( ) ( ) ( x ) ( ) ( ) ( ) v( x) u( x) ( ) EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Calcula F a) ( x) en los siguientes casos: f ( t) = e. = x

Transcripción

1 Alro Enro Cond Mi Gonzálz Jrrro L ingrl y ss pliccions Clcl F ) d) n los sigins csos: F cos d RESUELTOS ) ( + ) d ) ( + ) F cos F d c) F( ) + d f) F d + F d g) v( ) F d h) F + f ( ) d i) F( ) ( ) cos d ) F cos d Como f ( ) cos s conin n, F s drivl n R, sindo: R F f cos + f ( ) con n R f ( ) ) F ( ) d + F f + c) F d f ( ) + f ( ) con n R + F f + d) F cos d f cos con n R driv n R cos cos F f F ) ( + ) F d f + con n R F f ( ) driv n R + + F 8 f) + F d f + con n R driv n R ( ) F f ( ) F g) F( ) d + f con n R + driv n R + d F f ( ) ( ) + ( ) F + h) v v F f ( ) d f ( ) d + f ( ) d v ( ) f ( ) d f ( ) d F f v v f - -

2 Alro Enro Cond Mi Gonzálz Jrrro L ingrl y ss pliccions i) F( ) cos d cos cos cos cos F d + d d d cos f ( ) con n R v driv n R driv n (, ) F > cos cos Esdi monooní y concvidd d F d Como pr clqir or fnción, l sdio d l monooní s hc nlizndo l signo d s primr drivd Por l orm fndmnl dl cálclo: F d F F sig ( F ) sig Monooní d F ( ) + F F sig F sig Concvidd d F + F d f Si l gráfic (I) corrspond l fnción f ( ), cál o cáls d ls ors rs pd sr l d F f ( ) d? Rzon l rsps ( I ) ( II ) - -

3 Alro Enro Cond Mi Gonzálz Jrrro L ingrl y ss pliccions ( III ) ( IV ) Como F f, l gráfic (I) nos d informción sor l crcimino y dcrcimino d F ( ) ( ) sig F Monooní d F + L monooní d F ( ) dscr l gráfic (II), minrs q ls ors dos sí s jsn l rsldo onido F f ( ) d F ( ) f ( ) d (,) s n pno d l gráfic d no cmpl l (IV) L gráfic d F ( ) s l crv (III) F, condición q Hll los vlors d ls consns:,, c, d y k sindo q: ( + ) ( ) + Si ls fncions F ( + ) d y ( ) F d c d k G + + c + d + k son igls, ss drivds son igls: F ( + ) Idnificndo coficins + G ( + ( + ) + ( + c) + c + d ) + c c 5 c + d d Pr drminr k imponmos q ls dos fncions ngn l mismo vlor n n pno Como F d G d + k k 5 Drmin, n fnción d >, l vlor d l ingrl cos d L prsnci dl vlor solo implic n dfinición por inrvlos Bscmos s dfinición pr > q s lo único q nos inrs ( )cos f cos ( ) cos > Vmos ncsir n primiiv d ss dos prsions, q s difrncin n l signo d d ( ) dv cos d v sn cos d ( ) sn sn d ( ) sn + cos + C ( ) cos d ( ) sn cos + C - -

4 Alro Enro Cond Mi Gonzálz Jrrro L ingrl y ss pliccions Si [, ] F( ) ( ) cos d [( ) sn cos ] ( ) sn cos + Si > F ( ) ( ) cos d + ( ) cos d cos+ sn + cos cos+ Con lo q l fnción pdid s: [( ) sn + cos ] sn cos + F( ) cos d sn + cos cos+ > 6 Ennci l orm dl vlor mdio dl cálclo ingrl Encnr l pno o pnos n los l fnción lcnz s vlor mdio n l inrvlo [,] f El orm dl vlor mdio dl cálclo ingrl nos dic q si f :, R s n fnción conin n,, noncs [, ] f d f ( α)( S llm vlor mdio d l fnción () α ) f n l inrvlo [ ] q s vlor mdio s lcnz n lgún pno d [, ], f d El orm firm En nsro cso d ( )( ) d ( ) f d El vlor mdio d l fnción n [,] s Pr nconrr l vlor d n l q s lcnz dicho vlor hy q rsolvr l cción: ( ),,, D sos cro vlors, [, ] 7 Encnr l vlor mdio d l fnción n l inrvlo q n cd cso s indic, sí como l pno n l q és s lcnz ) f n l inrvlo [,] ) f n l inrvlo [,] ) Como d, 6 l vlor mdio d l fnción n [ ], s Es vlor s lcnz n α f ( α ) α [, ] α - -

5 Alro Enro Cond Mi Gonzálz Jrrro L ingrl y ss pliccions d El vlor mdio d l fnción n [ ], q s lcnz cndo: ) f ( α ) ln α α,6, s α 8 Hll los máimos y mínimos n l inrvlo [,] ( ) d s conin n [, ] d l fnción F ( ) ln d con > L fnción F ln, por lo q lcnz n máimo y n mínimo rlivo n s inrvlo Por l orm fndmnl dl cálclo: F ln > [,], por lo q F () s sricmn crcin n s inrvlo, por lo q l mínimo solo s F () y l máimo solo F () Pr nconrr l vlor d sos rmos solos nmos q nconrr l prsión d F () I ln d s hc por prs: ln d d d dv v I ln d ln F() ln d [ ln ] ln ln s l mínimo solo F () ln d [ ln ] ln 9 ln s l máimo solo 9 9 ) Clcl l ingrl + 5 d f ) Hll los vlors mínimos solos d l fnción d d d ) ( 5 ) ( ) ) f D f [, ] y f pdn lcnzrs n los pnos d los rmos dl inrvlo:,, o n l pno críico si (,) Los rmos solos - 5 -

6 Alro Enro Cond Mi Gonzálz Jrrro L ingrl y ss pliccions f f f El mínimo solo d l fnción s, q s lcnz n y n El máimo solo s, q s lcnz n Clcl l ár comprndid nr l crv y +, l j OX y ls rcs vricls q psn por los pnos d inflión d dich crv α α Es crv convin sr rprsnrl, ps prc con frcnci, pro si no s sí mpoco s imprscindil l gráfic pr rsolvr l prolm Es fácil compror q l fnción s pr, por lo q s gráfic s siméric rspco dl j OY Admás, y >, α por lo q l ár pdid srá A d, sindo + α > l scis d no d los pnos d inflión Hllmos s vlor d α iglndo l sgnd drivd cro 6 f f ( ) f f α A d [ rcg ] + π Hll l ár dl rcino limido por l gráfic d f ln, l j OX y l rc ngn dich gráfic n l pno A A L rc ngn sá drmind por: A(, f ( ) ) (,) m f ( ) : y ( ) : y Rprsnndo ls dos gráfics q limin l rcino, osrvmos q l ár A s oin fácilmn rsndo pdid l d n riánglo ( ) l dl rcino limido jo l crv y ln ( A ) Bs noncs clclr s úlim A Rcordndo q ln d ln d + A [ ] ln C A ln, rsl: - 6 -

7 Alro Enro Cond Mi Gonzálz Jrrro L ingrl y ss pliccions y Encnr l ár dl rcino plno drmindo por l lips d cción + Como cso priclr, dmsr q l ár dl circlo d rdio R s igl π R f A Por ls simrís d l figr, srá drminr l ár A y mliplicr por Es ár s oin por ingrción d l cción plíci d l crv: y + + y y y L ingrl I ( ) A d ( ) d ( ) d s oin con n cmio d vril: d cos d sn I ( ) cos d cos L ingrl d cos s oin nindo n cn ls sigins igldds rigonomérics: cos sn cos Smndo + cos cos + cos cos I cos + sn + cos d sn I + d Tnindo n cn s rsldo y q n l cmio d vril: A Por lo q l ár dl rcino pdido s ( ) d π π sn π + rcsn rcsn π El ár dl círclo d rdio R s n cso priclr dl nrior n l q ár s π R R, por lo q s - 7 -