplo. El índice de precios al consumo (IPC) epresa la variación porcentual de los precios. Esta variación suele darse mensualmente y por años. El IPC de mayo de 013 ue de 0.3 %. La acumulación de 1 meses seuidos es el IPC interanual, y coincide, aproimadamente, con la tasa de inlación del año considerado.

2 Pro. Enrique Mateus Nieves CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea D, un intervalo abierto de números reales y sea : D una unción real de variable real a D. Se llama derivada de la unción en el punto a al siuiente límite, si a h a eiste y es inito: lim [1] Dicho límite, en caso de eistir, se representa por: a h d a a D a d Si en la deinición anterior hacemos el cambio de variable siue: a lim [] a a a h el límite [1] se escribe como El valor de la derivada de una unción en un punto puede interpretarse eométricamente, ya que corresponde con la pendiente de la recta tanente a la ráica de la unción en dicho punto. La recta tanente es a su vez la ráica de la mejor aproimación lineal de la unción alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede eneralizarse para el caso de unciones de más de una variable con la derivada parcial y el dierencial-temas a tratar en cálculo y 3. El proceso de encontrar la derivada de una unción se denomina dierenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo ininitesimal. Ejercicio 1. Calcula la derivada de las siuientes unciones en los puntos que se indican: 1. en a en a 3. en a

3 Pro. Enrique Mateus Nieves Consideremos la tanente a la curva en el punto P a, a cómo se obtiene el ánulo entre la tanente y el eje positivo? El a no basta para determinarlo, conocimiento de los valores de a y puesto que hay un número ininito de rectas, aparte de la tanente, que pasan por P. tampoco es necesario conocer la unción en su comportamiento lobal; el conocimiento de la unción en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suiciente para determinar esto indica que se debería deinir la dirección de la tanente a la curva mediante un proceso de límite. Consideremos un seundo punto P, sobre la curva, cercano a P. por dos puntos P y P se traza una línea rect Si el punto P se mueve a lo laro de la curva hacia P, entonces la recta PP se aproima a la tanente Sea el ánulo que la recta PP orma con el eje positivo; entonces coordenadas de los puntos P y P se tiene: así nuestro límite a tan lim tan lim a a a lim P P ahora, considerando las está representado por la ecuación: a este límite se le denomina la derivada de la unción Derivabilidad de las unciones elementales k k a a b c ba c b - a b c a lim lim b a a a a n n n-1 n n a - a a a a lim lim a a a a Si k a lim 0 Si Si n3 n1 a n-1 n n-1 Las unciones polinómicas, de la orma: a a a a en todos los puntos del dominio n n n a en el punto son derivables

4 Las unciones racionales Pro. Enrique Mateus Nieves P solo son derivables en su dominio Q n n-1 a n a es derivable siempre La unción de la orma de potencia que lo sea Las unciones deinidas a trozos serán derivables si lo son en sus intervalos respectivos y en los puntos de unión. En estos puntos habrá que ver que la unción esté deinida y que las derivadas laterales eistan y sean iuales. DERIVADAS LATERALES. y es derivable en, Sea derivable en, Nota: Una unción Sea derivable por la derecha en Sea derivable por la izquierda en cuando: Una condición necesaria pero no suiciente para que una unción sea derivable en un punto es que esta sea continu Intuitivamente, una unción continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha unción, de manera que y y Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproiman a cero, en el límite, lim y 0 con lo que se obtiene, 0 y. Para un punto particular a, quiere decir que lim a a, y si este último límite eiste siniica en consecuencia por un teorema de límites (un límite eiste si y sólo si los dos límites laterales eisten y son iuales) que toda unción que cumpla con lim lim lim es continua en el punto Como consecuencia lóica, toda unción a a a derivable en el intervalo abierto I, es continua en I. Es posible que los límites laterales sean iuales pero las derivadas laterales no; en este caso concreto, la unción presenta un punto anuloso en dicho punto. Un ejemplo es la unción valor absoluto (también llamada módulo) en el punto 0, 0. Dicha unción se epresa:, si 0 y Cuando 0, las derivadas laterales dan -,si 0 resultados dierentes. Por lo tanto, no eiste derivada en el punto, a pesar de que sea continuo. De manera inormal, si el ráico de la unción tiene puntas audas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. ( Aluien que dese proundizar en este aspecto puede consultar: Análisis matemático" de Apóstol).

5 REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Pro. Enrique Mateus Nieves 1. LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es iual a la constante por la derivada de la unción: k k. LA DERIVADA DE UNA SUMA o RESTA DE FUNCIONES es iual a la suma o resta de las derivadas de las unciones: 3. LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es iual a la derivada de la primera unción por la seunda unción sin derivar más la primera unción sin derivar por la derivada de la seunda unción: 4. LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es iual a la derivada de la unción del numerador por la unción del denominador sin derivar, menos la unción del numerador sin derivar por la derivada de la unción del denominador, dividido todo ello por la unción del - denominador al cuadrado:, para 0 Teorema de Rolle Si una unción es continua en un intervalo cerrado a,b derivable en el intervalo abierto a,b a b, entonces eiste al menos un punto c entre a y b para el cual c 0 Interpretado eométricamente, siniica que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tanente horizontal en alún punto intermedio y Demostración: es continua en a,b entonces por el teorema de Weierstrass tiene un máimo absoluto M y un mínimo absoluto m en a,b. a,b, m M por tanto eiste 1 a,b : 1 M y eiste a,b : m

6 Pro. Enrique Mateus Nieves Si m M, entonces a,b M 0, si m M por lo menos uno de los puntos 1 o, corresponde al interior del intervalo a,b por ejemplo, entonces a,b se comporta como un entorno de. De ahí que se cumple que para todo perteneciente a,b de mínimo relativo presenta un mínimo relativo en [1] a, entonces por deinición Como es derivable por hipótesis []; podemos concluir que de [1] y [], por condición necesaria para la eistencia de etremos relativos 0 Teorema de Larane o del valor medio Si es continua en el intervalo cerrado a,b y derivable en todo punto del intervalo abierto,b b a c entonces eiste al menos un punto c donde b a a, b a Geométricamente es la tanente del ánulo que orma la secante que pasa por los b a puntos A a, a y B b, b de la curva, con el eje o. c es la tanente del anulo que orma la recta tanente a la curva en el punto c, con el eje o. Por tanto el teorema epresa que eiste al menos un pounto e n el intervalo a,b donde la tanente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B. Demostración: Deinamos una unción auiliar h, con h, es continua en a,b de unciones continuas. es derivable en a,b Necesitamos que a b por ser la suma por ser suma de unciones derivables. para aplicar el teorema de Rolle, entonces

7 a ha b hb a b hb hb h b - a ; entonces h Pro. Enrique Mateus Nieves a b a Rolle, eiste c a,b / c 0 Y como h c c h 0 c b, por el teorema de b b a a Ejercicios- taller 1. Calcular las derivadas de las unciones: b c. 7 d e h Calcule m ediante la órm ula de la derivada de una potencia la derivada de las siuientes unciones: b. c. d. 3 e T eniendo en cuenta las unciones d e los ejercicios 1 y calcule la derivad del producto y lueo la del cociente entre las unciones 1ª (() ) con ª (()) respectivam ente 4. Derive la unción dada: b. 4 c. 1 d e.. Reerentes biblioráicos Stewart, J. (010). Cálculo de Varias Variables. Trascedentes Tempranas. Seta edición. Edamsa Impresiones S.A. de C. V. Iztapalapa, Méico, D. F. Leithold, L. (1998). El cálculo. Traducción de la séptima edición en inlés de: THE CALCULUS 7. ISBN Printed in Meico. Grupo Meicano MAPASA, S.A. DE C.V Apóstol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Alebra (nd edición). John Wiley & Sons. ISBN Bourbaki, Nicolas (004). Interation I. Spriner. ISBN En particular los capítulos III y IV