PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN

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1 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD.6 ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN Instucciones: )Dución: 1 ho y minutos. b) Tienes que elegi ente eliz únicmente los cuto ejecicios de l Opción A o eliz únicmente los cuto ejecicios de l Opción B. c) L puntución de cd pegunt está indicd en l mism. d) Contest de fom zond y escibe odendmente y con let cl. e) Puedes us clculdo (puede se pogmble o tene pntll gáfic), peo todos los pocesos conducentes l obtención de esultdos deben est suficientemente justificdos. Opción A Ejecicio 1.[,5 puntos] Detemin un punto de l cuv de ecución pendiente de l ect tngente se máim.: y e en el que l L pendiente de l ect tngente en un punto culquie de l gáfic es siempe el vlo de l deivd de l función en el punto considedo. Es deci l pendiente P en un punto seá: ( ) ( ) ( 1 ) P y e + e e Po tnto tendemos que optimiz l función nteio. P ello deivmos, igulmos, esolvemos l ecución esultnte y compobmos con l ª deivd en que puntos l pendiente es máim. ( ) ( ) ( ) ( ) P e + 1 e 6 + e Como l función eponencil no puede se l únic opción es que lo se el binomio, po tnto: ( ) ± 6 Compobmos continución con l segund deivd los posibles puntos cíticos: ( ) ( 6 1 ) ( 6 ) ( ) ( 6 8 ) P + e + + e + e P ( ) 6 < ± 6 + e > P e 16 Po tnto l pendiente seá máim cundo y seá mínim en ± 6 Andés Plz Plz Págin 1 de 8

2 Ejecicio. Se I + d 1 () [1'5 puntos] Epes I plicndo el cmbio de vible t (b) [1'5 puntos] Clcul el vlo de I 1 + () Despejndo en el cmbio obtendemos que: t 1 d Po oto ldo cundo t vldá 1 y cundo t vldá 5 Y sustituyendo I quedá epesd como sigue: ( t ) I t dt t t 1 t dt dt t 1 (b) I t t dt t t ( ) Ejecicio. Conside A 1 () [1 punto] Clcul el vlo de p que A, siendo un númeo el. A 1 1 (b) [1 punto] Clcul, en función de, los deteminntes de A y A t, siendo A t l tspuest de A. (c) ['5 puntos] Eiste lgún vlo de p el que l mtiz A se simétic? Rzon l espuest. A A AA ( I) Po tnto 1 ± ± l mismo tiempo l únic solución posible seí. 5 y como se tiene que cumpli ls dos conciones Andés Plz Plz Págin de 8

3 π y + z + Ejecicio. Conside el plno de ecución y l ect de ecución 5 y z 6 m π () [1 punto] Hll l posición eltiv de y según los vloes del pámeto m (b) ['75 puntos] P m-, hll el plno que contiene l ect y es pependicul l plno π. (c) ['75 puntos] P m-, hll el plno que contiene l ect y es plelo l plno. ()L ect de ecución 5 y π z 6 5 y es equivlente m my z 6 π + y 5 my z 6 P estudi l posición eltiv de y lo hemos discutiendo ls posibles soluciones del sistem fomdo po ls ecuciones del plno y de l ect. + y z + y 5 A my z A m 1 m + m 1 Luego si m - el Rngo(A)Rngo(AB)nº de incógnits y según el Teoem de Rouche-Föbenius el sistem tendá un únic solución. Es deci l ect cotí l plno en un punto que coincide con l solución del sistem. 1 Si m- el Rngo(A) y que peo Rngo(AB) y que sistem seí incomptible, po tnto l ect seí plel l plno. y plicndo nuevmente el teoem podemos fim que el (b) P m- l ect y es plel l plno π. El plno que es pependicul y contiene, contendá l punto P de l ect y tendá como vectoes dieccionles l vecto dieccionl de l ect ( v ) y l vecto pependicul l plno ( w ). Po tnto l ecución de dicho plno seá: 5 y z y z + π' 8y z + 1 y z + 7 Andés Plz Plz Págin de 8

4 π b) P m- l ect y es plel l plno. El plno que es plelo y contiene, contendá l punto P de l ect y tendá como vecto pependicul el mismo que el plno ( ). Po tnto l ecución de dicho plno seá de l fom w π + y z + d y como P π d d Luego π + y z Andés Plz Plz Págin de 8

5 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD.6 ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN Instucciones: )Dución: 1 ho y minutos. b) Tienes que elegi ente eliz únicmente los cuto ejecicios de l Opción A o eliz únicmente los cuto ejecicios de l Opción B. c) L puntución de cd pegunt está indicd en l mism. d) Contest de fom zond y escibe odendmente y con let cl. e) Puedes us clculdo (puede se pogmble o tene pntll gáfic), peo todos los pocesos conducentes l obtención de esultdos deben est suficientemente justificdos. Opción B Ejecicio 1. Se f l función definid po ( ) f +, p () ['75 puntos] Hll, si eisten, los puntos de cote con los ejes y con ls síntots de l gáfic de f. (b) [1 punto] Clcul los intevlos de cecimiento y dececimiento y los etemos eltivos de f. (c) ['75 puntos] Esboz l gáfic de f. () f() no eiste po tnto l función no tiene punto de cote con eje de odend (Y). Po oto ldo + R, po tnto l gáfic tmpoco cotá l eje de bscis (X). + lim L ect y seá un síntot veticl y que: + lim lim Po oto ldo po tnto tmpoco tiene síntots + + lim lim hoizontles. De tene síntots oblicus tendín que se de l fom: ym+n, donde m o m + lim lim lim lim Po consiguiente l función no tiene síntots de ningún tipo y po tnto su gáfic no tiene cotes con sus síntots. Andés Plz Plz Págin 5 de 8

6 (b) P hll los etemos eltivos de f hllemos su deivd, esolveemos l ecución que esulte l igull y compobemos con l segund deivd si se ttn de máimos o mínimos eltivos. ( ) + f ( ) ± 1 1 ( ) f ( ) ( 1) 1 > 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) ( 1 ),entonces sustituyendo: f (, f ), es un minimo eltivo f < (, f ), es un mimo eltivo Ls bsciss de los etemos eltivos, junto con los puntos donde l función no eiste, deteminn los intevlos de cecimiento y dececimiento y p estudi el compotmiento bstá con estudilos p un vlo inteio cd uno. Intevlos (-,-1) (-1,) (,1) (1, ) Punto - -1/ 1/ f () 5/> < -5/< 5/> Cecimiento/ Dececimiento Ceciente Dececiente Dececiente Ceciente (c) Teniendo en cuent todo lo estudido en los ptdos nteioes podemos hce el siguiente esbozo de su gáfic: Andés Plz Plz Págin 6 de 8

7 Ejecicio. ['5 puntos] El áe del ecinto limitdo po ls cuvs de ecuciones y, con >, vle. Clcul el vlo de. y e Resolución P hll los puntos de cote de mbs funciones esolvemos el sistem que fomn sus ecuciones ( ) (,) (, ) Ae d 1 o ± Como > l únic solución posible seí Ejecicio. ['5 puntos] Resuelve y z Resolución 5 Multiplicndo y despejndo l ecución mticil nteio quedí convetido en el sistem: + 5z 7 + y z + y + z 1 1ª y 9z 11 ª + Sumndo 8z 8 z 1 ª + ª y z Sustituyendo z obtenemos y-1- y +57 po tnto y-1 y 1 Po tnto y z Andés Plz Plz Págin 7 de 8

8 Ejecicio. Conside el punto P(,,) y l ect de ecuciones + y z + z + 1 ()[1 punto] Hll l ecución del plno que contiene l punto P y l ect. (b)[1'5 puntos] Detemin ls coodends de un punto Q simético de P especto de l ect. Resolución () Vmos clcul dos puntos de l ect Si z Si z-1 + y 1+ y y R ( 1,,) 1 + y 1 + y y 1 T (,, 111) 1 El plno solicitdo contiene l punto P y tiene po vectoes dieccionles PR (,,) y PT (, 1, 1) y z 1 1 ( ) ( ) po tnto su ecución l podemos epes como: y + 8z + y z 7 (b) El punto S es l intesección de l ect con el plno pependicul que contiene l punto P. RT (,, 1) El vecto dieccionl de es, po tnto el plno pependicul tendá po ecución: -y-z+d y como debe inclui l punto P se tendá que + d d. Luego el plno tendá po ecución: -y-z. P hll S esolvemos el sistem fomdo po l ecución del plno pependicul y l ect. y z + y z + z 1 z y + y + y + 6y 1 y y + 5 6y 1 1y 1 1 y 1 z 1 Como S es el punto medio de PQ entonces: PS SQ q q q + Q (, 1, 1) ( 1, 1, 1) ( 1,, ) 1 Andés Plz Plz Págin 8 de 8