1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos

Transcripción

1 1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces: El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado HIPOTENUSA, y los lados AC y BC, CATETOS. cateto hipotenusa cateto

2 1 Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. (cateto 1 ) 2 +(cateto 2 ) 2 =(Hipotenusa) 2 ó a 2 + b 2 = c 2

3 Ejemplo: De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide (QR) 2 = (QR) 2 = 625 (QR) 2 = (QR) 2 = 400 QR = 20 (Aplicando teorema de Pitágoras) (Desarrollando) (Despejando (QR) 2 ) (Restando) (Aplicando raíz)

4 Números pitagóricos: Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras. Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13 8, 15 y 17 Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan familias de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos formados al multiplicar el trío inicial por cada número natural. Por ejemplo: 3, 4 y 5 6, 8 y 10 9, 12 y 15 12, 16 y , 12 y 13 10, 24 y 26 15, 36 y 39 20, 48 y

5 Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras = = (10) = (15) 2

6 Consideremos los siguientes casos: 1. Cuando un cateto es el doble del otro Ejemplo: 2. Cuando un cateto es el triple del otro Ejemplo:

7 Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = h c, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que: 2 h c = p q a 2 = c q b 2 = c p Además, se cumple que: p: proyección del cateto AC sobre la hipotenusa q: proyección del cateto BC sobre la hipotenusa h c = a b c

8 Ejemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Aplicando Teorema de Euclides: CD 2 = AD DB CD 2 = 4 3 (Reemplazando) (Aplicando raíz) CD = 4 3 CD = 2 3

9 Además, por Euclides se cumple que: AC 2 = AB AD AC 2 = 7 4 (Reemplazando) (Aplicando raíz) AC =

10 2. Relaciones Métricas en el triángulo rectángulo Triángulo de ángulos interiores: 30, 60 y 90 En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30 y 60 se cumple que:

11 Ejemplo: Determinar el área del triángulo ABC de la figura BAC = 30 CB = 5 y AB = 5 3 El área del triángulo ABC es: Área = =

12 Los triángulos con ángulos interiores de 30, 60 y 90, corresponden a la mitad de un triángulo equilátero.

13 Triángulo rectángulo isósceles En el triángulo rectángulo isósceles de lado a de la figura, se cumple que: C Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa). A C B Solución: CBA = 45 AC = 4 y BC = 4 2 A 45 B

14 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad Si M es punto medio de AB, entonces: AM = MB = CM t c : transversal

15 Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el DCB Solución: Completando los ángulos, CBA = 40 Si CD es transversal de gravedad, D es punto medio AD = DB = CD El triángulo CDB es isósceles de base BC CBA = DCB Por lo tanto, DCB = 40

16 Área de un triángulo rectángulo A = cateto 1 cateto 2 2 En la figura: A = a b 2

17 Definición 3. Triángulo Equilátero Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y sus tres ángulos congruentes. AB = BC = CA

18 Propiedades Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales. h a = h b = h c t a = t b = t c b a = b b = b c S a = S b = S c Además: h a = t a = b a = S a h b = t b = b b = S b h c = t c = b c = S c Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.

19 Área y altura de un triángulo equilátero: Sea ABC un triángulo equilátero de lado a, entonces su área y altura se expresan como: A = a h = a 3 2 Ejemplo: Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3. Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.

20 A partir de la altura determinaremos el lado. Sea x la medida del lado, entonces: h = x = x = x 2 6 = x Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será: A = A = 36 3 A = 9 3 cm 2 4

21 Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita: h = r + r 2 h = 3r 2

22 Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita: h = 3r

23 Definición 4. Triángulo Isósceles Es aquel que tiene dos lados congruentes y un lado distinto llamado base. Los ángulos basales son congruentes. 4.2 Propiedades a) La altura, transversal, bisectriz y simetral que cae en la base, coinciden.

24 Ejemplo: En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x. Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC. 90 = Si D: punto medio, entonces BD es transversal. BD es altura, bisectriz y simetral. DBA = 40 y ADB = 90 x= 50

25 b) Las alturas, transversales y bisectrices que se trazan desde los vértices congruentes, miden lo mismo. h a = h b t a = t b b a = b b Además: S a = S b