4. Mecánica en la Medicina Derivar e Integrar

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1 4. Mecánica en la Meicina Derivar e Integrar Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto e Ciencias Físicas y Matemáticas, Universia Austral, Valivia, Chile W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

2 Uso e Derivaas Las erivaas son una e las herramientas matemáticas e mayor uso en la física. En las clases pasaas vimos que se poía emplear para eterminar la peniente a una curva, como se poía estimar la raíz e una Ecuación y como se poía esarrollar una función en Serie. Este ultimo tema puee ser relevante si no nos interesa una función como un too si no solo en torno a un valor especifico. A moo e ejemplo, si el parámetro es la temperatura corporal nos interesa su comportamiento en torno a los 36.5C. Una temperatura e 80C no tiene ningún interés por lo que nos interés solo como se comporta la función en un rango e igamos 36C a 42C o 43C. En esos casos se puee esarrollar una función f (x) en torno e un valor especifico a para x. Esto se logra con la serie e Taylor f (x) f (a) + para la cual es necesario erivar la función f (x). f (a) x (x a) f (a) (x a) 2... (1) 2 x 2 W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

3 Ejemplo e Serie e Taylor (1) En la gráfica se muestra la curva para la función (linea azul) f (x) = 2,3 + 4,2 sin(x) + 2,1 cos(x) Si nos interesa representarla por una Serie e Taylor en torno a x = 0, la aproximación lineal f (x) f (0) + f (0)x (2) Aproximación via Serie e Taylor esto sera x lo que correspone a la recta roja. Esta representa bien la curva hasta un x e aproximaamente 0.2. Si consieramos el próximo oren f (x) f (0) + f (0)x f (0)x 2 (3) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

4 Ejemplo e Serie e Taylor (2) se obtiene x x2 que correspone a la linea vere. Ahora poemos llegar hasta un x e aproximaamente 0.5. En el próximo oren f (x) f (0)+f (0)x+ 1 2 f (0)x ! f (0)x 3 (4) Aproximación via Serie e Taylor se obtiene x x x3 que correspone a la linea fucsia. Esta llega hasta x el oren e 1.0. Mientras las primeras os aproximaciones tenían a exagerar el valor sobre el real, el tercero tiene a sub-evaluar. W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

5 Ejemplo e Serie e Taylor (3) En general el esarrollo e Taylor solo vale en torno al valor en que se esarrolla. Mientras mas elementos se consieran mejor es la aproximación e la función original, es ecir mejora la reproucción para valores mayores en la esviación respecto el punto que se esarrollo la función. Aproximación via Serie e Taylor W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

6 Definición Derivaa (1) Derivaa como peniente a una curva La erivaa se efine como la proporción e la variación e una función con respecto e la variación e la variable e la que epene en el limite e icha variación tiene a cero: f x = l«ım f (x + ɛ) f (x) ɛ 0 ɛ Aicionalmente se emplea la notación alternativa el apostrofe f (x) = f x mientras que en física para las erivaas en el tiempo se emplea la notación el punto v = ẋ = x t (5) (6) (7) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

7 Definición Derivaa (2) one por ejemplo x es la posición y v es la velocia. Para el caso e que se realice una oble erivaa la notación es f (x) = 2 f x 2 (8) Derivaa como peniente a una curva W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

8 Ejemplo e Derivaa En el caso e una potencia e la forma f (x) = x n (9) se puee aplicar en forma irecta la efinición e la erivaa para obtener la expresión genérica e la erivaa. Si aplicamos la efinición e la erivaa (5) a la función (9) se obtiene f (x) = f x = l«ım (x + ɛ) n x n ɛ 0 ɛ Si se esarrolla el binomio hasta el termino lineal en ɛ (los restantes serán nulos en el limite n 0) se obtiene que Con ello la erivaa termina sieno (x + ɛ) n x n + nx n 1 ɛ f x n + nɛx n 1 x n (x) = l«ım = nx n 1 (10) ɛ 0 x + ɛ x W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

9 Derivaas e otras Funciones (1) En el caso e otras funciones la eterminación e la erivaa puee ser algo mas compleja. A continuación se listan aquellas erivaas e funciones que se emplean con mayor frecuencia. La erivaa el exponencial con base natural (e) es igual a la función exponencial misma: x ex = e x (11) En el caso e que la base no es la constante a la erivaa es solo proporcional a la función exponencial x ax = a x ln(a) (12) Esta función se reuce a la ecuación anterior para el caso e que la base sea e ya que ln(e) = 1 (13) En el caso e la erivaa el logaritmo natural se tiene que x ln(x) = 1 x (14) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

10 Derivaas e otras Funciones (2) y para el logaritmo e base a se tiene x log a (x) = log a (e) x De ser la base a se reuce a la ecuación anterior ya que (15) log e (e) = ln(e) = 1 (16) Si uno estuia la función sin(x) se puee ar cuenta que su erivaa es nuevamente una oscilación pero esfasaa que e hecho correspone al coseno: Derivaa e la función sin(x) sin(x) = cos(x) (17) x W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

11 Derivaas e otras Funciones (3) Algo similar ocurre con la erivaa el cos(x) solo que hay un cambio e signo: cos(x) = sin(x) (18) x Las erivaas e las funciones hiperbólicas muestran un comportamiento similar: sinh(x) = cosh(x) (19) x solo que no existe el cambio e signo: cosh(x) = sinh(x) (20) x W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

12 Derivaas e os Funciones En muchas ocasiones las funciones no son tan simples y son composiciones e funciones mas simples. Un ejemplo simple es la suma e funciones. Si se tienen las funciones f (x) y g(x) la erivaa e la suma e estas es igual a la suma e las erivaas: f (f + g) = x x + g (21) x En el caso e una multiplicación las se eben erivaa las funciones por separao: f (fg) = x x g + f g (22) x En el caso e una ivisión e funciones el proceso es algo mas complejo ya que se rigen por ( ) f = x g f x g f g x (23) g 2 W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

13 Ejemplos e Derivaas e os Funciones (1) Si necesitamos aplicar las reglas para erivar funciones compuestas ebemos primero ientificar las funciones en que escomponemos nuestra función, por ejemplo f (x) = x 2 y g(x) = cos(x) Luego se eben erivar las funciones auxiliares que en este caso nos a x x2 = 2x y cos(x) = sin(x) x Luego poemos componer la erivaa compuesta. Si las funciones estuviesen sieno sumaas se obtenría segun (21) que: x (f + g) = x (x2 + cos(x)) = 2x + sin(x) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

14 Ejemplos e Derivaas e os Funciones (2) En caso e que se tratara e un proucto e funciones se aplicaría la ecuación para el proucto (22) por lo que se tiene x (fg) = x (x2 cos(x)) = 2x cos(x) x 2 sin(x) Por ultimo poemos consierar el caso en que la función se puee escomponer en una función f iviia por la función g. En este caso aplicamos (23) con lo que se obtiene x ( x 2 cos(x) ) = 2x cos(x) x2 sin(x) cos 2 (x) que se puee rescribir factorizano como ( ) x 2 = 2x ( ) 1 x cos(x) cos(x) cos(x) x tan(x) Si la función es mas compleja siempre se puee ir escomponieno en mas funciones y proceer a erivar por grupos. W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

15 Cambio e Variables (1) Otra situación que se puee ar es que la función sea simple pero que la variable con la cual eseamos erivar se encuentra esconia como en f (x) = cos(ax) en que esta multiplicaa por una constante a. En estos caso se puee hacer un cambio e variable, o sea efinir una nueva variable en engloba nuestro problema. En este caso seria un u que es igual a ax con lo que estaríamos erivano nuevamente una función conocia cos(u) o sea tenríamos f u = cos(u) = sin(u) = sin(ax) u Para poer hacer esta operación ebemos realizar el cambio e variable en la erivación que se realiza multiplicano por la erivaa e nuestra nueva variable en la variable original: La erivaa e u nos a simplemente f x = f u u x u x = x ax = a (24) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

16 Cambio e Variables (2) por lo que el resultao final es f = a sin(ax) x Otros caso mas complejo es el e la erivaa en x e f (x) = e ax2 Nuevamente lo simple para nosotros es erivar el exponencial simple por lo que poemos efinir la variable u = ax 2 con lo que f u = u eu = e u = e ax 2 W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

17 Cambio e Variables (3) La erivaa e u es simplemente con lo que el resultao final es u x = x ax2 = 2ax f x = 2 2axeax W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

18 Integrar (1) Área ebajo e la Curva g(x) Otro e los temas e interés es la posibilia e calcular el área bajo una curva g(x) entre los valores x 1 y x 2. Esto correspone a la llamaa integral e la función g y se escribe como x2 x 1 g(x)x (25) one el símbolo es una S estilizaa que nos ebe recorar que se trata e la suma ebajo e la curva g. El concepto erivaa nos permite en este caso justamente encontrar una forma e como calcular (25). Si suponemos que encontramos una función f tal que su erivaa es justamente g g(x) = f x (26) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

19 Integrar (2) se puee reescribir el integral con Área ebajo e la Curva g(x) x2 x 1 x g(x) = x2 x 1 x f x = x2 Sin embargo el integral en f es simplemente la iferencia entre el valor e f en x 2 menos el en x 1, o sea x2 x 1 g(x)x == f (x 2) f (x 1) (27) En otras palabras la función integral es la función inversa e la erivaa ya que su aplicación nos retorna la función original x f = f (x) (28) x x 1 f W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

20 Ejemplo e Integración (1) En aquellos casos en que ya se conocen las erivaas e funciones poemos ientificar las integraciones que se pueen realizar con ichas relaciones. A moo e ejemplo vimos que x xn = nx n 1 Si reescribimos esta relación con un nuevo n que sea igual a n 1, poemos concluir que x xn+1 = (n + 1)x n por lo que poemos afirmar que x x n = xn+1 (29) n + 1 o sea x2 x x n = 1 x 1 n + 1 (xn+1 2 x n+1 1 ) (30) Otro caso es la erivaa e la función exponencial x ex = e x (31) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

21 Ejemplo e Integración (2) por lo que e x x = e x (32) o x2 x 1 e x x = e x 2 e x 1 (33) Como tercer ejemplo veamos la erivaa e la función trigonométrica sin. Como la erivaa es el cos es cos(x) = sin(x) (34) x se tiene que la integral ebe ser sin(x)x = cos(x) (35) o x2 x 1 sin(x)x = cos(x 1) cos(x 2) (36) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

22 Introucción a Ecuaciones Diferenciales (1) Cuano veamos los moelos e propagación e enfermeaes veremos que en un tiempo t el numero e nuevos enfermos n va a ser proporcional al numero existente n y al mismo tiempo e exposición t. En forma e ecuación esto es n = γnt one γ es la constante e proporcionalia que se relaciona a la capacia e contagio e la enfermea. De esta forma el problema, en esta forma simplificaa se moela meiante lo que e enomina una ecuación iferencial e la forma n = γn (37) t Para resolver la ecuación buscamos una función n cuya erivaa sea igual a la misma función multiplicaa por una constante. Como vimos esto es la función exponencial con exponente γt o sea n(t) = Ae γt con A una constate. El sentio físico e la constante lo poemos eterminar si estuiamos el comportamiento e la función para el tiempo inicial t = 0. En ese caso la función quea W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

23 Introucción a Ecuaciones Diferenciales (2) n(0) = A mostrano que A es el numero e enfermos que existieron al inicio, o sea n(0). Por ello la solución e nuestro moelo es n(t) = n(0)e γt (38) lo que muestra un crecimiento exponencial. Como veremos mas aelante este moelo no incluye ni la muerte e iniviuos que ejan e contagiar ni las meias e contención que se porían introucir. Otro ejemplo es la ecuacion e una masa m fijaa a un resorte k. En tal caso la masa por la aceleracion es igual a la fuerza e Hook con constante k o sea m 2 s t 2 La ecuaccion se puee escribir como = ks 2 s t 2 = k m s (39) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

24 Introucción a Ecuaciones Diferenciales (3) lo que exige que la oble erivaa lleve a la misma función pero con signo negativo. Las funciones que cumple este conición son las funciones trigonométricas sin y cos. Por ello la solución ebe ser e la forma s(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) one ebemos eterminar a que valores correspone A, B y ω. Si erivamos os veces esta expresion se obtiene 2 s t 2 por lo que concluimos que el ω = ω2 A sin(ωt) ω 2 B cos(ωt) ω 2 = k/m o sea k ω = m Como el ciclo se repite caa vez que el tiempo es un multiplo e (40) t = 2π ω W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25

25 Introucción a Ecuaciones Diferenciales (4) concluimos que la frecuencia e la oscilación es ν = 1 k 2π m Para ver el significao e A y B basta e estuiar las coniciones iniciales para t = 0. La posición sera s(0) = B (41) con lo que B pasa a ser la amplitu inicial e la masa. Si consieramos la velocia inicial erivano la solucion en el tiempo y evaluano para t = 0 se obtiene v(t) = s = Aω cos(ωt) Bω sin(ωt) t Con ello quea claro que el A se asocia a la velocia inicial meiante Con ello la solución quea como s(t) = v(0) ω v(0) = Aω sin(ωt) + s(0) cos(ωt) (42) W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática / 25