DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO TEMA 3. POLÍGONOS. Departamento de Artes Plásticas y Dibujo

Transcripción

1 IUJO TÉNIO HILLERTO TEM 3. POLÍGONOS. eprtmento e rtes Plástics y iujo

2 TEM 3. POLÍGONOS. 1º 2º? Triángulos o efinición y notciones o lsificción o uestiones generles o Puntos y rects notles o onstrucciones? uriláteros o efinición y ses o lsificción o onstrucciones? Polígonos regulres e irregulres o efinición y ses o lsificción o onstrucciones o Polígonos inscritos en circunferencis y circunscritos ls misms. o Polígonos estrellos o Rees moulres. - Triángulos: puntos y rects notles. sos especiles. - uriláteros inscriptile y circunscriptile. - Polígonos regulres. - Polígonos estrellos. - onstrucción e triángulos. - plicción correct e los puntos y rects notles, sí como ls especiles, en los prolems plnteos. - onstrucción e curiláteros. - nálisis e ls forms poligonles como se e iseño e ojetos. - ivisión e l circunferenci y construcción e polígonos regulres por métoos prticulres conocieno el rio. - onstrucción e polígonos regulres por métoos prticulres conocieno el lo. - onstrucción e polígonos estrellos.

3 vértice lo iámetro() ángulo interior ángulo exterior POLÍGONO REGULR POLÍGONO IRREGULR POLÍGONO ONVEXO POLÍGONO ÓNVO POLÍGONO EXTRELLO rio - potem rio Polígono IRUNSRITO r = potem el polígono r = rio e l circunferenci incrit Polígono INSRITO r = rio circunferenci circunscrit IGONLES e un polígono Ls forms poligonles están en l estructur e muchos ojetos y construcciones. L plr polígono es e origen griego y quiere ecir vrios ángulos. Un polígono es: un superficie pln limit por un líne poligonl cerr. Se llm perímetro e un polígono l sum e ls meis e sus los. Los elementos ásicos e los polígonos son: vértices, igonles, ángulos interiores y exteriores. El número e los e los polígonos etermin su nomre: triángulo, curilátero, pentágono, hexágono, etc. Nomre e lumno urso 2º HILLERTO

4 URO L RETÁNGULO PRLELOGRMO L 1 2 Áre: L 2 Áre: x Áre: x TRIÁNGULO RETÁNGULO TRIÁNGULO UTÁNGULO TRIÁNGULO OTUSÁNGULO c h h h Áre: x /2 2 2 c = + Áre: x h 2 Áre: x h 2 TRPEIO TRPEZOIE PENTÁGONO h 1 2 h 1 c 2 H R r 108º L Áre: + x h 2 Áre: (h + H) +h +ch 2 Áre: perímetro x potem (r) 2 HEXÁGONO r R 60º L 120º RES Y PROPIEES E LOS POLÍGONOS Nomre e lumno urso 2º HILLERTO

5 hc SEGÚN SUS LOS LOS ÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS ÁNGULOS Equilátero c Toos igules ==c Igules. Son los tres e 60º Rectángulo Un ángulo recto. El lo myor = hipotenus. os los menores = ctetos. =90º Isósceles c Escleno c os igules = los Un iferente = se ==c Los tres iferentes ==c os igules. Uno, el opuesto l se, iferente. Los tres iferentes. cutángulo Otusángulo Menores e 90º Ángulos guos < 90º Uno e los ángulos myor e 90º Un ángulo otuso > 90º En un triángulo el vértice y el lo opuesto se nomrn con l mism letr, en myúsculs y minúsculs respectivmente. L ltur e un triángulo (h) es l rect perpeniculr un lo hst el vértice opuesto. h h c OTRS PROPIEES - L sum e los tres ángulos interiores e un triángulo es igul 180º - lo e un triángulo es menor que l sum e los otros os, pero myor que su iferenci. - En un triángulo rectángulo l hipotenus es myor que c uno e los los (ctetos). - L hipotenus e un triángulo rectángulo mie 2 meces su mein. Rect e Euler: rect que ps por el ricentro, ortocentro y circuncentro e un triángulo. - Si iviimos l mein e un triángulo en tres prtes igules, el ricentro estrá 2/3 e es rect. PUNTOS NOTLES E UN TRIÁNGULO RIENTRO. MEINS. Ls meins son ls rects que vn e el punto meio e un lo hst el vértice opuesto. IRUNENTRO MEITRIES. Ls meitrices e sus los. El circuncentro es el centro e l circunferenci circunscrit. P mc c Se cumple que = 2 c mc c INENTRO ISETRIES. isectrices e los ángulos el triángulo. Es el centro e l circunferenci inscrit. Ls meitrices y ls lturs se pueen cortr fuer el triángulo, por lo que el circuncentro y el ortocentro pueen estr fuer tmién. c I c ORTOENTRO LTURS hc = LTURS M O c O N TRIÁNGULO POR Resulto e unir los pies e ls perpeniculres ese un punto culquier P TRIÁNGULO OMPLEMENTRIO Resulto e unir los pies e ls meins (ricentro) Q TRIÁNGULO ÓRTIO Resulto e unir los pies e ls lturs (ortocentro) Nomre e lumno ESQUEM URILÁTEROS. RTERÍSTIS urso 2º HILLERTO

6 URILÁTEROS LOS ÁNGULOS IGONLES uro Igules prlelos os os Igules. Son toos rectos. Igules. Perpeniculres Se cortn en el punto meio. PRLELOGRMOS Rectángulo Romo Son Igules los los prlelos. Los cutro igules. Prlelos os os. Igules. Son toos rectos. Igules los opuestos. No son rectos. Igules. No perpeniculres Se cortn en el punto meio. istints, perpeniculres y se cortn en un punto meio. Romoie Son igules los los prlelos. Igules los opuestos. No son rectos. istints, No perpeniculres Se cortn en un punto meio. Los trpecios tienen siempre os los prlelos: son ls ses. Lo Trpecios se Menor Lo Trpezoie Los trpezoies no tienen ningún lo prlelo se Myor igonles Trpecio Isósceles Son igules Es el único tipo e trpecios que es inscriptile en un circunferenci. Los que se poyn en l mism se son igules. Son igules. No se cortn en el punto meio. TRPEIO Trpecio Escleno Son istintos Son toos istintos No son rectos Son istintos. No se cortn en un punto meio. Trpecio Rectángulo Son istintos Un lo es perpeniculr ls ses Tienen os ángulos rectos. Son istintos. No se cortn en un punto meio. Nomre e lumno urso 2º HILLERTO ESQUEM URILÁTEROS. RTERÍSTIS

7 POLÍGONOS LSIFIIÓN. Tricon t POLÍGONO LOS POLÍGONO LOS POLÍGONO LOS triángulo 3 Enecágono 11 Icoságono o Isoecágono 20 curo 4 oecágono 12 Tricon tágono 30 pentágono 5 Triecágono 13 Tetrcon tágono 40 hexágono 6 Tetrecágono 14 Pen tcon tágono 50 heptágono 7 Pentecágono 15 Hexcon tágono 60 octágono 8 Hexecágono 16 Hep tcon tágono 70 eneágono 9 Heptecágono 17 O ctcon tágono 80 ecágono 10 Octecágono 18 Enecon tágono 90 Eneecágono 19 Hectágono 100 hiliágono Miriágono M egágono triángulo curo pentágono hexágono heptágono octágono eneágono ecágono NOMRE E UN POLÍGONO MENOR E 100 LOS. Polígono e 22 los: Icoskiígono. EENS UNI 1:hená 20:Icos- 2:í 30:Tricont- 3:trí 40:Tetrcont- 4:tetrá 50:Pentcont- ki 5:pentá gono 60:Hexcont- 6:hexá 70:Heptcont- 7:heptá 80:Octcont- 8:octá 90:Enecont- 9:eneá Nomre e lumno urso 2º HILLERTO ESQUEM URILÁTEROS. RTERÍSTIS

8 Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS 1

9 1.- iujr un triángulo ISÓSELES cuy se es = 30 mm. y el ángulo opuesto = 30º 2.- onstruir un triángulo con los siguientes tos: lo = 40 mm., ángulo = 45º y ltur h = 37 mm. 3.- onstruir el triángulo, sieno el ángulo e = 60º, el ángulo e = 45º y el lo = 60 mm. Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS 1

10 1.- iujr un triángulo ISÓSELES cuy se es = 30 mm. y el ángulo opuesto = 30º 2.- onstruir un triángulo con los siguientes tos: lo = 40 mm., ángulo = 45º y ltur h = 37 mm. Por rco cpz. o h o 30º 45º Por semejnz. 30º 3.- onstruir el triángulo, sieno el ángulo e = 60º, el ángulo e = 45º y el lo = 60 mm. onstrucción por semejnz onstrucción por rco cpáz 60º o 60º 45º 60º 45º Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS 1

11 4.- Hllr el triángulo sieno que: el ángulo e = 60º, el ángulo e = 75º y l mein que ps por el vértice mie 4 cm. 5.- iujr el triángulo sieno que el lo mie 55 mm., el ángulo =45º y l mein e (m)= 6 cm. 6.- iuje un triángulo escl 1:500 sieno que os e sus los mien 20 y 15 metros respectivmente, y el tercero es mei proporcionl e ichos los. Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS 2

12 4.- Hllr el triángulo sieno que: el ángulo e = 60º, el ángulo e = 75º y l mein que ps por el vértice mie 4 cm. 5.- iujr el triángulo sieno que el lo mie 55 mm., el ángulo =45º y l mein e (m)= 6 cm. 45º m m=4 m=6 o 60º 75º 45º 6.- iuje un triángulo escl 1:500 sieno que os e sus los mien 20 y 15 metros respectivmente, y el tercero es mei proporcionl e ichos los. Rzonmiento e l escl. os opciones: )1metro=100 cms. 100:500 =1:5 0 1m 2m )1metro=1000 mm. 1000:500 =10:5 =2 1metro rel = 2 mm iujo = 20 metros = 40 mm =15 metros = 30 mm. Mei proporcionl e los los y : Resulto: c c c c = c 2 = x c = x c Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS 2

13 7.- onstruy un triángulo conocio el vlor e os e sus ángulos: = 60º y = 45º El vlor el rio e l circunferenci circunscrit r = 30 mm. 8.- iuje un triángulo con los siguientes tos: l ltur sore l hipotenus mie 40 mm. y l proyección e un cteto sore l hipotenus mie 32 mm. iuje e inique el ortocentro, ricentro, circuncentro y el incentro. Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS 3

14 7.- onstruy un triángulo conocio el vlor e os e sus ángulos: = 60º y = 45º El vlor el rio e l circunferenci circunscrit r = 30 mm. 45º 60º º Por homoteci: Semejnz 8.- iuje un triángulo con los siguientes tos: l ltur sore l hipotenus mie 40 mm. y l proyección e un cteto sore l hipotenus mie 32 mm. iuje e inique el ortocentro, ricentro, circuncentro y el incentro. Primer pso Segmento iviio en: M = proyección e y M iferenci entre y M. rco cpz e 90º el segmento h Proyección e :32 mm M Seguno pso ortocentro - lturs incentro - isectrices ricentro - meins circuncentro - meitrices Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS 3

15 1.- iuje el triángulo rectángulo, sieno el vértice el ángulo recto, conociénose l hipotenus y el punto H por el que l isectriz el ángulo recto cort l lo. Ejercicio Selectivi U, junio H Nomre e lumno urso 2º H PROLEMS E TRIÁNGULOS eprtmento e iujo

16 1.- iuje el triángulo rectángulo, sieno el vértice el ángulo recto, conociénose l hipotenus y el punto H por el que l isectriz el ángulo recto cort l lo. Ejercicio Selectivi U, junio RO PZ E 90º RO PZ E 45º 45º H Nomre e lumno urso 2º H PROLEMS E TRIÁNGULOS eprtmento e iujo

17 Nomre e lumno urso 2º H PROLEMS E TRIÁNGULOS eprtmento e iujo

18 meitriz +c 60º 60º c c hc 40 mm 30º =50 mm hc 40 mm /2 /2 M /2 MN perímetro 150 /2 N Nomre e lumno urso 2º H PROLEMS E TRIÁNGULOS eprtmento e iujo

19 Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS

20 h m h h m 60º +c -c Nomre e lumno urso 2º HILLERTO TRIÁNGULOS

21 Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILÁTEROS

22 l=20 l l1 l2 se m se m h h se M se M Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILÁTEROS

23 iuj un trpecio os los cutro los: se myor = 75 mm se menor = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm. TENIÓN: Este ejercicio h cmio con respecto l originl, l estr repetio en l siguiente y fltr el ejercicio hor mostro. onstruir un trpecio conoci l se myor, l ltur y ls os igonles se myor = 70 mm ltur = 50 mm igonl 1 = 80 mm igonl 2 = 60 mm onstruir un trpezoie conocios tres los y os ángulos. Lo 1 = 70 mm Lo 2 = 40 mm Lo 3 = 50 mm Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILÁTEROS

24 iuj un trpecio os los cutro los: se myor = 75 mm se menor = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm. TENIÓN: Este ejercicio h cmio con respecto l originl, l estr repetio en l siguiente y fltr el ejercicio hor mostro. se menor L1 L2 L2 se myor se menor se myor - se menor M onstruir un trpecio conoci l se myor, l ltur y ls os igonles se myor = 70 mm ltur = 50 mm igonl 1 = 80 mm igonl 2 = 60 mm ltur igonl 2 igonl 1 se myor = 70 mm onstruir un trpezoie conocios tres los y os ángulos. Lo 1 = 70 mm Lo 2 = 40 mm Lo 3 = 50 mm Lo 2 Lo 3 Nomre e lumno Lo 1 urso 2º HILLERTO URILÁTEROS

25 iuje un trpecio escleno conocis ls os ses = y = y ls os igonles = y. o el centro O e un circunferenci y un cuer e l mism, represente el trpecio isósceles inscrito en l circunferenci, sieno su se myor l cuer, y sieno que ls igonles formn con ell un ángulo e 45º. euzc rzonmente el vlor e los ángulos que formn ls igonles con l se menor. O Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILÁTEROS

26 iuje un trpecio escleno conocis ls os ses = y = y ls os igonles = y. o el centro O e un circunferenci y un cuer e l mism, represente el trpecio isósceles inscrito en l circunferenci, sieno su se myor l cuer, y sieno que ls igonles formn con ell un ángulo e 45º. euzc rzonmente el vlor e los ángulos que formn ls igonles con l se menor. O Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILÁTEROS

27 on el teorem e ls prlels existen multitu e ejercicios resueltos. Pr ver curiláteros, en concreto trpecios, vmos estuis os ejercicios en concreto: Trpecio cuno nos n los cutro los y trpecio cuno nos n ls os ses y ls os igonles. Si os o más rects prlels son corts por os o más rects tmién prlels, los segmentos resultntes serán igules. Teorem: Si tres o más prlels intersectn en segmentos congruentes un rect secnte, entonces cortn culquier otr rect secnte en segmentos congruentes. P X se m se m Q Y M se m N se m s R Z t c iuje un trpecio escleno conocis ls os ses = y = y ls os igonles = y. iuj un trpecio os los cutro los: se myor = 75 mm se menor = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm. se menor L1 L2 L2 se myor se menor se myor - se menor M Nomre e lumno URILÁTEROS urso 2º HILLERTO

28 onstruye un trpecio isósceles etos: se myor = 45 mm. se menor = 30 mm y ltur h = 25 mm. onstruye un trpecio rectángulo e se myor = 40 mm, se menor = 30 mm y ltur = 25 mm. iujr un trpecio rectángulo os los cutro los: se myor = 75 mm se menor = 25 mm lo 1= 24 mm lo 2 = 29 mm iuj un trpezoie e los: L1 = 50 mm, L2 = 48 mm, L3 = 38 mm, L4 = 45 mm y un igonl 1 = 37 mm iuj un trpecio os los cutro los: se myor = 75 mm se menor = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm. Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILÁTEROS

29 onstruye un trpecio isósceles etos: se myor = 45 mm. se menor = 30 mm y ltur h = 25 mm. onstruye un trpecio rectángulo e se myor = 40 mm, se menor = 30 mm y ltur = 25 mm. se menor h h 90º se myor iujr un trpecio os los cutro los: se myor = 75 mm se menor = 25 mm lo 1= 24 mm lo 2 = 29 mm iuj un trpezoie e los: L1 = 50 mm, L2 = 48 mm, L3 = 38 mm, L4 = 45 mm y un igonl 1 = 37 mm se menor M se myor se menor N MN = M = - Relizr un triángulo con los os los l1 y l2 = y iuj un trpecio os los cutro los: se myor = 75 mm se menor = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm. 1 se menor Tomno l igonl como se se relizn los triángulos y con ls meis e los respectivos los. se myor M Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILÁTEROS 2

30 1.- iuj un prlelogrmo romoie conocieno sus igonles y el ángulo que ls formn. 1 = 64 mm. 2 = 27 mm. ángulo = 135º. 2.- Trzr un prlelogrmo el que se conocen sus igonles = 68 mm. y = 50 mm. y el ángulo e = 45º 3.- iuj un romo e lo 40 mm, y l sum e sus igonles 100 mm. Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILTEROS 1

31 1.- iuj un prlelogrmo romoie conocieno sus igonles y el ángulo que ls formn. 1 = 64 mm. 2 = 27 mm. ángulo = 135º. 2.- Trzr un prlelogrmo el que se conocen sus igonles = 68 mm. y = 50 mm. y el ángulo e = 45º 2/2 135º 1/2 º 1 135º 2 45º iuj un romo e lo 40 mm, y l sum e sus igonles 100 mm. M = 100 mm meitriz e M isectrices e los 4 ángulos Lo 40 mm e hst que corte ls isectrices. Lo 40 mm. M Nomre e lumno urso 2º HILLERTO URILTEROS 1

32 Nomre e lumno eprtmento e rtes Plástics urso POLÍGONOS.