UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO MULTIVARIABLE Primer Parcial

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1 Primer Parcial Identifica los criterios de convergencia para determinar si una serie es convergente o no. 1,2 Representa una función mediante una serie de potencias estableciendo el intervalo de convergencia. 3 Grafica las superficies cuadráticas utilizando métodos manuales y computacionales [Valor 0.5] Un auto recorre 20m en un minuto; 10m al siguiente minuto; 5m al siguiente y así sucesivamente. Cuánta distancia habrá recorrido al finalizar 1 hora? 2. [Valor 1.0] Demuestre si converge o no la serie n=1 3. [Valor 1.0] Calcule el intervalo de convergencia para 4 4. Si V (x, y) = x 2 +y 2 1 curvas equipotenciales. 2 n n+1. ( 1) n+1 n x n. n=0 es el voltaje en un punto (x, y) del plano, las curvas de nivel de V se llaman a) [Valor 0.5] Determine el dominio de V y grafíquelo. b) [Valor 1.0] Dibuje las curvas equipotenciales correspondientes a V = 0,5, 1, 2, 4. c) [Valor 1.0] Bosqueje la gráfica en 3D apoyándose en las curvas equipotenciales del punto b).

2 Segundo Parcial Elabora diagramas de árbol aplicables a la regla de la cadena con derivadas parciales. 2 Grafica el plano tangente y la recta normal que pasan por un punto de una superficie. 4 Resuelve situaciones problemicas apoyandose en los conceptos de derivada parcial y derivada direccional. 1,3 1. [Valor 1.0] Demuestre que u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) satisface la ecuación 2 u x u y 2 = [Valor 1.0] En un tanque en forma de un cilindro, su radio aumenta a razón de 0.02 pies/min. Qué tan rápido se está elevando la profundidad del agua cuando el radio es 2 pies y el volumen de agua en el tanque es 200π pie 3? 3. [Valor 1.0] Determinar los valores de los parámetros a, b y c para que la derivada direccional de la función f(x, y, z) = ax 2 z + byz 3 + cx 2 y 2 alcance el valor máximo de 25 en el punto P = (1, 1, 2) según una dirección paralela al eje X. 4. Para la superficie x tan(xy) = ze xz en el punto (1, tan 1 (e), 1), halle: a) [Valor 0.7] Plano Tangente. b) [Valor 0.7] Recta Normal. c) [Valor 0.6] Gráfica de Plano Tangente y Recta Normal, en un mismo sistema de coordenadas.

3 Segundo Parcial Elabora diagramas de árbol aplicables a la regla de la cadena con derivadas parciales. 2 Grafica el plano tangente y la recta normal que pasan por un punto de una superficie. 4 Resuelve situaciones problemicas apoyandose en los conceptos de derivada parcial y derivada direccional. 1,3 1. [Valor 1.0] Siendo f(x, y) = ln x 2 y + tan 1 (x 2 y), comprobar que se verifica la igualdad xf x 2yf y = [Valor 1.0] Los lados y el ángulo entre ellos de un triángulo isósceles aumenta a razón de 0,1m/h y 2 /h, respectivamente. Cuál es la tasa de crecimiento del área del triángulo en el momento en que la longitud de los lados iguales es de 20 metros y el ángulo entre ellos es de 60? 3. [Valor 1.0] En qué dirección es nula la derivada de f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 en el punto (1, 1)?. 4. Para la superficie x sec(xy) = yz en el punto (1, 1, sec(1)), halle: a) [Valor 0.7] Plano Tangente. b) [Valor 0.7] Recta Normal. c) [Valor 0.6] Gráfica de Plano Tangente y Recta Normal, en un mismo sistema de coordenadas.

4 Segundo Parcial Elabora diagramas de árbol aplicables a la regla de la cadena con derivadas parciales. 2 Grafica el plano tangente y la recta normal que pasan por un punto de una superficie. 4 Resuelve situaciones problemicas apoyandose en los conceptos de derivada parcial y derivada direccional. 1,3 1. [Valor 1.0] La función u(t, x) = sen(x at) + ln(x + at). Satisface la ecuación de onda u tt = a 2 u xx? Justifique su respuesta. 2. [Valor 1.0] El radio de un cilindro circular recto se incrementa a razón de 6 pulgadas por minuto, y la altura decrece a razón de 4 pulgadas por minuto. Cuál es la velocidad o el ritmo de cambio del volumen y del área superficial (el área incluye las tapas del cilindro) cuando el radio es de 12 pulgadas y la altura 36 pulgadas? 3. [Valor 1.0] Sabiendo que la derivada direccional de la función z = f(x, y) en el punto (1, 2) en la dirección hacia el punto (2, 3) es 2 2 y en la dirección hacia (1, 0) es de 3, Cuánto vale en dirección al origen? 4. Para la superficie x ln(xy) = yz en el punto (1, e, 1), halle: a) [Valor 0.7] Plano Tangente. b) [Valor 0.7] Recta Normal. c) [Valor 0.6] Gráfica de Plano Tangente y Recta Normal, en un mismo sistema de coordenadas.

5 1. [Valor 1.6] Si f(x, y) = x 3 + y 3 3xy encuentre y clasifique los puntos críticos de f(x, y). 2. [Valor 1.7] Calcule [Valor 1.7] Dada la integral la integral en la forma T ipo II2. 1 (1 + x) 2 dydx 1 x y dzdydx, dibujar la región de integración y escribir y calcular

6 1. [Valor 1.6] Si f(x, y) = x 3 + y 3 3xy encuentre los extremos absolutos de f(x, y) en el triángulo generado por los vértices (0,0), (1,2) y (1,0). 2. [Valor 1.7] Calcule [Valor 1.7] Dada la integral ( y x la integral en la forma T ipo II1. ) 2 dydx 1 x y dzdydx, dibujar la región de integración y escribir y calcular

7 1. [Valor 1.6] Si f(x, y) = x 3 + y 3 3xy encuentre los extremos absolutos de f(x, y) en el triángulo generado por los vértices (0,0), (2,1) y (0,1). 2 6 ( y ) 2 2. [Valor 1.7] Calcule dydx 1 5 x 3. [Valor 1.7] Calcule la integral f da, donde R es la región limitada por la gráfica de las curvas y = x y y = x Bosqueje la gráfica de R. R

8 1. [Valor 1.6] Si f(x, y) = x 3 + y 3 3xy encuentre y clasifique los puntos críticos de f(x, y). 2. [Valor 1.7] Calcule [Valor 1.7] Dada la integral la integral en la forma T ipo II (1 + x) 2 dydx 1 1 y dzdydx, dibujar la región de integración y escribir y calcular

9 1. [Valor 1.6] Si f(x, y) = 4x 3 + y 3 12x 3y encuentre y clasifique los puntos críticos de f(x, y). 2. [Valor 1.7] Calcule la integral f da, donde R es la región limitada por la gráfica de las curvas y = x y y = x Bosqueje la gráfica de R. 3. [Valor 1.7] Evalué la integral R 4 1 x ze x2 dydxdz.

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