Capítulo 6. Introducción al Método de Rigidez Generalidades

Transcripción

1 Capítulo 6 Introducción al Método d Rigidz 6.- Gnralidads El disño structural llva implícito dtrminar las proporcions d los lmntos y la configuración d conjunto qu prmitan rsistir conómica y ficintmnt las condicions d carga posibls durant la vida útil d las structuras. El aspcto cntral d sta función s l cálculo d la distribución d furzas (intrnas o sfurzos, y xtrnas o raccions) sobr las structuras, y las dformacions (dsplazamintos, giros, curvaturas, dformacions spcíficas) d las mismas. En st capítulo s prsnta l planto gnral d análisis d structuras d barras prismáticas por l Método d los Dsplazamintos, también conocido como Método d Rigidz. Exist una amplia gama d structuras qu pudn rprsntars satisfactoriamnt, a los fins d su análisis, por un modlo d lmntos d barras; tal s l caso d: dificios d divrsos tipos, part d avions y d barcos, torrs, tc. El critrio d disño qu s aplica n la mayoría d los casos s l rquriminto d comportaminto lástico d la structura bajo la acción d las cargas d ocurrncia normal, pro para cargas xtrmas s habitual acptar qu la structura sufra dformacions prmannts, simpr y cuando no s afct su capacidad d soportar las cargas prmannts a qu s ncuntra somtida. El comportaminto d cualquir tipo d structura d barras, placas, cáscaras o sólidos pud sr rprsntado por mdio d cuacions difrncials al nivl d un lmnto o barra. Sin mbargo, a nivl dl sistma d barras qu conforman una structura, rsulta posibl utilizar las solucions analíticas d las cuacions difrncials d la barra para PRTO, MSS --

2 formular l problma n términos algbraicos sin pérdida d prcisión rspcto a las hipótsis habituals d la toría d vigas. partir d dichas solucions bin conocidas s posibl obtnr rlacions ntr las furzas y los dsplazamintos d los xtrmos d cada barra y combinarlas con las cuacions d quilibrio y compatibilidad d los nudos para obtnr un sistma d cuacions algbraicas qu dscrib l comportaminto d la structura. En los casos d lmntos structurals qu no ncuadran n una dfinición básicamnt unidimnsional dl problma (a lo largo dl j d la barra), s dcir n caso d lmntos bidimnsionals o tridimnsionals, l problma s más complicado porqu raramnt xistn solucions xactas para las cuacions difrncials n drivadas parcials qu las gobirnan. Una manra práctica d obtnr solucions numéricas n tals casos s la aplicación dl método d lmntos finitos. El concpto básico d st método s qu l continuo (toda la structura) pud modlars analíticamnt subdividiéndolo n rgions (lmntos finitos) cuyo comportaminto pud dscribirs por una sri d funcions, propustas d antmano, qu aproximan los dsplazamintos y/o las tnsions n dichas rgions. Est planto también conduc a un sistma d cuacions algbraicas, aunqu stas cuacions introducn aproximacions d tipo numérico qu no son ncsarias n las structuras d barras prismáticas. Todo mimbro o lmnto d una structura d barras pud sr considrado un caso particular, rlativamnt simpl, dntro dl concpto d lmntos finitos, sólo qu dado qu s dispon d la solución analítica d las cuacions qu rign n comportaminto individual d las mismas, no rquirn aproximacions numéricas adicionals a las propias d las torías d vigas. 6.- Tipos d structuras Una structura stá formada por lmntos conctados ntr sí qu pudn agrupars n conjuntos d una, dos o trs dimnsions. En ralidad, todo lmnto tin largo, ancho y spsor, pro si l ancho y l spsor son pquños rspcto a la longitud pud considrars al lmnto como unidimnsional (barra). En l caso d placas y cáscaras, l spsor s pquño rspcto al largo y al ancho por lo qu pudn considrars como lmntos bidimnsionals. Si l spsor, l largo y l ancho posn l mismo ordn d magnitud, dbrá considrars al lmnto como tridimnsional. La dfinición dl caráctr unidimnsional, bidimnsional o tridimnsional dl conjunto dpnd dl critrio d quin tin la rsponsabilidad d fctuar l análisis structural, y srá analizado n más dtall n los capítulos siguints. PRTO, MSS --

3 fin d su studio pud sr d utilidad clasificar las structuras d barras sgún su configuración d la siguint manra: Rticulado Plano Nudos rticulados Rticulado Espacial Pórtico Plano Planas Nudos Rígidos Emparrillado Plano EspacialsPórtico Espacial 6.3- Objto dl análisis structural El análisis structural s un conjunto d hrramintas dl disño para la dtrminación d los dsplazamintos, dformacions, sfurzos intrnos y raccions xtriors d la structura. Una vz dtrminados los dsplazamintos s procd a calcular las tnsions a partir d las rlacions cinmáticas ntr dsplazamintos y dformacions spcíficas, y las rlacions constitutivas dl matrial, y finalmnt valuar los márgns d sguridad rspcto a la fluncia, pando o rotura dl matrial. El análisis structural s raliza sobr una structura pr-dimnsionada qu stá dfinida a través d su configuración gométrica y dimnsions, y a través d las caractrísticas d los matrials. También supon ya dfinidas las accions a considrar, tals como cargas d divrsa naturalza, dfctos d montaj, variacions d tmpratura, tc. El cálculo d tnsions pud indicar la ncsidad d introducir modificacions más o mnos importants n la structura original. En sos casos s db rptir l análisis, dspués d adcuar las dimnsions originals, gnrando un sgundo ciclo d análisis. El procso d análisis y disño d una structura pud squmatizars d la manra indicada n l cuadro mostrado a continuación. PRTO, MSS -3-

4 Datos: a) Caractrísticas funcionals b) ccions xtrnas Disño structural: a) Dfinición d la structura b) Dfinición d las cargas (accions xtrnas, pso propio, tc.) No satisfactorio (rptir l ciclo) nálisis structural: Dtrmina: a) urzas xtrmos d barra b) Dsplazamintos d nudos Cálculo d tnsions: -Utilización d alguna toría d falla Satisfactorio in: Ejcución d planos, tc Solución complta d problmas d mcánica structural S cominza rpasando algunos concptos fundamntals ya vistos antriormnt y qu s vinculan a la dfinición d lo qu normalmnt s intrprta como una solución "complta" d un problma structural. Ésta consist n dtrminar: a) Esfurzos intrnos y raccions xtrnas b) Dsplazamintos Para lograr stos objtivos ncsariamnt dbn utilizars n alguna tapa d cálculo las siguints rlacions: ) Ecuacions d quilibrio ) Condicions d compatibilidad 3) Rlacions constitutivas 4) Condicions d vínculo PRTO, MSS -4-

5 Sustituyndo grupos d stas cuacions n las rstants s posibl llgar a un sistma d cuacions qu satisfacn los cuatro tipos d rlacions nunciadas pro cuyas incógnitas pudn sr xclusivamnt furzas o dsplazamintos. Sgún sa l ordn n qu s sustituyan unas cuacions n otras y las incógnitas qu s adoptan s obtinn las cuacions propias dl método d las furzas o las dl método d los dsplazamintos. Para finalizar st capítulo d introducción s dscribn las caractrísticas fundamntals d ambos métodos a través d un jrcicio qu mustra la forma d oprar n cada uno d sos procdimintos d análisis nálisis compartivo d los dos métodos d análisis structural Método d las urzas I) En primra instancia s plantan y s rsulvn las cuacions d compatibilidad cuyas incógnitas son furzas (incógnitas hiprstáticas). Por sta manra d ncarar l problma también s lo conoc como método d compatibilidad o método d flxibilidad. El númro d cuacions stá asociado al grado d indtrminación stática. II) En una sgunda tapa d cálculo s calcular los dsplazamintos n los distintos puntos d la structura, aunqu st s un subproducto qu no simpr s rquir cuando s slcciona st método d análisis. Método d Rigidz I) En primra instancia s plantan y rsulvn cuacions d quilibrio cuyas incógnitas son dsplazamintos; también s lo conoc como método d quilibrio o método d los dsplazamintos. El númro d cuacions stá asociado al grado d indtrminación gométrica, qu s igual al númro d grados d librtad ncsarios para dfinir la configuración dformada d la structura. II) En una sgunda tapa dl cálculo s procd a dtrminar n forma sucsiva los sfurzos n los distintos puntos d la structura. PRTO, MSS -5-

6 6.6- Ejmplo d aplicación d los dos métodos S propon rsolvr l problma hiprstático simétrico d la igura 6.. Datos: ; l, E, ; l, E, ; P l, E, l, E, l, E, Incógnitas: urzas n las barras:, Elongacions d las barras:, igura 6. El dsplazaminto vrtical dl punto : U Tnmos n total cinco incógnitas: a) Ecuacions d quilibrio: b) Ecuacions constitutivas:..cos( ) P (Ec. 6.) S suponindo qu l matrial s linalmnt lástico (s cumpl la ly d Hook), y s utiliza la nomnclatura K =. E l c) Ecuacions d compatibilidad: qu s conoc como rigidz axial d la barra: (Ec. 6.) K (Ec. 6.3) K Para dsplazamintos pquños s pud calcular l alargaminto d la barra proyctando l dsplazaminto rlativo ntr los xtrmos sobr la dircción original d la barra. P U.cos (Ec. 6.4) PRTO, MSS -6-

7 U (Ec. 6.5) S han obtnido así cinco cuacions qu prmitn dtrminar las cinco incógnitas. Db nfatizars qu l problma no pud rsolvrs a mnos qu s utilicn todas las cuacions. Método d las urzas D las cuacions (Ec. 6.4) y (Ec. 6.5) s llga a una sola cuación d compatibilidad dond no figura l dsplazaminto U como incógnita. cos (Ec. 6.6) Sustituyndo (Ec. 6.) y (Ec. 6.3) n (Ec. 6.6) s tin: K.cos (Ec. 6.7) K Dspjando d (Ec. 6.) y sustituyndo n (Ec. 6.7) rsulta: K.cos P..cos (Ec. 6.8) K Ésta s una cuación d compatibilidad gométrica dond ambos mimbros son dimnsionalmnt longituds. S trata d una vrsión d la (Ec. 6.6) qu cumpl admás quilibrio y qu tin n cunta las caractrísticas mcánicas d las barras. D (Ec. 6.8) s dspja la furza incógnita, s calcula sustituyndo n la (Ec. 6.), lugo s calculan las longacions sgún (Ec. 6.) y (Ec. 6.3) y finalmnt s dtrmina l dsplazaminto Método d Rigidz U sgún (Ec. 6.5). Sustituyndo las cuacions (Ec. 6.4) y (Ec. 6.5) n (Ec. 6.) y (Ec. 6.3) s tinn xprsadas las furzas n función dl dsplazaminto U :..cos K U (Ec. 6.9) K U (Ec. 6.0). Sustituyndo ahora stos valors n la cuación (Ec. 6.) quda:. K. U.cos K. U P..cos. K K U P (Ec. 6.) PRTO, MSS -7-

8 Qu n notación abrviada s xprsa: K. U P (Ec. 6.) La (Ec. 6.) s una cuación d quilibrio (ambos mimbros son furzas) qu satisfacn admás compatibilidad d dformacions y tin n cunta las caractrísticas lásticas d las barras. El dsplazaminto s dtrmina a partir d (Ec. 6.) y lugo por simpl sustitución s calculan las furzas mplando (Ec. 6.9) y (Ec. 6.0). Los métodos qu prmitn plantar sistmáticamnt cuacions d compatibilidad n función d furzas incógnitas, tals como: Trabajos Virtuals, Castigliano, Trs Momntos, tc., son distintas variants dl Método d las urzas. La atnción s concntra ahora n l dsarrollo d un procdiminto qu prmita l planto sistmático d cuacions dl tipo d (Ec. 6.), o sa, cuacions d quilibrio stático n función d los dsplazamintos, dond las furzas lásticas K. U quilibran a las furzas xtriors P conocidas. U : Vctor dsplazaminto gnralizado (corrimintos y giros) P : Vctor d carga gnralizado (furzas y momntos) K : Matriz d rigidz qu dpnd d las propidads lásticas y gométricas d cada barra y admás d la forma n qu s conctan. En l siguint capítulo s cominza l dsarrollo gnral dl Método d Rigidz para l análisis d rticulados planos. PRTO, MSS -8-