Problemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Transcripción

1 Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras UCR ECCI CI-35 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviaa Ramírez Beavides

2 Iferecia Estadística La teoría de la iferecia estadística cosiste e aquellos métodos por los que se realiza iferecias o geeralizacioes acerca de ua població. La iferecia estadística se puede dividir e dos áreas pricipales: estimació y prueba de hipótesis. E este capítulo se tratará sobre el área de estimació. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

3 Estimació de la Media Ua Muestra Si la muestra se seleccioa de ua població ormal o, a falta de esta, si es suficietemete grade, se puede establecer u itervalo de cofiaza para μ al cosiderar la distribució muestral de X. La estimació de la media de la població (μ), se hace por medio del teorema del límite cetral. De acuerdo a este teorema se puede establecer la distribució muestral de X, que está distribuida de forma aproximadamete ormal co µ = µ y desviació estádar =. X X UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 3

4 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 4 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Al escribir z / para el valor z el cual se tiee u área de / a la derecha, se puede ver que ( ) µ µ = = = z X z P X Z z Z z P

5 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 5

6 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Al multiplicar cada térmio e la desigualdad por, después restar X y multiplicar por -, se obtiee: P X z µ X + z = Se seleccioa ua muestra aleatoria de tamaño de ua població cuya variaza se cooce y se calcula la media de la muestra para obteer u itervalo de cofiaza de ( )00%. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 6

7 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Itervalo de Cofiaza de μ co coocida. Si x es la media de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població co variaza, coocida, u itervalo de cofiaza de ( ) 00% para μ está dado por x z µ Dode z / es el valor z que deja u área de / a la derecha. x + z UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 7

8 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Para muestras pequeñas que se seleccioa de poblacioes o ormales, o se puede esperar que el grado de cofiaza sea preciso. Para muestras de tamaño 30, si importar la forma de la mayor parte de las poblacioes, la teoría de muestreo garatiza bueos resultados. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 8

9 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Si μ es realmete el valor cetral del itervalo, etoces x estima μ si error. La mayor parte de las veces, x o será exactamete igual a μ y la estimació putual es erróea. La magitud de este error será el valor absoluto de la diferecia etre μ y x, y se puede teer ( )00% de cofiaza de que esta diferecia o excederá z. ERROR x z x μ x + z UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 9

10 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 0

11 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Teorema. Si se utiliza x como ua estimació de μ, se puede teer ua cofiaza de ( )00% de que el error o excederá de z. Teorema. Si se utiliza x como ua estimació de μ, se puede teer ua cofiaza de ( )00% de que el error o excederá ua catidad específica e cuado el tamaño de la muestra es = z e = z e UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

12 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Co frecuecia o se cooce la variaza de la població, por lo que para estimar la media de la població se recurre a la distribució t. Al escribir t / para el valor t el cual se tiee u área de / co v grados de libertad, se puede ver que ( ) µ µ = = = t S X t P S X T t T t P

13 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 3

14 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Al multiplicar cada térmio e la desigualdad por S, después restar X y multiplicar por -, se obtiee: P X S S t µ X + t = Se seleccioa ua muestra aleatoria de tamaño de ua població cuya variaza o se cooce y se calcula la media y la desviació estádar de la muestra para obteer u itervalo de cofiaza de ( )00%. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 4

15 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Itervalo de Cofiaza de μ co descoocida. Si x y s so la media y la desviació estádar de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població ormal co variaza, descoocida, u itervalo de cofiaza de ( )00% para μ está dado por s s x t µ x + t Dode t / es el valor t co v = grados de libertad, que deja u área de / a la derecha. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 5

16 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Teorema. Si se utiliza x como ua estimació de μ, se puede teer ua cofiaza de ( )00% de que el error o excederá de t s. Teorema. Si se utiliza x como ua estimació de μ, se puede teer ua cofiaza de ( )00% de que el error o excederá ua catidad específica e cuado el tamaño de la muestra es s s = t e = t e UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 6

17 Estimació de la Media Ua Muestra (cot.) Los estadísticos recomieda que au cuado o se puede supoer la ormalidad, co descoocida y 30, s puede remplazar a y utilizar el itervalo de cofiaza s x ± z Por lo geeral, este se deomia como u itervalo de cofiaza de muestra grade. La calidad de este efoque mejora coforme el tamaño de la muestra crece más. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

18 Límites de Cofiaza Uilaterales Los itervalos de cofiaza y los límites de cofiaza vistos hasta ahora so e realidad bilaterales (se da tato el límite iferior como superior). Si embargo, hay muchas aplicacioes e que sólo se requiere u límite. Si la medida de iterés es la resistecia a la tesió, el igeiero recibe más iformació del límite iferior, esceario del peor caso. Si para la medida de ua variable u valor relativamete grade de µ o es provechoso o deseable, etoces resultará de iterés el límite superior. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

19 Límites de Cofiaza Uilaterales (cot.) Los límites de cofiaza uilaterales se desarrolla de la misma forma que los itervalos bilaterales. Si X es la media de ua muestra aleatoria de tamaño a partir de ua població co variaza, los límites de cofiaza uilaterales de ( )00% para µ está dados por límite iferior límite superior x x + z z UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

20 Límites de Cofiaza Uilaterales (cot.) Si X es la media de ua muestra aleatoria de tamaño a partir de ua població co variaza descoocida, los límites de cofiaza uilaterales de ( )00% para µ está dados por límite iferior límite superior x t x + t s s UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

21 Error Estádar de ua Estimació Putual La desviació estádar de X se cooce e la estimació como error estádar de X. De maera simple, el error estádar de u estimador es su desviació estádar. E el caso dode se descooce y el muestreo es sobre ua distribució ormal, s reemplaza a y se icluye el error estádar estimado. El puto importate a cosiderar es que el acho del itervalo de cofiaza de μ depede de la calidad del estimador putual a través de su error estádar. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

22 Error Estádar de ua Estimació Putual (cot.) De esta forma los límites de cofiaza de μ so x ± z x ± t = s = x ± x ± t z s. e. sˆ.ˆ. e ( x) coocida ( x), descoocida Dode s.e. (e.e.) es el error estádar y s.e. (e.e.) es el error estádar estimado., UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

23 Límites de Predicció Alguas veces, aparte de estimar la media de la població, iterese predecir los posibles valores de ua observació futura. Este tipo de requerimieto se satisface muy bie mediate la costrucció de u itervalo de predicció. Al predecir ua observació futura se ecesita la variació de la media y la variació de ua observació futura. Por suposició se sabe que la variaza del error aleatorio e ua ueva observació es. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras

24 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 4 Límites de Predicció (cot.) El desarrollo de u itervalo de predicció se represeta mejor empezado co ua variable aleatoria ormal, dode X 0 es la variable aleatoria de los valores de la ueva observació. Como X 0 y so idepedietes, etoces ( ) = + + = + = = z X X z P X X X X Z z Z z P X X 0 X

25 Límites de Predicció (cot.) Para u distribució ormal de medicioes co media descoocida µ y variaza coocida, u itervalo de predicció de ( )00% de ua observació futura x 0 es x z + x x + z 0 + Dode z / es el valor z que deja u área de / a la derecha. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 5

26 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 6 Límites de Predicció (cot.) Resulta importate tratar co el itervalo de predicció de ua observació futura e la situació e que se descooce la variaza de la població; para lo cual se utiliza la distribució t de Studet e vez de la distribució ormal. ( ) = + + = + = = t s X X t P s X X s s X X T t t t P

27 Límites de Predicció (cot.) Para u distribució ormal de medicioes co media descoocida µ y variaza descoocida, u itervalo de predicció de ( )00% de ua observació futura x 0 es x t s + x x + t s 0 + Dode t / es el valor t co v = grados de libertad, que deja u área de / a la derecha. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 7

28 Límites de Predicció (cot.) Los itervalos de predicció uilaterales tambié so importates de cosiderar. Casos dode se debe efocarse e observacioes futuras grades se aplica los límites de predicció superiores. Casos dode se debe cocetrarse e observacioes futuras pequeñas se sugiere los límites de predicció iferiores. coocida descoocida límite iferior límite superior límite iferior límite superior x z x + z x t x + t UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 8 s s

29 Límites de Toleracia E otros casos, el iterés se cetra e saber dode cae la mayoría de los valores de la població. Esto es útil para coocer el desempeño a largo plazo, o e la siguiete observació. U método para establecer el límite deseado cosiste e determiar u itervalo de cofiaza sobre ua proporció fija de las medicioes. Al visualizar u muestreo aleatorio de ua distribució ormal co media coocida µ y variaza ; u límite que cubre el 95% de la població de observacioes es µ ±.96. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 9

30 Límites de Toleracia (cot.) Lo aterior deota u itervalo de toleracia y, e realidad, es exacta la cobertura de 95% de las observacioes medidas. Si embargo, e la práctica µ y rara vez se cooce; por ello, se debe aplicar x ± ks, el itervalo es ua variable aleatoria y la cobertura de ua proporció de la població disfrutada por el itervalo o es exacta. Como resultado se aplica u itervalo de cofiaza de ( γ) 00% al plateamieto, ya que o se puede esperar que todo el tiempo el itervalo cubra cualquier proporció específica. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 30

31 Límites de Toleracia (cot.) Para ua distribució ormal de medicioes co media μ y desviació estádar, descoocidas, los límites de toleracia bilaterales está dados por x ± ks, dode k se determia de modo que se pueda asegurar co ua cofiaza de ( γ) 00% que los límites dados cotiee al meos la proporció de las medicioes. La tabla A.7 da valores de k para = 0.9, 0.95, 0.99; γ = 0.05, 0.0; y para valores seleccioados de de a 000. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 3

32 Límites de Toleracia (cot.) Los límites de toleracia uilaterales está dados por límite iferior x ks límite superior x + ks dode k se determia de modo que se pueda asegurar co ua cofiaza de ( γ)00% que los límites dados cotiee al meos la proporció de las medicioes. La tabla A.7 da valores de k para = 0.9, 0.95, 0.99; γ = 0.05, 0.0; y para valores seleccioados de de a 000. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 3

33 Diferecia etre Límites de Cofiaza, Límites de Predicció y Límites de Toleracia El itervalo de cofiaza sobre la media es útil cuado el aalista de datos esté iteresado e la media de la població. La media de la població se ecesita estimar y el itervalo de cofiaza produce los límites apropiados. El itervalo de toleracia está mucho más ateto a dóde cae la mayoría de las observacioes idividuales. Dóde estará la mayor parte de los valores de la població? El itervalo de predicció se aplica cuado es importate determiar u límite para u solo valor. Ni la media i la ubicació de la mayoría de la població so la cuestió clave, sólo se requiere la ubicació de ua sola ueva observació. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 33

34 Estimació de la Diferecia etre Medias Dos Muestras Si se tiee dos poblacioes ormales o, a falta de esta, si y so suficietemete grades, se puede establecer u itervalo de cofiaza para μ μ al cosiderar la distribució muestral de X X. La estimació de la diferecia de dos medias de dos poblacioes μ μ, se hace por medio del teorema del límite cetral. De acuerdo a este teorema se puede establecer las distribucioes muestrales de X X, que está distribuida de forma aproximadamete ormal co µ = µ µ X X desviació estádar = +. X X UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 34 y

35 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 35 Estimació de la Diferecia etre Medias Dos Muestras (cot.) Al escribir z / para el valor z el cual se tiee u área de / a la derecha, se puede ver que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ = + + = = z X X z P X X Z z Z z P

36 P Estimació de la Diferecia etre Medias Dos Muestras (cot.) Al multiplicar cada térmio e la desigualdad por +, después restar X X y multiplicar por -, se obtiee: ( ) ( ) X + µ µ + + X z X X z = Se seleccioa dos muestras aleatorias de tamaño y de dos poblacioes cuyas variazas y se cooce y se calcula la diferecia de las medias de las muestras para obteer u itervalo de cofiaza de ( )00%. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 36

37 Estimació de la Diferecia etre Medias Dos Muestras (cot.) Itervalo de Cofiaza de μ μ co y coocidas. Si x y x so las medias de muestras aleatorias idepedietes de tamaño y de poblacioes co variazas coocidas y, respectivamete, u itervalo de cofiaza de ( ) 00% para μ μ está dado por + z + ( ) ( ) x x z + µ µ x x Dode z / es el valor z que deja u área de / a la derecha. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 37

38 Estimació de la Diferecia etre Medias Dos Muestras (cot.) Para muestras pequeñas que se seleccioa de poblacioes o ormales, o se puede esperar que el grado de cofiaza sea preciso. Para muestras de tamaño 30, si importar la forma de la mayor parte de las poblacioes, la teoría de muestreo garatiza bueos resultados. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 38

39 Estimació de la Diferecia etre Medias Dos Muestras (cot.) Itervalo de Cofiaza de μ μ co y iguales pero descoocidas. Si x y x so las medias de muestras aleatorias idepedietes de tamaño y, de poblacioes aproximadamete ormales co variazas iguales pero descoocidas, u itervalo de cofiaza de ( )00% para μ μ está dado por ( x ) ( ) x t s + µ x x S p = ( ) S + ( ) p µ + S Dode s p es la estimació de uió de la desviació estádar poblacioal y t / es el valor t co v = + grados de libertad, que deja u área de / a la derecha. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 39 + t s p +

40 Estimació de la Diferecia etre Medias Dos Muestras (cot.) Itervalo de Cofiaza de μ μ co y diferetes pero descoocidas. Si x y x so las medias de muestras aleatorias idepedietes de tamaño y, de poblacioes aproximadamete ormales co variazas diferetes y descoocidas, u itervalo de cofiaza de ( )00% para μ μ está dado por ( ) ( ) x x t + µ x x v = ( s + s ) ( s ) ( ) + s [ ] [( ) ( )] µ s s Dode t / es el valor t co v grados de libertad, que deja u área de / a la derecha. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 40 + t s + s

41 Estimació de la Diferecia etre Medias Dos Muestras (cot.) E el caso de ua diferecia etre dos medias, la iterpretació se puede exteder a ua comparació de dos medias: Si el itervalo de cofiaza de la diferecia μ μ es positivo, se ifiere que la μ > μ co poco grado de error. Si el itervalo de cofiaza de la diferecia μ μ es positivo, se ifiere que la μ μ co poco grado de error. Si el itervalo de cofiaza de la diferecia μ μ puede permitir que μ μ sea igual a 0, se ifiere que las medias de las poblacioes puede ser μ = μ co poco grado de error. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 4

42 Error Estádar de ua Estimació Putual La desviació estádar de X X se cooce e la estimació como error estádar de X X. De maera simple, el error estádar de u estimador es su desviació estádar. E el caso dode y se descooce y el muestreo es sobre ua distribució ormal, s y s reemplaza a y y se icluye el error estádar estimado. El puto importate a cosiderar es que el acho del itervalo de cofiaza de μ y μ depede de la calidad del estimador putual a través de su error estádar. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 4

43 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 43 Error Estádar de ua Estimació Putual (cot.) De esta forma los límites de cofiaza de μ μ so Dode s.e. (e.e.) es el error estádar y s.e. (e.e.) es el error estádar estimado. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) as y descoocid so iguales y, ˆ.ˆ. y descoocidas so diferetes y, ˆ.ˆ. so coocidas y,.. x x s e t x x s t x x x x s e t x x s s t x x x x s e z x x z x x p ± = + ± ± = + ± ± = + ±

44 Estimació de la Variaza Ua Muestra Si se extrae ua muestra de tamaño de ua població ormal co variaza, y se calcula la variaza muestral s se obtiee u valor de la estadística S. Esta variaza muestral calculada se usará como estimació putual de, por ello la estadística S se llama estimador de. Se puede establecer ua estimació por itervalos de mediate el uso de la estadística ( ) S X = La estadística X tiee ua distribució chi-cuadrada co v = grados de libertad cuado las muestras se elige de ua població ormal. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 44

45 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 45 Estimació de la Variaza Ua Muestra (cot.) Se puede escribir: Dode χ / y χ / so valores de la distribució chicuadrada co v = grados de libertad, que deja áreas de / y /, respectivamete, a la derecha. ( ) ( ) χ χ χ χ = = S P X P

46 Estimació de la Variaza Ua Muestra (cot.) UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 46

47 Estimació de la Variaza Ua Muestra (cot.) Al dividir cada térmio de la desigualdad etre ( )S, e ivertir cada térmio (lo que cambia el setido de las desigualdades), se obtiee: P ( ) S ( ) χ Para la muestra aleatoria particular de tamaño, se calcula la variaza muestral s, y se obtiee el itervalo de cofiaza de ( )00% para. χ S = UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 47

48 Estimació de la Variaza Ua Muestra (cot.) Itervalo de cofiaza para. Si s es la variaza de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població ormal, u itervalo de cofiaza ( )00% para es: ( ) s ( ) χ Dode χ / y χ / so valores χ co v = grados de libertad, que deja áreas de / y /, respectivamete, a la derecha. χ s UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 48

49 Estimació de la Variaza Ua Muestra (cot.) Itervalo de cofiaza para. U itervalo de cofiaza ( )00% para se obtiee al tomar la raíz cuadrada de cada extremo del itervalo de cofiaza para. ( ) s ( ) χ Dode χ / y χ / so valores χ co v = grados de libertad, que deja áreas de / y /, respectivamete, a la derecha. χ s UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 49

50 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras Ua estimació putual de la razó de dos variazas poblacioales / está dada por la razó s /s de las variazas muestrales. Esta variaza muestral calculada se usará como estimació putual de /, por ello la estadística S /S se llama estimador de /. Si y so las variazas de poblacioes ormales, se puede establecer ua estimació por itervalos de / mediate el uso de la estadística: S F = S La variable aleatoria F tiee ua distribució f co v = y v = grados de libertad. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 50

51 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 5 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras (cot.) Se puede escribir: Dode f / (v,v ) y f / (v,v ) so valores de la distribució f co v y v grados de libertad, que deja áreas de / y /, respectivamete, a la derecha. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = =,,,, v v f S S v v f P v v f F v v f P

52 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras (cot.) UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 5

53 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 53 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras (cot.) Al multiplicar cada térmio e la desigualdad por S /S, y después ivertir cada térmio (para cambiar el setido de las desigualdades), se obtiee: ( ) ( ) =,, v v f S S v v f S S P

54 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras (cot.) Además, se puede reemplazar la catidad f / (v,v ) y por /f / (v,v ). Por lo tato: S P S S f S f ( v, v ) v ( v, ) = Para cualesquiera dos muestras aleatorias idepedietes de tamaño y que se seleccioa de dos poblacioes ormales, la razó de las variazas muestrales s /s, se calcula y se obtiee el itervalo de cofiaza de ( )00% para /. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 54

55 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras (cot.) Itervalo de cofiaza para /. Si s y s so las variazas de muestras idepedietes de tamaño y, respectivamete, de dos poblacioes ormales, etoces u itervalo de cofiaza ( )00% para / es: S S f, f ( v, v ) S ( v v ) Dode f / (v,v ) es u valor de la distribució f co v = y v = grados de libertad, que deja área de / a la derecha. S UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 55

56 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras (cot.) Itervalo de cofiaza para /. U itervalo de cofiaza ( )00% para / es se obtiee al tomar la raíz cuadrada de cada extremo del itervalo de cofiaza para / : S S f, f ( v, v ) S ( v v ) Dode f / (v,v ) es u valor de la distribució f co v = y v = grados de libertad, que deja área de / a la derecha. S UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 56

57 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras (cot.) E el caso de la razó de dos variazas, la iterpretació se puede exteder a ua comparació de dos variazas: Si el itervalo de cofiaza de la razó / permite la posibilidad de que / sea igual a, se ifiere que = co poco grado de error. Si el itervalo de cofiaza de la razó / o permite la posibilidad de que / sea igual a, se ifiere que co poco grado de error. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 57

58 Estimació de la Razó de Dos Variazas Dos Muestras (cot.) E el caso de la razó de dos desviacioes estádar, la iterpretació se puede exteder a ua comparació de dos desviacioes estádar: Si el itervalo de cofiaza de la razó / permite la posibilidad de que / sea igual a, se ifiere que = co poco grado de error. Si el itervalo de cofiaza de la razó / o permite la posibilidad de que / sea igual a, se ifiere que co poco grado de error. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 58

59 Referecias Bibliográficas Walpole, R.E.; Myers, R.H.; Myers, S.L. & Ye, K. Probabilidad y estadística para igeiería y ciecias. Octava Edició. Pearso Pretice-Hall. México, 007. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras 59