La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática.

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1 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Uidd Nº 3: CEROS de POLINOMIOS Poliomio: defiició. Iguldd de poliomios. Fució poliómics. Ceros o ríces de poliomio. Ríces de u poliomio de er. y do. grdo. Ecució lgebric de grdo superior l do. Grdo. Ecució recíproc de curto y quito grdo. Teorem Fudmetl del Álgebr. Teorem de l Descomposició Fctoril Relció etre coeficietes y ríces de u poliomio. Ríces múltiples de u ecució lgebric. Evlució de ríces rcioles. Determició de ríces irrcioles. Acotció de ríces reles. Seprció- Métodos uméricos de proimció de ríces: Método Dicotómico - Método de Newto-Rphso -Método de l secte (cuerd). L resolució de ecucioes lgebrics, o l determició de ls ríces de poliomios, está etre los problems más tiguos de l mtemátic. Poliomio Defiició: Se el cuerpo F = IR o C, u vrible o idetermid que o perteece F. Llmremos poliomio sobre el cuerpo F e l idetermid l epresió de l form: P() = = k = Dode:,,., -, so elemetos de F y los llmremos coeficietes del poliomio P(). lo llmremos coeficiete director y térmio idepediete. Al cojuto de todos los poliomios defiidos sobre el cuerpo F, lo idicremos co F[]. E prticulr si los coeficietes so úmeros reles deotremos co IR[] y si los coeficietes so úmeros complejos deotremos l cojuto de dichos poliomios co C []. Llmremos grdo de u poliomio l epoete de myor poteci de l vrible cuyo coeficiete es o ulo. Si etoces el grdo del poliomio P() es y deotremos gr P() = Si todos los coeficietes so ulos, el poliomio es idéticmete ulo, es decir: P() = y o le sigmos grdo. E cmbio si el úico coeficiete o ulo es, es decir P() = = etoces el gr. P() = y dicho poliomio se llm poliomio costte. Completr u poliomio sigific escribir todos los coeficietes de ls potecis meores que l del grdo del poliomio. Por ejemplo e el poliomio: P() = Dode el gr. P() = 4; = -3 y = -7 y el poliomio completo es: P() = k k Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - -

2 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Iguldd de poliomios Se P() = K = K K y Q[] = K = b K K P() = Q[] k = b k k =,,,, E éste cso diremos que los poliomios so idéticos. Observemos que: P() = Q[] P() - Q[] =, el poliomio idéticmete ulo. Fució poliómic Se P() = obteemos el úmero K = K K K K = α Si sustituimos por u úmero complejo α K poliomio y lo idicremos co P (α). De este modo cd poliomio es u fució: P: C C α P(α) que represet l vlor umérico del Si el gr P() =, es decir P() = etoces l fució poliómic es l fució costte. Si P() es u poliomio rel, etoces P es u fució rel o complej segú se sustituy l vrible por u úmero rel o complejo respectivmete. Diremos que el úmero complejo α es u cero o ríz de P() sí y sólo sí P(α) = Por ejemplo si: P() = + 8 P()= +. 8 = y P(-4) = (-4) + (-4) 8 = Luego y -4 so ríces de P() Hllr los ceros del poliomio P() = K = K K K = K K = será ectmete lo mismo. Por lo que: o resolver l ecució Los ceros de u poliomio P() so ls solucioes de l ecució P() =. α ε C es u cero de P() K = K K α = El cojuto O p = {α C / P(α) = } es el cojuto de ceros o ríces del poliomio P() o ls solucioes de l ecució P() =. Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - -

3 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Ates de ecotrr los ceros de u poliomio recordemos el Algoritmo de l divisió pr poliomios: Si P() y Q() F[] y si Q() etoces eiste poliomios úicos C() y R() tles que: P() = Q() C() + R(), dode R() = o el gr R() < gr Q(). El poliomio C() es el cociete y R() es el resto de l divisió de P() etre Q() U cso especilmete útil del lgoritmo de l divisió se preset cudo se divide u poliomio P() etre - α, dode α IR. Si P() es divisible por - α es decir - α es u fctor de P() etoces: P() = ( - α ). C() pr lgú cociete C() y resto R() = Si - α o es fctor de P(X) etoces gr R() < gr ( - α) y por lo tto gr R(X) Esto sigific que el resto es u úmero distito de cero y e cosecueci teemos que: P() = ( - α ). C() + k co k Si sustituimos por α obteemos: P(α) = (α - α ). C(α) + k = k Esto demuestr el Teorem de Resto Si u poliomio P() se divide etre - α etoces el Resto es P(α). P(α) = sí y sólo sí P() tiee u fctor - α Si P(α) = etoces P() = ( - α) C() etoces α es u ríz de P(), si β es otr ríz de P() distit de α etoces β es ríz C(). Luego el cociete C() cotiee tods ls resttes ríces de P(). Pr obteer el cociete de u poliomio P() etre - α podemos utilizr el método de l divisió sitétic coocid tmbié como Regl de Ruffii (como es coocid por los lumos). Co éstos coocimietos básicos vmos comezr lizr los ceros de poliomios Ríces de u poliomio de primer y segudo grdo Si = P() = + Evidetemete dmite u ríz α Luego P = { } = pues P(α) = ( ) + = Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 3 -

4 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Si = P() = + + Buscmos los úmeros α tl que P(α) = α + α + = Los úmeros que verific est iguldd tmbié verific: 4 α + 4 α +4 = 4 α + 4 α + = - 4 ( α + ) = - 4 α = ± - 4 Est epresió permite determir ls dos ríces α y α. Si los coeficietes de est ecució de segudo grdo so úmeros reles, y llmdo = - 4, l ecució tiee: dos ríces reles y distitos, si > dos ríces reles e igules, si = dos ríces complejs cojugds, si < Además ls ríces verific ls propieddes: α + α = y α. α = Ecucioes lgébrics de grdo superior l segudo Vimos cómo obteer ls ríces de ecucioes de º y º grdo. Ahor tedremos que seguir lizdo pr ver cómo obteer ls ríces de ecucioes superiores l º grdo. Ls ríces de ls ecucioes de tercero y curto grdo puede clculrse pr el cso geerl, medite u proceso trbjoso co rdicles. Es decir eiste epresioes pr resolver ls ecucioes: = = Demostrremos más delte que l ecució de tercer grdo tiee tres ríces, l de curto grdo cutro ríces y e geerl, u ecució de grdo tiee ríces. Sobre éste tem se h ivestigdo desde l tigüedd, desrrolládose diverss teorís pr clculr medite fórmuls, ls ríces de ecucioes. Se crero métodos que permite ecotrr ls ríces de ecucioes prticulres y se ivetro lgoritmos que d vlores proimdos de ls ríces reles de ecucioes co coeficietes reles. Mtemáticos itlios como Trtgli, Crdo, Ferrri, e el siglo XVI ecotrro fórmuls co rdicles que permite clculr ríces de grdo meor o igul cutro. Pero el mtemático oruego, Abel demostró e 84 que u ecució de grdo 5º o myor o es resoluble por fórmul, es decir, o sólo o se cooce fórmuls Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 4 -

5 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios sio que o vle l pe buscrls porque o eiste ( Ruffii lo hbí itetdo e799). El mtemático frcés Glois dio codicioes ecesris y suficietes pr determir cudo u ecució de grdo culquier es resoluble por rdicles. Est es l llmd Teorí de Glois. Ecucioes Prticulres Alizremos lguos csos prticulres de ecucioes e los que es posible hllr l epresió de sus ríces. Los coeficietes de ls siguietes ecucioes so úmeros complejos. I) + =, = o se ls ríces eésims de = que sbemos que so II ) Ecucioes BICUADRADAS b c + + =, Sustituyedo = u tedremos l ecució u + bu + c = que tiee dos ríces: u y u Cd u de ls ecucioes = u y = u tiee solucioes ells so ls ríces de l ecució dd. Ejemplo: Resolver l ecució = Llmmos u = y sustituimos e l ecució, obteiedo: u 5u + 4 = que es u ecució de º grdo e l vrible u. Resolvemos u 5u + 4 = u u, + 5 ± ( 5) 4..4 = = = 4 u = 4 = + 5 ± u = = u + 5 ± ± 3 = = = Reemplzmos u por pr obteer ls cutro ríces: u = 4 = 4 u = =, = ± 4 3,4 = ± Por lo tto ls ríces so: O P = {, -,, -} Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 5 -

6 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios III) Ecucioes RECÍPROCAS De curto grdo = 4 3 b c b Multiplicdo por : + b + c + b + = = b c Sustituyedo u = u = + + +, Se tiee (u -) + bu +c = por lo cul u = + = u u + bu + c - = y sus ríces so u y u, + y u = + etoces u = + y u = + u + = y u + = co ríces, y co ríces 3, 4 que so ls cutro ríces de l ecució dd. De quito grdo Cso : b c c b = Es evidete que α = - es ríz de l ecució. P() = ( + ) Q(), Q() es u poliomio recíproco de curto grdo. Verifique efectudo l divisió de P(): ( + ). Como verificro Q() = es u ecució recíproc de curto grdo y se resuelve co el procedimieto terior. Por lo tto se obtiee ls cico ríces de l ecució dd. Cso : b c c b + + = E este cso α = es ríz de l ecució, se procede como e el cso terior y se obtiee u ecució recíproc de curto grdo. Al resolverl se obtiee ls cico ríces buscds. E los dos csos de l ecució recíproc de quito grdo, supoiedo >, se dmite u ríz ±, de sigo cotrrio l térmio idepediete. Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 6 -

7 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Ejemplo: Resolver l ecució = Como podemos observr, es u ecució recíproc de 5º grdo, cso. Por lo tto α = es u ríz Por lo tto P ( ) = = ( ).( ) 4 3 dode = es u ecució recíproc de curto grdo. Resolvemos est ecució: Multiplicdo por : = = + Sustituyedo u = + u = + +, + = u Se tiee (u -) + 4 u + = u + 4 u = y sus ríces so u = y u = - 4 por lo cul u = + y u = + = + y - 4 = + etoces. = + y. (- 4) = + + = y = 4 ± = - y = Luego:, 3, = + i ; = i ; 3 = = + 3 y 4 = = 3 El mtemático lemá Krt Friedrich Guss, cosiderdo por muchos como el mtemático más grde de todos los tiempos, demostró e 799 que todo poliomio coeficietes complejos tiee l meos u ríz. A éste teorem se lo cooce como: Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 7 -

8 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA (TFA) Todo poliomio de grdo o ulo coeficietes complejos tiee l meos u ríz. Pr su demostrció se requiere resultdos vzdos del cmpo de l mtemátic, por lo cul o demostrremos e este curso. El Teorem Fudmetl del Álgebr hce posible epresr todo poliomio P() co > como u producto de poliomios de grdo, llmdo: TEOREMA DE LA DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Se euci de l siguiete mer: Si P() C[] es u poliomio de grdo >, etoces eiste úmeros complejos α, α,.., α tles que: P() = ( - α ) ( - α )... ( - α ) = ( αi ) Dode es el coeficiete director de P() y cd úmero complejo α k es ríz de P() i= Demostrció: Pr ello utilizremos el Pricipio de Iducció complet co respecto l grdo del poliomio (P.I.C). Pr = P() = + Por el TFA P() tiee por lo meos u ríz se α etoces P (α ) = α + = etoces = - α Reemplzdo e P() = - α = ( - α ) Luego es Verddero pr = pues P() = ( - α ) Supogo V pr = h (Hipótesis iductiv) Es decir ceptmos que l propiedd se verific pr el grdo de P = h Probremos pr = h + es decir: Si el gr. P() = h +, por el TFA P() tiee l meos u ríz se α y por el Algoritmo de l divisió P() = Q() ( - α ) * Como el poliomio cociete Q() cotiee ls resttes ríces de P() y el gr Q() = h. cuyo coeficiete director es. Etoces por hipótesis iductiv Q() = ( - α ) ( - α 3 )... ( - α h+ ) = Luego sustituyedo e * h+ ( α ) i= h+ P () = ( - α ) ( - α )... ( - α h+ ) = ( α ) Co lo que qued probdo pr IN Ahor vmos probr que: i= i i Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 8 -

9 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios U poliomio de grdo > tiee lo sumo ceros Dremos u demostrció idirect (Por el cotrrecíproco) Supogmos que P() tiee más de ceros complejos diferetes. Si el gr P() = y cosiderdo que tiee + ceros: α, α,..,α, α Por el Teorem de Fctorizció y sustituyedo por α : P () = ( - α ) ( - α )...( - α ) P (α ) = (α - α ) ( α - α )...( α - α ) = Si embrgo P(α ) pues y α α k k =,,.., Est cotrdicció se obtuvo l supoer que tiee más de ceros. Co lo cul firmmos que: P() C[] / gr P() = tiee ectmete ríces. Ls ríces α, α,..,α o so ecesrimete tods distits. Si u fctor ( - α ) se preset k veces e l fctorizció etoces α es u ríz de multiplicidd k. Observció: Todo poliomio de grdo puede descompoerse e u producto de + fctores, uo de los cules es el coeficiete director y los otros so biomios de primer grdo (biomios irreducibles). Todo poliomio de grdo tiee ectmete ríces y o se ecluye que hy biomios igules. Ejemplo: P() = 3 ( ) ( ) ( ) ( + 3) ( + 3) ( + 5) = 3 ( ) 3 ( +3) ( + 5) α = es u ríz múltiple cuyo orde de multiplicidd es 3 α = -3 es u ríz doble α 3 = -5 es u ríz simple (o múltiple) E geerl: Si α, α,..,α r so ls ríces distits de P () cuyos ordees de multiplicidd so k, k,,k r respectivmete, etoces P() = ( - α ) k ( - α ) k...( - α ) kr / k + k + + k r = Ejemplo: Determir los ceros del siguiete poliomio y epresr como producto lieles: P() = comezdo por fctorizr 3 P() = 3 ( 4 + 3). Aplicdo l fórmul pr l ecució de º grdo, obteemos ls ríces ± 3i. Por lo tto, el poliomio fctorizdo es: P() = 3 ( -3i) ( +3i) Ddo que se preset 3 veces como fctor, el úmero es u ríz de multiplicidd 3 y ls resttes ríces so: +3i y -3i. Como podemos observr e éste poliomio de coeficietes reles tiee dos ríces complejs cojugds: +3i y -3i. Est relció o es csul, puesto que el siguiete resultdo geerl es verddero. Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 9 -

10 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios TEOREMA sobre PAREJAS de CEROS CONJUGADOS de u POLINOMIO A COEFICIENTES REALES Si u poliomio P() de grdo > tiee coeficietes reles y si z = + bi co b es u cero de P(), etoces z = bi tmbié es cero de P() Demostrció: P() = / k IR co k =,,, y Como z = + bi es u cero, P (z) = z + z z + = Utilizdo ls propieddes de l cojugció: P ( z )= z + z z + = k k k z = k z = ( ) k = k = P z = = Cosecuecis: El úmero de ríces complejs de u poliomio coeficietes reles es pr. Si u poliomio coeficietes reles es de grdo impr, tiee por lo meos u ríz rel Si ls ríces complejs z es de multiplicidd m su cojugd tmbié tiee multiplicidd m. RELACIÓN ENTRE COEFICIENTES Y RAÍCES DE UN POLINOMIO Se el poliomio: P() = co Si α, α, α 3,..,α so ls ríces del poliomio, etoces: S = α + α + α α = S = α α + α α α α +α α 3 + +α α + +α - α = 3 S 3 = α α α 3 + α α α α α α + + α - α - α = S = α α α 3.α = ( ) Siedo C = ( - α ) ( - α )...( - α ) O equivlete: = ( - α ) ( - α )...( - α ) Se puede probr plicdo el Pricipio de Iducció Complet que: ( - α ) ( - α )... ( - α ) = - S + S ( ) S DETERMINACIÓN DE RAÍCES REALES Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - -

11 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios E geerl, l evlució o determició de ríces reles de u ecució lgebric es u tre complicd. Por lo que es coveiete coocer lguos métodos pr ecotrrls. E éstos últimos tems de l uidd os ocupremos e hllr ls ríces reles solmete. L ivestigció de ecotrr ls ríces reles de u ecució lgebric de coeficietes eteros se resuelve teiedo e cuet ls siguietes etps. Acotció: cosiste e ecotrr u itervlo del eje rel que coteg tods ls ríces reles de l ecució. Este proceso se llm Acotció de ríces. Determició de ls ríces eters y frccioris: úicmete cudo los coeficietes de ls ecucioes so úmeros rcioles es posible, medite verificcioes metódics, ecotrr ls ríces eters y frccioris, si demás tiee ríces irrcioles, se debe proceder : 3. Seprció de ríces reles: cosiste e obteer subitervlos del itervlo de cotció de modo que cd itervlo prcil coteg u sol ríz. Est puede ser de gr dificultd y que lgu puede est muy próim. 4. Aproimció: utilizr procesos itertivos pr obteer proimció de ls ríces reles.. ACOTACIÓN Ddo u poliomio P(), se procede determir u itervlo (l, L) de cotció tl que e él se ecuetre tods ls ríces reles. U úmero rel L se deomi cot superior de los ceros de l ecució P() = si igu de ls ríces es myor que L. Aálogmete, u úmero rel l se deomi cot iferior de ls ríces reles de P() = si igú cero es meor que l. Pr ecotrr ls cots superior e iferior de ls ríces reles de l ecució se plic el siguiete TEOREMA. Criterio de LAGUERRE o teorem de cots pr ceros reles de poliomios. Se P() u poliomio: P() = / i i =,,, y > Si e l divisió de P() por ( L) todos los coeficietes del cociete y el resto so positivos, etoces L es u cot superior de ls ríces reles de P(). Demostrció: Por el lgoritmo de l divisió P() = Q() ( L) +R y por hipótesis todos los coeficietes de Q() y R so positivos. Si supoemos que α es ríz y α > L, tedremos que es imposible que P (α ) se ule. Luego tod ríz α es meor o igul L. E form similr se prueb que: Si se divide P() etre ( l) y si l < el cociete y el resto so ltertivmete positivos y egtivos etoces l es u cot iferior de ls ríces reles de P(). Ejemplo: P() = Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - -

12 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios No hy grtí que pued tom L = Luego se puede tom l cot L = Ahor busquemos u cot iferior: Probmos pr -, o hy grtí que sirv como cot iferior; pr - tmpoco, i -3, recié pr l = -4 result: Luego l = -4 y el itervlo se cotció es (-4, ) Observmos que e l práctic se elige vlores eteros crecietes hst logrr obteer que los coeficietes se ltertivmete positivos y egtivos.. DETEMINACIÓN DE RAÍCES RACIONALES Si P() = es u ecució lgebric co coeficietes rcioles es posible clculr ectmete sus ríces rcioles. Podemos supoer que los coeficietes de l ecució so úmeros eteros, pues e cso cotrrio se multiplic l ecució por el míimo comú múltiplo de todos los deomidores de los coeficietes fcciorios. L uev ecució tiee ls misms ríces que l terior: P (α ) = sí y sólo si h. P (α ) = Pr poliomios coeficietes eteros teemos el siguiete criterio. Teorem de Guss Se P() = k = k k u poliomio coeficietes eteros. Si l frcció irreducible p es ríz del poliomio P() etoces p es divisor de q y q es divisor de. Demostrció: Si p q es ríz de P() etoces P ( p q ) = o se p p p = multiplicdo por q q q q p + p q pq + q = Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - -

13 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Etoces p = q ( p pq + q ) p ( p + p q q ) = q Ls ctiddes etre prétesis so úmeros eteros N y N, etoces p = -q N pn = q q N p = - N = q p Como N y N Z y como l frcció p q es irreducible etoces p es divisor de y q es divisor de. Este criterio d u codició ecesri pero o suficiete pr que p q se u ríz rciol o se que los cdidtos umerdor so los divisores del térmio idepediete y los cdidtos deomidor so los divisores del coeficiete director. Ejemplo: Se P() = p es divisor de 8: ±, ±, ± 3, ±6, ±9, ±8 q es divisor de 4 : ±, ±, ±4 Luego ls posibles ríces so: p q : ±, ±, ±, ±, ± 4 4 Verifique plicdo l Regl de Ruffii que: - es u ríz, obteiedo como cociete l ecució = o bie = y ls ríces de ést ecució so: 9 y. L descomposició fctoril es: P() = 4 ( + ) ( - 9 ) ( -) Y vimos cómo ecotrr u itervlo dode se ecuetr tods ls ríces reles de u ecució lgebric. Ahor veremos cómo obteer subitervlos dode se ecuetre u sol ríz. Esto cosiste e: 3. SEPARACIÓN DE RAÍCES REALES Tto el proceso de seprció como el de proimció de ríces se bs e resultdos del Aálisis Mtemático. Sbemos que l fució poliomil es cotiu pr cd. Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 3 -

14 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios TEOREMA de BOLZANO, tmbié llmdo TEOREMA del VALOR MEDIO Si P() sume vlores de distitos sigos e los etremos del itervlo [, b] etoces eiste l meos u ríz α de l ecució P() = e el itervlo (, b ). P (). P (b) < α (, b) / P( α ) = Iterpretció gráfic: y P() P(b) b P( ) cotiu e P( ). P( b) [, b] P( ) P( b) α (, b) / P( α ) = El método de seprció cosiste e utilizr éste teorem pr logrr subitervlos del itervlo de cotció que se suficietemete pequeños e los cules se ecuetre sólo u ríz. Este proceso puede resultr muy trbjoso y que si dos ríces so muy próims es prácticmete imposible seprrls. Ejemplo: Seprr ls ríces del poliomio P() = Hllmos el itervlo de cotció (-, 4) Observmos que P (-) < ; P() > ; P() < ; P() < ; P(3) < ; P(4) > Por suerte hemos podido seprrls, ls tres ríces se ecuetr e los itervlos: - < α < ; < α <, < α 3 < 4 Observció: Si el poliomio tiee el mismo sigo e los etremos de u itervlo, hy e el itervlo u úmero pr de ríces o iguo. Si coocemos de l eisteci de u ríz rel α e u itervlo se trt de logrr u determició ect o proimd de l mism. APROXIMACIÓN DE RAÍCES IRRACIONALES Sbemos que si P(). P (b) < etoces eiste u ríz e el itervlo (, b). Desemos obteer u vlor proimdo pr α trtdo que el error que se comet se meor que u cierto úmero ddo (muy pequeño). Eiste vridos métodos pr logrrlo. MÉTODO DICOTÓMICO O DE BISECCIÓN Este método tmbié llmdo del puto medio permite resolver ecucioes o lieles de l form f() =. Es uo de los métodos llmdos de covergeci segurd y que si se cumple ls hipótesis del trbjo los resultdos que se obtiee Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 4 -

15 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios coverge l ríz buscd. Auque es leto y que se ecesit muchs itercioes pr logrr u bue proimció. Por subdivisioes sucesivs del itervlo (, b) ddo, se logrrá u subitervlo que cotiee l ríz buscd y cuy mplitud es meor que u úmero determido. Proceso: Si el sigo de P() sigo de P(b), cosidermos el puto medio + b c = comprmos el sigo de P(c) co el sigo del poliomio e los etremos. Selecciomos el subitervlo dode se produce el cmbio de sigo (e él est l ríz). Repetimos el procedimieto e este subitervlo, clculdo el puto medio y selecciodo uevmete el subitervlo dode se produce el cmbio de sigo. Luego de u cierto úmero de reitercioes, l ríz est e u itervlo suficietemete pequeño ( h, b k ). Elegimos como ríz proimd el puto medio de dicho itervlo. Por ejemplo: E el cso de l siguiete figur, l ríz que buscmos est e el itervlo (c, b) pues el sigo de P(c) sigo de P(b). Repetimos el proceso e el itervlo (c, b) y luego de u úmero de reitercioes, l ríz est e u itervlo suficietemete h + bh pequeño ( h, b k ) tl que el puto medio = α El error que se comete puede cotrse: = α α h + bh y P(b) c P(c) P() * b Ejemplo: E el poliomio: P() = Seprr ls ríces reles, hllr los itervlos de cotció, elegir uo culquier y proimr l meos u ríz. Estimr el error. Hllmos el itervlo de cotció (-,) P(-) = 44 > P(/) = 7/8 > P() = 56 > P(-) = -5 < P() = -3 Hemos podido ecotrr los cutro itervlos dode se ecuetr ls ríces - < α < - ; - < α < /, / < α 3 <, < α 4 < Elegimos el itervlo α 4 = (, ) P() = P() = -3 < P(b) = P() = 56 > Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 5 -

16 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Ahor ecotrmos el puto medio etre y b, es decir etre los etremos del + b + 3 itervlo: c = = = 3 Clculmos P(c) = P > L ríz está etre y 3, el uevo itervlo es (, 3 ) = (, c) Ecotrmos el puto medio c`= = = 4 5 Clculmos P < Luego l ríz α está etre c y c. El error = α α 4 = =, c + c 4 7 α, 65 6 MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON o (Método de ls tgetes) Supogmos que l fució poliomil P() = k k co teg u k = cero e cierto itervlo (, b), demás es u fució derivble y su derivd es u fució de grdo que tmbié es derivble. Este método cosiste e l búsqued de ríces, pr ello se determi l ecució de l rect tgete l curv e el puto correspodiete l etremo selecciodo. Se cosider el etremo del itervlo e el cul el sigo de l derivd segud coicide co el sigo del poliomio e el etremo, por ejemplo (, P()). L rect tgete l curv e dicho puto tiee por ecució: y y P() = P () ( ) P(b) P( ) b P() Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 6 -

17 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios El puto de itersecció de l rect co el itervlo (, b) es u primer proimció de l ríz. P( ) = α P ( ) Se repite el proceso trzdo l tgete e el puto (, P( ) ). Reiterdo se logr mejores proimcioes, 3,,. Es u método de covergeci rápid. Este método puede plicrse si lizr previmete el etremo de trbjo. Se tom culquier de ellos y se clcul l itersecció de l rect tgete l curv co el eje de bsciss. El vlor obteido se elige como vlor iicil y se reliz ls sucesivs reitercioes. Es u método de covergeci codiciod, e csos ecepcioles puede coverger, lejádose de l solució. Puede plicrse co lgú recurso que permit logrr itervlos de mplitud reducid que coteg l ríz, co el objeto de cotr el error que se comete e ls proimcioes. MÉTODO DE LA CUERDA O REGLA DE LA FALSA POSICIÓN Es coocido tmbié como método de l secte o método de l iterpolció liel ivers o método de ls prtes proporcioles. Trcemos l rect que ue los putos (, P()) y (b, P(b)). L cuerd que ue estos putos itersect l eje e u ª proimció de l ríz. P( b) P( ) Su ecució es: y P( b) = ( b), b l itersecció co el eje : y = (, ) P( b) P( ) P( b) = ( α b) b α = b P( b) P( b) P( ) b Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 7 -

18 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios y P(b) b P() Reiterdo el proceso se obtedrá los vlores,, 3,,. Es u método de covergeci segurd, uque result más leto que el método terior. Ejemplo Cosiderdo el poliomio P() = y trbjdo co l ríz que proimmos por el método terior 4 = (, ) P() = P() = -3 y P(b) = P() = 56 Trcemos l rect que ue los putos (, P()) =(, -3) y (b, P(b)) = (, 56) 56 ( 3) y + 3 = ( ) y = 59( ) 3 y = 59 6 L itersecció co el eje, y=, obteemos u primer proimció de l ríz: 59 6 = = = 6/59 =,5 =,5 P ( ) = P(,5) - 3,3 Reiterdo el proceso, hor co l rect que ps por los putos: (b, P(b)) = (, 56) (, P ( )) = (,5, -3,3) ,3 y + 3,3 = (, 5),5 59,3 y = (,5) 3,3 = 86(,5) 3,3,5 y = 86 48, 6 L itersecció co el eje, y=, obteemos u segud proimció de l ríz: 86 48, 6 = 48,6 = α =, Logrdo u mejor proimció. L combició del método de l tgete co el método de l cuerd permite obteer dos sucesioes de vlores proimdos de l ríz. Método de l tgete:,, 3,, Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 8 -

19 Álgebr y Geometrí Alític Año UNIDAD Nº : Ceros de Poliomios Método de l cuerd:,, 3,, El itervlo ( α, β ) (, b) os d u mejor proimció de l ríz. Podemos reiterr el procedimieto obteido:... ( α 3, β 3 ) ( α, β ) ( α, β ) ( α, β ) Lic. Silvi Suárez de Rodríguez - 9 -