TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

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1 TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y () en un intervalo Variación de () (b) (a) [a,b] al cociente: T.V.M.[a,b] Variación de b a Y es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,(a)) y B(b,(b)) Con recuencia, el intervalo se le designa mediante la epresión [a,a+], nombrando, así, a un etremo del intervalo a, y a su longitud,. En tal caso, la tasa de variación (a + ) (a) media se obtiene : T.V.M. [a,a+] Si una unción es creciente en [a,b], su tasa de variación media es positiva; y si es decreciente, negativa. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Deinición: Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I) de una unción, y () en un punto a () (a) (a + ) (a) T.V.I.(a) a a 0 Y es la pendiente de la recta tangente a la curva y () en el punto a. Signiicado: Si es positiva La unción es creciente en el punto a Si es negativa La unción es decreciente en el punto a

2 TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO DEFINICIÓN Llamaremos derivada de una unción y () en el punto a a la tasa de variación instantánea de dica unción en el punto a, y se designa por (a): SIGNIFICADO (a) () (a) a a (a + ) (a) 0 La derivada de la unción y () en el punto a es la pendiente de la recta tangente a la curva y () en el punto a Por tanto la ecuación de la recta tangente a una curva en el punto a : APLICACIONES y (a) (a) ( a) - Si (a) > 0 La unción es creciente en el punto a - Si (a) < 0 La unción es decreciente en el punto a - Si ay un máimo o mínimo relativo en a (a) 0.3 FUNCIÓN DERIVADA DE OTRA Se llama unción derivada de (o simplemente derivada de ) a una unción que asocia a cada abscisa,, la derivada de en ese punto, (), es decir, la pendiente de la curva y () en ese punto. A la derivada de la llamaremos o D: D() () ( + ) () 0.4 REGLAS PARA OBTENER LAS DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES OPERACIONES CON DERIVADAS - Multiplicación por un número :(k.()) k. () - Suma y resta: [() ± g()] () ± g () - Producto : [().g()] ().g() + ().g () ' ().g() ()g'() - Cociente : g() g () - Composición : [(g())] (g()).g ()

3 TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac 3 REGLAS DE DERIVACIÓN FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA y k y 0 y y y n y n. n- y n () y n.() n-. () y y y n y n n n y () y y n () n () n n y a y a. Ln a y a () y a ().Ln a. () y e y e y e () y e (). () y log a y.lna y log a () () ().Lna y Ln y y Ln () () y sen y cos y sen () y cos (). () y cos y - sen y cos () y - sen (). () y tag y + tag y arcsen y y arccos y cos y tag () y arcsen () y y arccos () y y cos () [ + tag ()]. () () () y arctag y + y arctag () y + ().5 UTILIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVADA CALCULAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN VARIOS PUNTOS Para allar (a) se calcula la epresión general de la derivada () y luego se sustituye en la derivada la por a.

4 TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac 4 OBTENER LAS ABSCISAS EN LAS CUALES LA DERIVADA TIENE UN CIERTO VALOR Para averiguar los valores de para los cuales () k, se calcula la epresión de la derivada en general (), se iguala a k y se resuelve la ecuación. OBTENER LAS ABSCISAS DE LOS PUNTOS SINGULARES Se llaman puntos singulares a los puntos de tangente orizontal, es decir, a los puntos en los que la derivada es cero. Entre ellos están los máimos y mínimos relativos, pero puede aber otros. Las abscisas de los puntos singulares son las soluciones de la ecuación : () 0 OBTENER LOS TRAMOS DONDE LA CURVA CRECE O DECRECE Si () > 0 la unción es creciente y si () < 0 la curva es decreciente. Por tanto, resolviendo tales inecuaciones se obtienen los intervalos donde la curva crece o decrece..6 ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DOMINIO - Polinomio : D R - Cocientes : D R {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D {Lo de dentro de la raíz 0} - Raíces de índice impar : D R - Logaritmos : D {Lo de dentro del logaritmo > 0} - Eponenciales : D R - Trigonométricas : Seno y coseno D R ; El resto se estudia como un cociente - Arcos : D {- Lo de dentro del arco } PUNTOS DE CORTE - Con el eje OX : y 0 0 P( 0,0) - Con el eje OY : 0 y y 0 P(0,y 0 ) SIMETRÍA - Simétrica respecto del OY o par: (-) () - Simétrica respecto del Origen o impar : -(-) () SIGNO DE LA FUNCIÓN - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio a,... - Se resuelve la ecuación () 0 0,,... sustituyendo en y () se obtiene el signo de la unción

5 TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac 5 ASÍNTOTAS - Asíntotas verticales: Puntos donde la unción se va al ininito: y, a - Cocientes: Puntos que anulan el denominador - Logaritmos : Puntos que anulan lo de dentro del logaritmo - Aproimación a la asíntota : Calcular límites laterales - Asíntotas orizontales : Puntos donde la se va al ininito :, y b - Cálculo : () b y b - Aproimación( en ±00): - Asíntotas oblicuas - Cálculo : y m + n; m - Aproimación( en ±00): MONOTONIA Y PUNTOS CRÍTICOS ( ) > b La unción por encima de la asíntota ( ) < b La unción por debajo de la asíntota () ; n [ () m] () > Asin t() La unción por encima de la asíntota () < Asint() La unción por debajo de la asíntota - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio a,... - Se resuelve la ecuación () 0 0,,... sustituyendo en y () se obtiene el signo de la unción - Si (a) > 0 la unción es creciente en dico intervalo, y si es < 0 es decreciente. - Máimo relativo : P(a,(a)) : a es el punto del dominio donde la unción pasa de creciente a decreciente. - Mínimo relativo : P(a,(a)) : a es el punto del dominio donde la unción pasa de decreciente a creciente. CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio a,... - Se resuelve la ecuación () 0 0,,... sustituyendo en y () se obtiene el signo de la unción - Si (a) > 0 la unción es convea en dico intervalo, y si es < 0 es concava. - Puntos de inleión : P(a,(a)) : a es el punto del dominio donde la unción cambia la curvatura. TABLA DE VALORES Dando valores a la se calculan los correspondientes de la y sustituyendo en la unción REPRESENTACIÓN GRÁFICA