UNIDAD Nº 1: DERIVACION E INTEGRACIÓN. APLICACIONES

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1 Complemento de Matemática UNIDAD Nº : DERIVACION E INTEGRACIÓN. APLICACIONES La derivada Vamos a recordar esta noción que se empezó a estudiar en Matemática de primer año. Definición Sean f una función real, un punto interior de su dominio y h distinto de cero tal que + h pertenece al dominio de f, la derivada de f en es f ( + h) f ( f '( = h > h siempre que este límite eista. h denota el camio o variación de la variale (si es positivo representará el incremento de. f ( + h) f ( denota la variación de f cuando h es el camio de y se suele indicar en la forma f (, h) Otra forma alternativa de la definición de derivada en un punto a es f ( f ( a) f '( a) = a a El número f '( a) se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ( a, f ( a)). Aplicaciones al comercio y a la economía. Análisis marginal en Economía Cuando se usan las derivadas en economía para calcular tasas de camio de unas magnitudes respecto de otras, el procedimiento se llama análisis marginal. El costo marginal: es la tasa de variación del costo C de producción, con respecto al número de unidades producidas. El ingreso marginal: es la tasa de variación del ingreso R, con respecto al número de unidades producidas. En Cálculo eiste la siguiente relación: f (, h) = f ( + h) f ( f '( cuando. () Utilizaremos esta relación en el caso de funciones de costo y de ingreso. En economía interesa a menudo saer la variación del costo o del ingreso que se origina por un camio unitario en la producción. Es decir, si =, entonces la variación del costo deida a un camio unitario en es: C = C( + C ( = C ( + ) C( y la variación del ingreso deida a un camio unitario en es

2 Complemento de Matemática R = R( + R ( = R ( + ) R( En la práctica se aproiman estas funciones usando el costo y el ingreso marginal, respectivamente. Por la relación consignada en (), se tienen las siguientes aproimaciones: C = C( + ) C( C '( R = R( + ) R( R '( O sea que C '( aproima el costo de producir la unidad ( + )-ésima. El ingreso marginal R '( aproima el ingreso de vender la unidad ( + )-ésima. Desde el punto de vista económico, C, permite conocer con eactitud el costo de producir la unidad ( + )-ésima. De la misma manera, R, da el ingreso eacto otenido al vender la unidad ( + )-ésima. La ventaja de emplear C '(, R '(, es principalmente porque el cálculo es más sencillo que el que se tiene que hacer con C y R, respectivamente, como veremos en un ejercicio posterior. Resumen de fórmulas y términos comerciales Términos Interpretación ásicos Es el número de unidades producidas o vendidas p = p( Es la función demanda. Es el precio por unidad. R = R( Es la función ingreso. Es el ingreso producido al vender por unidades. C = C( Es la función de costo. Es el costo de producción de unidades. Es la función de costo medio por unidad. C = C ( ) P = P( Es la función eneficio por la venta de unidades. Fórmulas ásicas R ( = p( C( C( = P( = R( C( El punto de eneficio nulo es el número de unidades para el cual R( C( En la siguiente tala presentamos las derivadas de funciones vinculadas al cuadro anterior y su interpretación: Marginales Interpretación dr Es el ingreso marginal. Aproima el ingreso al R '( = d vender una unidad adicional. dc Es el costo marginal. Aproima el costo de C ' ( ) = d producir una unidad adicional. P '( = dp d Es el eneficio marginal. Aproima el eneficio al vender una unidad adicional.

3 3 Complemento de Matemática Ejemplo: Un faricante estima que, al producir unidades de un ien de consumo, el costo total será de C( = / (miles de pesos), y que se venden todas las unidades si el precio que pone es de p( = /3 (75 (miles de pesos) por unidad. i) Hallar el costo y el ingreso marginal. ii) Usar el costo marginal para estimar el costo de producir la novena unidad. iii) Cuál es el costo real de producir la novena unidad? iv) Usar el ingreso marginal para estimar el ingreso al producir la novena unidad. v) Cuál es el ingreso real al producir la novena unidad? Solución: i) El costo marginal es C ( = ¼ + 3. Para calcular el ingreso marginal deemos hallar primero la función de ingreso que es R( =.p( R( = /3 (75 = -/3 + 5 Entonces el ingreso marginal es R ( = - / ii) El costo de producir la novena unidad es la variación del costo cuando aumenta de 8 a 9, y se estima mediante el costo marginal: C (8) = ¼ = 5 Así, el costo estimado de producción de la novena unidad es de 5. pesetas. iii) El costo real es C = C(9) C (8) = [/8 (9) + 3 (9) + 98] [/8 (8) + 3 (8) + 98] = 5.5 miles de pesetas iv) El ingreso otenido por la venta de la novena unidad se estima mediante el ingreso marginal: R (8) = - /3 (8) + 5 = 59/3 9,67 miles de pesos. v) El ingreso real otenido de la venta de la novena unidad es R = R(9) R(8) = 58/3 = 9,33 miles de pesos. Nota: el ingreso otenido por la venta de la novena unidad no es el precio de una unidad si ya se han vendido 9. Es, más ien, el ingreso adicional que se otiene al vender la novena unidad, esto es, el ingreso total por la venta de 9 unidades menos el de la venta de 8. Valores etremos de una función. Máimos y mínimos asolutos. Sea f una función definida en un conjunto D y sea c un número de D. Entonces : el número f (c) es el máimo asoluto de f en D si y sólo si f (c) f (,para todo en D. el número f (c) es el mínimo asoluto de f en D si y sólo si f (c) f (,para todo en D.

4 4 Complemento de Matemática Máimos y mínimos relativos. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto D, y sea c un punto interior a dicho conjunto. El número f (c) es el máimo local o relativo de f si y sólo si eiste un entorno del punto c tal que los valores que toma f en los puntos de dicho entorno no superan el valor de f (c). Es decir : f (c) es el máimo local E (c) D/ : ( E (c) f (c) f () De modo similar : f (c) es el mínimo local E (c) D/ : ( E (c) f (c) f () Se llaman valores etremos de una función a los máimos y mínimos locales o asolutos de la misma. Gráficamente : y f(c 3 ) f(c ) f(a) f(c ) a c c c 3 f (c) es máimo asoluto en [a,] y máimo local. f (c) es mínimo local en [a,] ( no es mínimo asoluto). f (c3) es máimo local en [a,] ( no es máimo asoluto) f () es mínimo asoluto en [a,] ( no es mínimo local). Puntos críticos Sea f una función continua definida en un intervalo ( aierto o cerrado). El punto C es un punto crítico de f en dicho intervalo si se cumple que: º) c es interior al intervalo y f (c) =, ó º) c es interior al intervalo y no eiste f (c), o ien 3º) c es un etremo del intervalo ( cerrado).

5 5 Complemento de Matemática Actividades. ) Halle los etremos asolutos de las funciones siguientes en los intervalos cerrados dados: 3 a) f ( = 9 + en [,5 ]. ) g( = 8 en [,7] c) h ( = + 3 en [-,] ). Qué relación eiste entre los puntos críticos y los etremos de una función? Funciones Monótonas. La función f es estrictamente creciente en un intervalo I si : < f ( < f ( ) para, en I. De un modo similar, f es estrictamente decreciente en un intervalo I si : < f ( > f ( ) para, en I. Una función f se llama (estrictamente) monótona en un intervalo I si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en I. Propiedad. Supongamos que f es derivale en un intervalo aierto (a,). Entonces la función f es estrictamente creciente en (a,) si : f '( >, para a < < y f es estrictamente decreciente en (a,) si : f '( <, para a < <. Ejemplo. Determine donde la función f (= 3 decreciente es estrictamente creciente o Solución: Primero calculamos la derivada f ( y resolvemos la ecuación f ( =. Tenemos que : =, la que tiene como raíces a = - y = 3. Estos son los puntos,,,3, 3, Se recomienda hacer un esquema gráfico. críticos de la función f, que dividen al eje en tres partes: ( ) ( ) ( )

6 6 Complemento de Matemática Seleccionamos un número genérico de cada intervalo. Por ejemplo, tomamos -, y 4, se calcula la derivada en esos puntos y se pone una flecha hacia arria ( ) o hacia aajo ( ) según que la derivada sea positiva o negativa, respectivamente. Haciendo éstos cálculos, resulta que : f es estrictamente creciente para < - y >3, y f es estrictamente decreciente para -< < 3. Otro procedimiento: Que la derivada primera se anule en los puntos = y en = 3, significa que la recta tangente a la gráfica de la curva de la función f en los puntos (, f ( ) ) y en ( 3, f (3)) es paralela al eje de las. Esto nos puede permitir hacer un gráfico aproimado de la curva de f y constatar de un modo gráfico dónde la función es estrictamente creciente y dónde es estrictamente decreciente. Hacer el gráfico aproimado de f y las rectas tangentes mencionadas. De aquí podemos ir viendo que los puntos mencionados nos proporcionan los etremos de la función: f ( ) y f (3), máimo y mínimo relativos, respectivamente. Criterios para determinar etremos relativos. Criterio del estudio del signo de la derivada primera Todo etremo relativo ocurre en un punto crítico, pero no todo punto crítico da lugar a un etremo relativo. Es suficiente ver que la función f (= 3, = es un punto crítico, sin emargo f () no es un etremo relativo como se puede ver en la figura. y f Este criterio, el signo de la derivada primera estalece que: si la derivada es positiva a la izquierda de un punto crítico C, y negativa a la derecha, la gráfica camia de creciente a decreciente, luego f (c) es un máimo relativo. En otro sentido: si la derivada es negativa a la izquierda de un punto crítico C, y positiva a la derecha, la gráfica camia de decreciente a creciente, luego f (c) es un mínimo relativo. Si el signo se conserva, f (c) no es un etremo relativo. Ejemplo. Consideremos nuevamente el polinomio: f (= Teniendo en cuenta los resultados que otuvimos y el esquema que hicimos presentamos esta figura :

7 7 Complemento de Matemática f > f < f > Si aplicamos el criterio de la derivada primera surge que : f (-) = (-) 3-3(-) - 9(-) + = 6 es un máimo relativo y f (3) = = -6 es un mínimo relativo. Concavidad y Punto de Infleión En la figura () la gráfica de la función es cóncava hacia arria y en la figura () es cóncava hacia aajo. y f y f Definición. La gráfica de una función es cóncava hacia arria en cualquier intervalo I donde f ( > y la gráfica de la función es cóncava hacia aajo en cualquier intervalo I donde f ( <.

8 8 Complemento de Matemática Punto de Infleión El punto P = (c, f (c)) de la curva, donde la gráfica camia la dirección de su concavidad se llama punto de infleión de la función. Gráficamente : y y f f (c) p c Criterio de la derivada segunda. Sea f una función tal que f (c) = y eiste la derivada segunda en un intervalo aierto que contiene a c. si f (c) >, hay un mínimo relativo. si f (c) <, hay un máimo relativo. si f (c) =, no se puede afirmar nada sore la eistencia de etremos. Actividad. Use el criterio de la derivada segunda para determinar etremos relativos de la función : f ( = Solución. Calculemos la derivada primera. f ( = = 5 ( 3 -) Para hallar los puntos críticos, hacemos f ( = 5 ( -) = para =, = y = - Calculemos la derivada segunda: f ( = Aplicamos el criterio de la derivada segunda: f () = no hay información. f () = 3, positivo, hay un mínimo relativo en =. Su valor es

9 9 Complemento de Matemática f () =. f (-) = -3, negativo, el criterio da un máimo relativo en = -. Su valor es f (- ) = 4. Ejercicio resuelto. Tasa máima de producción. Un estudio de eficacia del turno de la mañana en una fárica indica que un traajador medio que llega a las 8 : hs. hará producido Q (t) = -t t + t unidades al cao de t horas. A qué hora de la mañana tiene el traajador su tasa de rendimiento o de producción máimo?. Solución. La tasa de producción del traajador es la derivada: R (t) = Q (t) = -3 t + 8 t +. (R (t) viene a ser la función f que usamos en el estudio que venimos haciendo). Suponiendo que en el turno de la mañana traaja de 8 : a :, hay que maimizar la función en el intervalo cerrado [,4]. La derivada de R ( o de f) es : R (t)= Q (t)= -6 t+ 8, que es cero cuando t = 3, este es el punto crítico. Teniendo en cuenta la definición de punto crítico, los etremos deen aparecer, ien en y 4 por ser etremos de intervalo cerrado [,4] y en t = 3 por ser R (3)= Q (3)= Tenemos que : R()= R(3) = 39 R(4) = 36 Luego, la tasa de producción R(t) es máima, y el traajador tendrá rendimiento máimo cuando t= 3, es decir a las de la mañana. Buscando el máimo eneficio. ( 8 La ecuación de demanda para el producto de un faricante es, p( = 4,en donde es el número de unidades y p ( es el precio por unidad. A qué valor de hará un ingreso máimo? Cuál es el ingreso máimo? Solución Sea R el ingreso total. Entonces ingresos = (precio)(cantidad) ( 8 Por ello: R( = p( =. = 4 4 Derivamos: R'( = R '( = = 4 Así, 4 es un punto crítico. Ahora se determinará si este valor nos dará un máimo. Si seguimos un procedimiento gráfico, podemos representar la función R (, cuya gráfica es una paráola y luego representamos la función R '( cuya gráfica es una recta. Hacer esto en clase. Luego, comproar este resultado empleando los criterios del estudio del signo de la derivada primera y de la derivada segunda.

10 Complemento de Matemática NOTA : Para estudiar el nivel de producción sore los costos, los economistas utilizan la función coste medio C definida por: C( C ( = función costo medio El ejemplo siguiente ilustra una aplicación de esta función. Ejemplo Una empresa estima que el costo de producción (en pesos) de unidades de ciertos productos es C( = 8 +,4 +,. Hallar el nivel de producción que hace mínimo el coste medio por mitad. Solución: Sustituyendo C de la ecuación dada, se otiene: C( C ( = = = +,4 +, Igualando su derivada a cero resulta: dc ( d 8 = +, = 8 = = 4.. = unidades. Formas Indeterminadas. Regla de L Hopital f ( En la epresión no se puede aplicar la propiedad que dice que el límite de >c g ( ) un cociente de funciones es igual al cociente de los límites, cuando f ( = g( > c > c Por ejemplo: + > ( + 6) = > 3 ( + 3) = > 3

11 Complemento de Matemática La sustitución directa falla, dado que conduce a una forma sin sentido. Llamamos a tal epresión una forma indeterminada porque no es posile, a la vista de esa forma solamente ( por sustitución) determinar el límite. Qué significa que un límite es indeterminado? Significa que no puede anticiparse o determinarse el resultado y se deen efectuar simplificaciones, reemplazos lícitos, etc. antes de encontrarlo.más aún, una forma indeterminada no garantiza que eista el límite ni indica, incluso en caso de que eista, cuál puede ser su valor. Otra forma conocida indeterminada conocida es. Para calcular el límite en las formas indeterminadas, pueden hacerse todas las simplificaciones, operaciones y sustituciones convenientes. Tamién se puede hallar el límite utilizando un teorema conocido como regla de L Hopital. Este resultado estalece que ajo ciertas condiciones el límite del cociente f ( f '( se halla determinado por el límite de. g( g' ( La regla de L Hopital Sean f y g funciones derivales en un entorno aierto (a,) que contiene a c, ecepto quizás el propio c. f ( Si el límite de cuando tiende a c produce una de las formas g( indeterminadas ó, entonces f ( f '( = = L > c g( > c g'( Siempre y cuando eista L ( o que sea infinito). Ejemplo Hallar > e

12 Complemento de Matemática Solución : puesto que la sustitución directa nos lleva a una indeterminación de la forma /, aplicamos la regla de L Hospital, calculando primero f '( > g'( e > e =, como el límite eiste y es finito entonces = > Oservación: Calculamos primero f '( > g'( límite eiste y recién poder aplicar la regla de L Hopital. para tener la certeza de que el f '( En otras palaras, si no eiste > g'( no sería lícito aplicar la regla. Otra forma de la regla de L Hopital estalece que si : f ( > g( o f ( > g( produce una de las formas indeterminadas / o /, entonces: f ( > g( f '( = > g'( = L siempre que L R ( o que sea infinito). Ejemplo. Calcular: - e - Puesto que la sustitución directa nos lleva a una indeterminación de la forma /, aplicamos la regla de L Hopital; calculando previamente L = f '( > g'( - = =, de modo que = - -e - - e - - e - Además de los tipos / y /, hay otras formas de indeterminación tales como. ; ; ; y. En éstos casos, hay que tratar de pasar cada uno de estos tipos de indeterminación a la forma / o / para los cuales se puede aplicar la regla de L Hopital.

13 3 Complemento de Matemática Integrales impropias Al estudiar la integral definida a f está acotada en un intervalo cerrado y finito [ ] f ( d se ha supuesto que la función integrando a,. Etenderemos la definición de integral definida al caso en que f no está acotada en algún punto del intervalo de integración y tamién al caso en que el intervalo no está acotado, por ejemplo, intervalos de la forma: [, ), (, ], etc. Amos casos se llaman integrales impropias. Integral impropia de primera especie: Integrales impropias con límites de integración infinitos Ejemplo Considere el prolema de calcular el área de la región itada por la curva y, el eje y la recta de ecuación =, donde >. y = e, el eje El área de la región somreada es: A = e d = e = e Al tomar el límite para > se tiene: e d = e = > > > e ( ) = Como el límite eiste, la integral impropia de primera especie e d se puede escriir en la forma: e d = e d = >

14 4 Complemento de Matemática Sin importar que tan grande se tome el valor de, el área de la región mostrada en la figura es siempre menor que unidad al cuadrado. Definición de integral impropia con límite superior infinito Si f es continua para toda a, entonces se define la integral impropia a f (d = f (d si este límite eiste. > a Se dice que la integral impropia es convergente si este límite eiste. En caso contrario se dice que la integral impropia es divergente. De un modo similar se define la integral impropia con límite inferior infinito. Ejercicio Determine si la integral impropia Solución d es convergente. f ( = Sea > d = = = +

15 5 Complemento de Matemática Tomamos límite en amos miemros, para d = = > > > Como el límite eiste, se dice que la integral impropia valor es. Es decir d = Ejercicio d es convergente y su Determine si la siguiente integral impropia d Solución es convergente Sea > d = ln = ln ln = ln Ahora el límite en amos miemros: d = ( ln ) = > > Como el límite no eiste, no es un número, se dice que la integral impropia diverge. En lenguaje geométrico, el área de la derecha de = y ajo la curva y = es infinita. Ejercicio 3 Evalúe si la integral impropia siguiente es convergente e d

16 6 Complemento de Matemática Solución Sea > e d Cálculos auiliares La integral se resuelve por partes, utilizando la fórmula f '( = e f ( = e d = e g( = g' ( = f ' g = fg fg' Se aplica la fórmula mencionada y nos queda: e d = e + e d = e e Ahora consideramos la integral con límite inferior y superior de integración: e d = = e e + Tomamos límite: > = e > e e ( e e ) = ( e e ) ( ) d = d = > > e e e + = > e + = e e ( ) = + = > + = Se aplicó L Hopital en el primer límite del segundo miemro: = = > e > e Como el límite eiste, se dice que la integral impropia e d. Integral impropia de segunda especie: Integrales impropias con integrando no acotado converge y su valor es Se dice que una función f es no acotada en el punto = c si toma valores aritrariamente grandes en un entorno (proimidades) de c. Desde un punto de vista geométrico, la recta de ecuación = c es asíntota vertical a la gráfica de la función, como por ejemplo:

17 7 Complemento de Matemática La función f no está acotada en = Una integral impropia con integrando no acotado es una integral impropia cuya función integrando tiene una discontinuidad esencial infinita en un punto = c. El punto = c puede encontrarse en un etremo de un intervalo (aierto en ese punto) o en un punto interior a un intervalo. Por ejemplo, sea f ( = para < Entonces f no está acotada en ó lo que es lo mismo decir que, f tiene una discontinuidad esencial infinita en y = es la ecuación de la asíntota vertical. Por lo tanto, la integral d es un ejemplo de integral impropia con integrando no acotado. El intervalo de integración es (,], sin emargo, la función f ( = es continua en el t con t, intervalo cerrado [,] = < t.integramos la función en [ ] d d = = t Ahora tomamos límite, t t t d = ( t ) = + + t > t t > Como este límite eiste, se dice que la integral impropia d converge y su valor es. Definición de integral impropia con una discontinuidad infinita en su límite inferior Si f es continua en toda del intervalo semiaierto por la izquierda ( a, ] y si f ( =, entonces f (d = f (d si este límite eiste. + > a + a t > a t Se dice que la integral impropia f (d converge si este límite eiste y diverge en a caso contrario.

18 8 Complemento de Matemática De un modo similar se define la integral impropia con una discontinuidad infinita en su límite superior. Ejercicio Determine si la integral impropia siguiente es convergente: ( )3 ( ) d 3 Solución f ( = Esta función es no acotada en el etremo derecho del intervalo de integración. Esto equivale a decir que la función tiene una discontinuidad esencial infinita en =, es decir = > ( ) 3,t con t < La función integrando es continua en [ ] t ( ) t ( ) d = 3( ) = 3( t ) 3 d = + 3 Ahora tomamos límite t t > 3 3 t t > ( ) 3d = ( ) = 3 3 t 3 Como este límite eiste, la integral impropia Ejercicios propuestos ( ) d 3 converge y su valor es 3. Determine si las siguientes integrales impropias convergen y en caso afirmativo, indique su valor: a) d ) 5e d c) d d) d 3 + ( ) e) d f ) d g) d h) ( ) ( ) d 5 3 9