1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

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1 6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o las soluciones. a) Solo tiene una solución b) La solución es, = 2 P I E N S A C A L C U L A 2 + = 4 3 = 5 1 Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal clasifícalo según el número de soluciones: 2 + = 3 3 = 5 } Primera ecuación: 2 + = 3 = ò A(0, 3) ò B(1, 1) Segunda ecuación: 3 = 5 = ò C(5, 0) 4 3 ò D( 4, 3) Solución = 2, = 1 Como tiene una solución, el sistema es compatible determinado = 3 3 = 5 A P L I C A L A T E O R Í A P(2, 1) Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 2 2 = 3 + = 3 } 164 SOLUCIONARIO

2 Los coeficientes de las variables son proporcionales, no lo son con los términos independientes; por tanto, el sistema es incompatible. Las rectas son paralelas =? Representación gráfica: Primera ecuación: 2 2 = 3 3 = 2 0 3/2 5 7/2 3 ò A(0, 3/2) ò B(5, 7/2) Segunda ecuación: + = 3 = ò C(0, 3) ò D(2, 5) + = = 3 Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal resuélvelo gráficamente para comprobarlo: = 2 } Los coeficientes de las variables son proporcionales, lo son con los términos independientes; por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Las dos rectas son la misma. Multiplicando la 1ª ecuación por 2 se obtiene la 2ª ecuación = = Representación gráfica: Solo representaremos la 1ª recta, a que ambas rectas son la misma. Primera ecuación: 2 = ò A(0, 1) ò B(2, 3) Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal resuélvelo gráficamente para comprobarlo: = 6 2 = 4 } Los coeficientes de las variables no son proporcionales, por tanto, el sistema es compatible determinado. Las rectas son secantes. 3 2? 2 1 Representación gráfica: Primera ecuación: = 6 3 = ò A(0, 3) ò B(2, 0) Segunda ecuación: 2 = 4 = ò C(0, 4) ò D(3, 2) = = 6 2 = 4 P(2, 0) TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 165

3 2. Resolución algebraica de sistemas lineales + = 5 Halla mentalmente, sumando restando, la solución del sistema } P I E N S A C A L C U L A Sumando se obtiene: 2 = 6 ò = 3 Restando se obtiene: 2 = 4 ò = 2 5 Resuelve por el método más adecuado el siguiente sistema razona por qué eliges ese método: = } Se resuelve por sustitución despejando la incógnita de la 2ª ecuación sustituendo en la 1ª ecuación. Se obtiene: = 3, 6 Resuelve por el método más adecuado el siguiente sistema razona por qué eliges ese método: = } Se resuelve por reducción; sumando las dos ecuaciones se elimina la incógnita Se obtiene: = 2, = 3 7 Primero se eliminan los denominadores. Se obtiene: = 4, = 3 8 Resuelve el siguiente sistema: + 11 = = Resuelve el siguiente sistema: = 7 } 5 5 = Primero se eliminan los denominadores. 1 3 Se obtiene: =, = 2 2 A P L I C A L A T E O R Í A 3. Sistemas de ecuaciones no lineales Observando el dibujo de la parte derecha, halla mentalmente la solución del sistema formado por las ecuaciones de las dos circunferencias. P I E N S A C A L C U L A Los puntos de corte son: A(3, 2) B(1, 4). Por tanto, las soluciones son: = 3, 1 = 2, 2 = = = 0} 166 SOLUCIONARIO

4 9 Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: = = } 11 A P L I C A L A T E O R Í A Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: = = 0 } Se resuelve por igualación. Se obtienen las soluciones:, 1 = 4 = 3, 2 = 4 Interpretación gráfica: = A(1, 4) Se resuelve por sustitución, se despeja de la 2ª ecuación se sustitue en la 1ª ecuación. Se obtienen las soluciones: = 2, 1 = 3 = 2, 2 = 3 Interpretación gráfica: Son una hipérbola una recta. = 6 A(2, 3) B( 3, 4) = Son una parábola una recta. La parábola la recta son secantes, se cortan en dos puntos: A(1, 4) B( 3, 4) B( 2, 3) = 0 La hipérbola la recta son secantes. Se cortan en dos puntos: A(2, 3) B( 2, 3) 10 Resuelve el siguiente sistema formado por dos circunferencias e interpreta gráficamente el resultado: = = 12} Se restan las dos ecuaciones se obtiene una ecuación de 1 er grado. Se despeja en esta ecuación una incógnita se sustitue en la ecuación de una de las circunferencias. Se obtienen las soluciones: = 6, 1 = 4 = 2, 2 = 4 La interpretación gráfica es que las dos circunferencias son secantes. Se cortan en dos puntos:a(6, 4) B(2, 4) 12 Resuelve el siguiente sistema formado por una hipérbola una circunferencia e interpreta la solución gráficamente: = } Se resuelve por sustitución, se despeja de la 1ª ecuación la incógnita, se sustitue en la 2ª ecuación. Se obtienen las soluciones: = 4, 1 = 4, 2 = 1 3, 3 = 4 4 = 1, 4 = 4 La interpretación gráfica es que la hipérbola la circunferencia son secantes. Se cortan en cuatro puntos: A(4, 1), B( 4, 1), C(1, 4) D( 1, 4) TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 167

5 4. Problemas de sistemas Resuelve mentalmente el siguiente problema: «el área de un rectángulo es de 20 m 2 su longitud más su anchura es de 9 m. Halla sus dimensiones». Las dimensiones son 5m Ò 4 m P I E N S A C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A 13 Un bocadillo un refresco cuestan 3,5 2 bocadillos 3 refrescos cuestan 8. Halla el valor de un bocadillo de un refresco. = valor del bocadillo. = valor del refresco. + = 3, = 8 } = 2,5 = lado desigual. = cada uno de los lados iguales. = = 42 } = 6 m 8 m Halla dos números sabiendo que suman 12 que su producto es = 35 } Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita de la 1ª ecuación. La soluciones del sistema son: = 7, 1 = 5 = 5, 2 = 7 Por tanto, los números son 5 7 En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide el triple del lado desigual su perímetro mide 42 m. Cuánto mide cada lado? 16 Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 10 m que los catetos son proporcionales a SOLUCIONARIO

6 Se aplica el teorema de Pitágoras } 3 = 4 Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita de la 2ª ecuación. Las soluciones del sistema son: = 6, 1 = 8 = 6, 2 = 8 Las soluciones negativas no tienen sentido. Por tanto, los catetos miden 6 m 8 m TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 169

7 Ejercicios problemas 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 17 Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal clasifícalo por el número de soluciones: 3 + = 6 = 2} Primera ecuación: 3 + = 6 = ò A(0, 6) ò B(2, 0) Segunda ecuación: = 2 = ò C(0, 2) ò D( 2, 0) = = Representación gráfica: Solo representaremos la 1ª recta, a que ambas rectas son la misma. Primera ecuación: 2 = ò A(1, 0) ò B(5, 2) = 3 Solución, = 3 Como tiene una solución, el sistema es compatible determinado = 6 = 2 Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal resuélvelo gráficamente para comprobarlo: = 3} Los coeficientes de las variables son proporcionales, lo son con los términos independientes; por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Las dos rectas son la misma. Multiplicando la 1ª ecuación por 3 se obtiene la 2ª ecuación. P(1, 3) 19 Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 3 4 = = 0 } Los coeficientes de las variables no son proporcionales; por tanto, el sistema es compatible determinado. Las rectas son secantes. 3 4? 1 3 Representación gráfica: Primera ecuación: 3 4 = = ò A(1, 4) ò B( 3, 1) Segunda ecuación: + 3 = 0 = SOLUCIONARIO

8 ò O(0, 0) ò D(3, 1) = = = 5 P( 3, 1) + 3 = 0 20 Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal resuélvelo gráficamente para comprobarlo: 2 3 = = 5 } Los coeficientes de las variables son proporcionales, no lo son con los términos independientes; por tanto, el sistema es incompatible. Las rectas son paralelas =? Representación gráfica: Primera ecuación: 2 3 = = ò A(4, 1) ò B( 2, 3) Segunda ecuación: = = ò C(5, 5) ò D(2, 3) 2. Resolución algebraica de sistemas lineales Resuelve el siguiente sistema por el método más adecuado razona por qué eliges ese método: = = + 7 } Se resuelve por igualación, a que la incógnita está despejada en las dos ecuaciones. Se obtiene: = 3, = 4 Resuelve el siguiente sistema por el método más adecuado razona por qué eliges ese método: 4 3 = = 21} Se resuelve por reducción, multiplicando la 2ª ecuación por 2 restándosela a la 1ª Se obtiene: = 2, = 5 23 Resuelve el siguiente sistema: 3 2 = = } Primero se eliminan los denominadores. Se obtiene: = 3, TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 171

9 Ejercicios problemas Sistemas de ecuaciones no lineales 25 Resuelve el siguiente sistema: 1 } = = Primero se eliminan los denominadores. 1 2 Se obtiene: =, = 3 3 Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: = = 5 } Se resuelve por igualación despejando de la 2ª ecuación. Se obtienen las soluciones: = 4, 1, 2 = 4 + = 5 B(1, 4) = A(4, 1) incógnita se sustitue en la ecuación de una de las circunferencias. Se obtiene la solución: = 3, = 3 La interpretación gráfica es que las dos circunferencias son tangentes. Se cortan en un punto, A(3, 3) 27 Resuelve el siguiente sistema: 3 = 5 2 } Se resuelve por sustitución, se despeja de la 1ª ecuación se sustitue en la 2ª ecuación. Se obtienen las soluciones: = 4, 1 = 3 = 2, 2 28 Resuelve el siguiente sistema: = = 0 } Se resuelve por sustitución, se despeja la incógnita de la 1ª ecuación, se sustitue en la 2ª ecuación. Se obtienen las soluciones: = 3, 1, 2 = 3 Interpretación gráfica: Son una parábola una recta. La parábola la recta son secantes. Se cortan en dos puntos: A(4, 1) B(1, 4) 26 Resuelve el siguiente sistema formado por dos circunferencias e interpreta el resultado: = 0 } Se restan las dos ecuaciones se obtiene una ecuación de 1 er grado. Se despeja en esta ecuación una 4. Problemas de sistemas 29 Se mezcla aceite de oliva que cuesta a 3 el litro con aceite de girasol que cuesta a 1 el litro. Si tenemos 40 litros de mezcla a un precio de 2,5 el litro, cuántos litros de aceite de cada clase se han mezclado? = litros de aceite de oliva. = litros de aceite de girasol. + = = 40 2,5 } = 30 litros de aceite de oliva. 0 litros de aceite de girasol. 172 SOLUCIONARIO

10 30 31 Halla dos números sabiendo que el doble del primero más el segundo es igual a 13, que la suma de sus cuadrados es = 34 } Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita de la 1ª ecuación. La soluciones del sistema son: = 5, 1 = =, 2 = 5 5 Como el problema decía dos números, ambas soluciones son válidas. En un garaje ha 50 vehículos entre coches motos el número de ruedas total, sin contar las de repuesto, es 160. Cuántos coches cuántas motos ha en el garaje? = nº de coches. = nº de motos. + = } = 30 coches. = 20 motos. 32 Una chapa tiene 28 m de perímetro. Si le cortamos 2 m de largo otros 2 m de ancho, el área de la nueva chapa es de 24 m 2. Halla las dimensiones de la chapa inicial = 28 ( 2)( 2) = 24 } = 20 } Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita de la 1ª ecuación. La soluciones del sistema son: = 8, 1 = 6 = 6, 2 = 8 Por tanto, los lados de la plancha inicial miden 8 m 6 m Para ampliar 33 Resuelve gráficamente el sistema planteado en el siguiente gráfico: Haz la interpretación gráfica = = 0} = 4, = 2 Las dos circunferencias se cortan en un punto A( 4, 2), por tanto, son tangentes. TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 173

11 Ejercicios problemas 34 Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 3 + = 5 4 = 9 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas clasifica el sistema. = 2, 1 = 0 = 2, 2 = 0 Interpretación gráfica: 3 + = 5 4 = 9 = 0 B( 2, 0) = 4 A(2, 0) P(2, 1) Las soluciones corresponden a los puntos de corte de la parábola con el eje La solución es: = 2, = 1 Las dos rectas son secantes. El sistema es compatible determinado. 35 Resuelve el siguiente sistema: } + = = 8 m.c.m.(,, 6) = = = 8 } Ahora se resuelve por sustitución, despejando la incógnita de la 2ª ecuación. = 3, 1 = =, 2 = Resuelve el siguiente sistema: = 0 + = 6 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. Se despeja la incógnita de la 1ª ecuación. = 2, 1 = 2 = 3, 2 = 3 Interpretación gráfica: = = 6 A(2, 2) B( 3, 3) La recta la parábola se cortan en dos puntos. 36 Resuelve el siguiente sistema: = 0 = 4 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. Se sustitue = 0 en la 2ª ecuación se resuelve. 38 Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 2 + = 9 3 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas clasifica el sistema. 174 SOLUCIONARIO

12 3 2 + = 9 P(4, 1) = = 65 } = 30 años. 5 años. 40 La diferencia de dos números e es 5, el triple del maor más el doble del menor son 45. Halla el valor de ambos números. La solución es: = 4, Las dos rectas son secantes. El sistema es compatible determinado. 39 Ho la edad de Mónica es el doble de la edad de Juan dentro de 10 años la suma de sus edades será 65. Cuántos años tienen ho cada uno? = número maor. = número menor. = = 45 } 1 = 6 Mónica Juan Ho Dentro de 10 años Problemas 41 Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 2 + = = 7 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas clasifica el sistema. 5 4 = = 8 P(3, 2) La solución es: = 3, = 2 Las dos rectas son secantes. El sistema es compatible determinado. 42 Un campo de fútbol tiene forma rectangular. El perímetro mide 300 m, el largo es el doble del ancho. Cuánto mide cada lado? TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 175

13 Ejercicios problemas = 300 = 2 } + 50 = 2 } Se resuelve por sustitución. La solución es: = 50 m, 00 m 43 Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 2 = 2 2 = 2} Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas clasifica el sistema. 2 = 2 Las rectas son paralelas; no tiene solución. El sistema es incompatible. 44 Resuelve el siguiente sistema: 2 + = = 5 2 m.c.m.(, 3) = 3 La 1ª ecuación se convierte en: 6 + = 6 m.c.m.(5, 2) 0 La 2ª ecuación se convierte en: 7 3 = 5 Se despeja de esta ecuación se sustitue en la otra. = 2, 1 = =, 2 = = } Meli compra 3 DVD 4 CD, paga 100 ; Ana compra 4 DVD 3 CD en la misma tienda, paga 110. Cuánto cuesta cada DVD CD? } La solución es: un DVD cuesta 20 un CD cuesta Resuelve el siguiente sistema: 2 + = 4 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. Se resuelve por igualación, despejando la incógnita de las dos ecuaciones., 1 = 3 = 3, 2 = 5 Interpretación gráfica: Son una recta una parábola. La recta la parábola son secantes, se cortan en dos puntos. Un piso tiene forma rectangular su área es de 108 m 2. Si el largo mide 3 m más que el ancho, cuáles son las dimensiones del piso? = 4 B( 3, 5) = A(1, 3) 176 SOLUCIONARIO

14 08 = + 3 } Se resuelve por sustitución. Se obtienen las soluciones: = 9, 1 2 = 12, 2 = 9 Las soluciones negativas no tienen sentido. El piso mide de largo 12 m de ancho 9 m Se resuelve por igualación. = = = 0 ( 1) = 0 ò = 0, = 0, 1 = 0, Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: =, = 3 Ha que resolver el sistema formado por las ecuaciones; se resuelve por igualación. 3 = 3 = 0 ( 1) = 0 ò = 0, Las soluciones del sistema son: = 0, 1 = 0, 2 Luego los puntos comunes de las dos funciones son: O(0, 0),A(1, 1) La suma de dos números es 5, la suma de sus inversos es 5/6. Halla ambos números. + = 5 } = 6 m.c.m.(,, 6) = 6 + = = 5 } Se resuelve por sustitución: Se obtienen las soluciones: = 2, 1 = 3 = 3, 2 = 2 Luego los números son Resuelve el siguiente sistema: = = } La suma de las edades de un padre su hija es de 70 años. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la edad de su hija. Qué edad tiene ahora cada uno? Edad ho Edad dentro de 10 años + = = 2( + 10) } Se resuelve por igualación. La solución es Edad del padre: = 50 años. Edad de la hija: = 20 años. Se mezcla café de tipo A que cuesta a 6 el kilo con café de tipo B que cuesta a 4 el kilo. Si tenemos 120 kilos de mezcla que sale a 4,5 el kilo, cuántos kilos de café de cada clase se han mezclado? = kilos de café tipo A = kilos de café tipo B ,5 } = 30 kilos de café tipo A = 90 kilos de café tipo B Padre + 10 Hija + 10 Tres kilos de manzanas dos kilos de naranjas cuestan 9. Dos kilos de manzanas dos kilos de naranjas cuestan 7. Cuánto vale el kilo de manzanas el kilo de naranjas? TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 177

15 Ejercicios problemas = precio kg manzanas. = precio kg de naranjas = = 7 } = 2 /kg,5 /kg 54 Resuelve el siguiente sistema: 2 = 0 + } Se despeja la incógnita de la 1ª ecuación se sustitue en la 2ª 1, 1 = 2 1 = 1, 1 = 2 55 Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: = + 2 3, = +1 Haz la representación gráfica para comprobarlo. Son las soluciones del sistema correspondiente, que se resuelve por igualación:, 1 = 0 = 2, 2 = 3 Los puntos de corte son: A(1, 0) B( 2, 3) = longitud. = anchura. = + 2 = 63 } = 9 m = 7 m También se obtienen dos soluciones negativas que no tienen sentido. 57 Resuelve el siguiente sistema: = 3 2 = 2 } Se resuelve por igualación. Se obtiene una ecuación de 3 er grado = 0 Ha que resolverla aplicando el teorema del factor. Tiene las raíces:, = 2 Las soluciones del sistema son:, 1 = 0 = 2, 2 = 6 56 B( 2, 3) = A(1, 0) Un aula tiene forma rectangular. Si mide 2 metros más de larga que de ancha el área es de 63 m 2, halla las dimensiones del aula. Para profundizar 58 Resuelve el siguiente sistema: 2} = 3 2 = 2 Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. Se resuelve por igualación. 178 SOLUCIONARIO

16 Las soluciones del sistema son:, 1 = 3, 2 = 3 Interpretación gráfica: = 3 2 A(1, 1) + = 60 = 800 } = 20, 1 = 40 = 40, 2 = 20 Por tanto, el campo mide de largo 40 m, de ancho, 20 m = 2 B(3, 3) La recta la parábola se cortan en dos puntos. 61 Resuelve el siguiente sistema: + 2 = 8 = 6 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. 59 Resuelve el siguiente sistema: 2 1 } + = 2 + = 3 2 m.c.m.(, ) = La 1ª ecuación se convierte en: 2 + = 2 m.c.m.(2, 3) = 6 La 2ª ecuación se convierte en: 2 = 0 Se despeja de esta ecuación se sustitue en la otra. = 0, 1 = 0 = 2, 2 Se resuelve por igualación, despejando de ambas ecuaciones: = 2, 1 = 3 = 6, 2 Son una recta una hipérbola. + 2 = 8 Se cortan en dos puntos. = 6 A(3, 2) B(6, 1) 60 Un campo de baloncesto tiene forma rectangular. El largo más el ancho mide 60 m, el área es de 800 m 2. Cuánto mide cada lado? 62 La suma de dos números es 15, la diferencia de sus cuadrados también es 15. Halla ambos números } Se resuelve por sustitución, despejando de la 1ª ecuación. = 8, = 7 TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 179

17 Ejercicios problemas 63 Resuelve el siguiente sistema: = = } 4 Se resuelve por igualación: 4 = 4 = 0 ( 1) = 0 ò = 0,, 3 = 1 = 0, 1 = 0, 2 3 = 1, 3 64 Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: = 3 6 = Representa ambas funciones para comprobarlo. Se resuelve por igualación despejando la incógnita de las dos ecuaciones. La única solución es: = 2, = 3 66 Halla una fracción equivalente a 3/4 tal que la suma del numerador del denominador valga 35 = numerador. = denominador. 3 } = 4 + = 35 5 = 20 Consiste en resolver el sistema formado por las dos ecuaciones. Se resuelve por igualación. = 2, 1 = 0, 2 = 3 Los puntos de corte son: A(2, 0) B(1, 3) Representación gráfica: Son dos parábolas. B(1, 3) 65 Resuelve el siguiente sistema: 2 = 3 2 = 2 } = 3 6 A(2, 0) = Un campo de voleibol mide de perímetro 100 m de área 600 m 2. Calcula las dimensiones del campo. = longitud. = anchura = 600 } = 30 m = 20 m La edad de un padre es el triple que la de su hijo dentro de 12 años será el doble. Qué edad tiene cada uno? 180 SOLUCIONARIO

18 Hijo Padre Ho Dentro de 12 años = = 2( + 12) } = 30 años. 0 años. TEMA 6. SISTEMAS DE ECUACIONES 181