Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Denominación Definición Propiedad básica. cos α = c a. tg α = tan α = b c. Propiedad fundamental

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1 Trigonometrí 1

2 Trigonometrí Rzones trigonométris de un ángulo gudo Denominión Definiión Propiedd ási Seno sen = 0 sen 1 Coseno Tngente os = tg = tn = Propiedd fundmentl sen + os = 1 Rzones trigonométris de ulquier ángulo 0 os 1 tg = tn = sen os Si es un ángulo del primer udrnte: 180 es del segundo udrnte y sen (180 ) = sin os (180 ) = os es del terer udrnte y sen (180 + ) = sin os (180 + ) = os 360 es del urto udrnte y sen (360 ) = sin os (360 ) = os

3 Not históri sore los términos trigonométrios L trigonometrí es un prte de l mtemáti que, genérimente, estudi l relión entre l medid de los ángulos y los ldos de un triángulo. De heho, l propi plr trigonometrí tiene su origen en este heho: tri signifi "tres", gono, signifi "ángulo" y metri signifi "medid"; es deir, trigonometrí signifi lgo sí omo "medid de (figurs) on tres ángulos". El término trigonometrí lo enontrmos por primer vez en l or del mtemátio lemán Brtholomeus Pitisus, Trigonometri sive de dimensione tringulorum, pulido en 1595, unque los muhos resultdos de l trigonométrios y ern onoidos en l ntigüedd (teorem de Pitágors, teorem de Tles,...). Los primeros usos de l trigonometrí (unque no llevr este nomre) fueron l rtogrfí, stronomí y l nvegión, y sólo reientemente su uso se h extendido otros muhos mpos. L stronomí es, quizá, el mpo que desde ntiguo estuvo más unido l trigonometrí y, de heho, l myor prte de estudios trigonométrios se presentn en trjos stronómios. Hst el siglo XIII no se dio l primer presentión de l trigonometrí omo ieni independiente de l stronomí: fue el mtemátio pers Shrf l Din l Tusi. De l or Prolemtum vriorum geodetium de B. Pitisus. Los términos seno, oseno y tngente tienen un histori urios. Un ntigu or hindú sore stronomí, Sury Siddhnt, d un tl de medis uerds (en el próximo tem se puede estudirá el signifido de uerd), que oiniden on l ide del seno de un ángulo, muy útiles pr lulr los movimientos de ls estrells. Posteriormente, l or Aryhtiy del tmién hindú Aryht (hi el 500 d. de C) he un estudio más profundo de ls medis uerds, ls que denomin jiv (en sánsrito, lengu en que está esrit est or). Los áres l trdujeron y el término jiv fue trnsformdo en el ráigo ji, pero esrito j (y que el áre lásio no tiene voles). Más delnte, los trdutores l ltín de est or, trdujeron j por sinus, y que pensron que se referí ji (y no ji), y ji signifi peho o seno (plr que utilizmos en l tulidd). Así, del signifido originl, medi uerd, se psó, por un trduión erróne, seno. Anédot prte, este relto ilustr el reorrido de los estudios trigonométrios lo lrgo de l histori: primero, en l Indi, posteriormente, en áre, desde Bgdd hst Al Andlus; desde quí se introdujo en Europ on ls trduiones ltins, hst ls lengus moderns. Ls otrs dos rzones trigonométris tienen un histori más reiente. El oseno surgió de l neesidd de lulr el seno del ángulo omplementrio. Así, originrimente, Edmund Gunter en 160 esriió o.sinus preismente pr indir "seno del ángulo omplementrio" (que omo semos, es igul l oseno del ángulo); un poo más trde, John Newton (no Is Newton) estndrizó el término osinus, del que proviene nuestro oseno. Finlmente, l plr tngente deriv de l plr ltin tngere, que signifi tor (muy reliondo on l ide geométri de l tngente), y fue introduid por Dne Thoms Finke en

4 Cuáles son ls rzones trigonométris de un ángulo gudo? A prtir de los resultdos nteriores pueden definirse ls rzones trigonométris de un ángulo gudo ulquier: el seno, el oseno y l tngente de un ángulo gudo hipotenus: El seno de un ángulo gudo es igul l oiente entre el teto opuesto l ángulo y l hipotenus: sen = Dee destrse que el seno es un número positivo nun myor que 1 (un teto no puede nun ser superior l hipotenus). 0 sen 1. Por su prte, el oseno de este ángulo es igul l oiente entre el teto ontiguo l ángulo y l os = Dee destrse, tmién, que el oseno es un número positivo nun myor que 1 (un teto no puede nun ser superior l hipotenus): 0 os 1. L tngente de este ángulo es igul l oiente entre el teto opuesto y el teto ontiguo l ángulo (se usn indistintmente los símolos tg o tn): tg = tn = no es difíil onsttr que l tngente puede lulrse tmién omo el oiente del seno entre el oseno del ángulo: tg = tn = sen os = = Ls rzones trigonométris de un ángulo dependen del triángulo retángulo esogido? Ls rzones trigonométris de un ángulo no dependen del triángulo esogido pr definirls. Ce destr que el seno, el oseno y l tngente de un ángulo no dependen del triángulo retángulo en el que se enuentr este ángulo. Efetivmente, ddos estos triángulos retángulos on dos ángulos igules (el reto y ): entones, el terer ángulo tmién es igul (180 90, en mos sos). Así pues, se trt de dos triángulos semejntes y, por eso, on ldos proporionles. Por lo tnto, se umple: 4

5 = = ' ' ' L primer iguldd tmién puede expresrse sí: ' = ' en otrs plrs, el álulo del seno del ángulo en mos triángulos dee dr el mismo resultdo. De l mism mner, omo ' = o tmién = ' ' ' sí, pues, el oseno del ángulo tmpoo depende del triángulo que esojmos pr hllrlo. Igulmente, ' = por lo tnto, = ' ' ' de est mner, tmpoo l tngente de no depende del triángulo que se utilie pr su álulo. En definitiv, pr ulquier ángulo de 0 90º, existe un únio número que se su seno, un únio número que se su oseno y, finlmente, un únio número que se tngente. Estos tres números se onoen omo ls rzones trigonométris ásis del ángulo. Cuáles son ls rzones trigonométris ásis del ángulo de 60º o π/3 rd? El ángulo de 60º o π/3 rd tiene por oseno 1/, por seno por tngente 3 1, ,866 y Si unimos dos triángulos retángulos igules on un ángulo de 60º (o π/3 rd), por su teto myor, otendremos indefetilemente un triángulo equilátero, porque el otro ángulo del triángulo retángulo es 30º, y = 60. L hipotenus de ulquier de mos triángulos retángulos es igul l ldo del triángulo equilátero. El teto ontiguo l ángulo de 60º mide l mitd de l hipotenus. Es deir, si es l hipotenus, y es el teto ontiguo l ángulo de 60º, el oiente entre este teto y l hipotenus es 1 = este resultdo no depende ni del vlor onreto de l hipotenus, ni del vlor onreto del teto. Es deir, este oiente siempre será igul 1/ pr un triángulo retángulo on un ángulo de 60º, y semos que se denomin oseno de 60º, y se esrie os 60. Así, pues, os 60 = ½ o ien, en rdines os π/3 = 1/ El teto opuesto l ángulo de 60º,, puede relionrse on los otros dos ldos, trvés del teorem de Pitágors: = + hor ien, omo = () = + es deir, 4 = + en definitiv, = 3 o lo que es lo mismo = 3 Por lo tnto, si queremos estleer l proporión entre el teto opuesto l ángulo de 60º y l hipotenus: 5

6 3 3 = = 0,866 Est proporión no depende de l longitud de los ldos del triángulo retángulo on un ángulo de 60º y semos que se l denomin seno de 60º, y se esrie sen 60. Así pues, 3 π 3 sen 60 = 0,866 o ien, en rdines sen = 0,866 3 Finlmente, podemos hllr l relión entre el teto opuesto y el teto ontiguo de 60º: 3 = tmpoo depende est proporión del vlor onreto de los tetos y, omo semos, se l denomin tngente de 60º, y se esrie tg 60, o tmién, tn 60. De mner que, π tg 60 = 3 1,73 o ien, en rdines, tg = 3 1,73 3 Cuáles son ls rzones trigonométris ásis del ángulo de 45º o π/4 rd? El ángulo de 45º o π/4 rd tiene tnto por seno omo por oseno 0,707 y por tngente, 1. 45º 45º Si uno de los ángulos de un triángulo retángulo es igul 45º (o π/4 rd), es evidente que el otro ángulo ( prte del reto) dee ser tmién de 45º. Por l mism rzón, mos tetos deen ser igules, es deir, =. Si ominmos este heho on el teorem de Pitágors: = + = + = es deir: = o, tmién, 1 = = sí, pues, l proporión entre el teto ontiguo de 45º y l hipotenus es igul 0,707, y es independiente del vlor onreto de los ldos de este triángulo. Así, pues, el oseno de 45º es igul : os 45 = 0,707 o ien, en rdines π os = 0, Evidentemente, omo mos tetos son igules, l proporión entre el teto opuesto de 45º y l hipotenus deerá tener el mismo vlor. Este vlor es el seno de 45º. Es deir: sen 45 = 0,707 o ien, en rdines π sen = 0, Finlmente, podemos hllr l relión entre el teto opuesto y el teto ontiguo de 45º. En este so es muy fáil: 1 = 6

7 tmpoo depende est proporión del vlor onreto de los tetos. Así, pues, l tngente de 45º es 1, es deir, π tg 45 = 1 o ien, en rdines tn = 1 4 Cómo lulr ls rzones trigonométris de un ángulo on l luldor? Pr lulr ls rzones trigonométris de un ángulo en un luldor, se utilizn ls tels orrespondientes de l mism, teniendo en uent si ést se enuentr en modo DEG (grdos) o en modo RAD (rdines). En generl, no es tn fáil hllr ls rzones trigonométris de ulquier otro ángulo, prte de los y estudidos. Hst l priión de ls luldors ientífis, existín tls trigonométris que permitín enontrr ls rzones trigonométris de ulquier ángulo; de l mism mner, tmién existín tls que permitín enontrr un ángulo prtir de un de sus rzones trigonométris. En l tulidd, ests tls no se utilizn, porque ulquier luldor reliz ests funiones de mner más efiiente y senill. Antes de empezr relizr ulquier álulo, dee tenerse en uent en qué modo v introduirse el ángulo, en grdos sexgesimles o en rdines. L luldor tiene un modo de trjo en grdos sexgesimles, modo DEG (del inglés, degree, es deir, grdo), y un modo de trjo en rdines, modo RAD. Normlmente, el modo de trjo puede leerse siempre sore l pntll, en lguno de sus extremos. Pr mir de un modo otro tn solo he flt lolizr ls tels MODE (si no existe, ostumr ser l tel INV) y ls dos nteriores: se presion primero l tel MODE (o INV), y posteriormente l del modo que queremos. Por ejemplo, pr poner l luldor en modo grdos sexgesimles dee herse lo siguiente: MODE + DEG Si queremos trjr on rdines, se dee her lo mismo, pero presionndo l tel RAD en lugr de l tel DEG. Un vez heho esto, pr lulr ls rzones trigonométris, primero deen lolizrse ls tres tels que permiten lulrls: ls tels SIN, COS y TAN. Puede oservrse que en l prte superior de ests tels hy, hitulmente, ierts expresiones (sin 1, os 1, tn 1, generlmente), que indin que on ests tels tmién pueden lulrse los ángulos prtir de ls rzones trigonométris. Pr lulr el seno de un ángulo, dee ponerse el modo orreto l luldor (DEG o RAD). Por ejemplo, si queremos lulr el seno de 33º, deemos poner l luldor en modo DEG. Posteriormente, esriir el ángulo, 33, y finlmente, presionr l tel SIN. Otendremos, (en l luldor l om deiml es un punto), que es el seno de 33º. De mner semejnte, podemos lulr el oseno y l tngente de ulquier ángulo gudo. En mio, si onoemos el seno de un ángulo y queremos ser de qué ángulo se trt, deemos tur sí: introduimos el ángulo, presionmos l tel INV seguid de l tel SIN (es deir, lulmos el inverso del seno, o se, el ángulo prtir de su seno). Por ejemplo, si queremos onoer el ángulo (en modo DEG) que tiene por seno 0,83, introduimos este número, seguido de INV y SIN; preerá en l pntll Es deir, el seno de 55,356473º es 0,83. De mner semejnte pueden hllrse los ángulos que tienen por oseno (o por tngente) un vlor determindo. En este so, dee reordrse que el seno y el oseno deen ser vlores entre 0 y 1. Además, por lo generl, los vlores otenidos son proximdos. Ejeriios ásios on luldor: Clul el seno, el oseno y l tngente de estos ángulos: 7

8 uyo seno es igul 0,3 (sol: os = 0,9474, tg = 0,3378) β uyo oseno es igul 0,93 (sol: sen β = 0,3676, tg β =,530) γ uy tngente es igul 1,3 (sol: sen γ = 0,7759, os γ = 0,6308) Cuáles son ls rzones trigonométris del ángulo de 83º? (sol: sen 83 = 0,995; os 83 = 0,119; tg 83 = 8,1443) Cuáles son ls rzones trigonométris del ángulo de 1 rd? (sol sen 1 = 0,8415; os 1 = 0,5403; tg 1 = 1,5574) Cuál es el ángulo que tiene por seno 0,131? uáles son sus otrs rzones trigonométris) (sol: = 0,134 rd = 7,071º; os 7,071 = 0,994; tg 7,071 = 0,114). Cuál es l iguldd ási de l trigonometrí? Culquier ángulo menor que el ángulo reto umple lo siguiente: sen + os = 1 Ddo un triángulo de tetos y, y de hipotenus puede lulr: (sen ) + (os ) + = + = + = = = 1 teniendo en uent que = +. En definitiv, (sen ) + (os ) = 1 ulquier que se el ángulo, l sum de los udrdos del seno y el oseno es igul 1. A vees ç, est iguldd tmién se esrie sí: sen + os = 1 Est fórmul nos permite lulr el seno prtir del oseno (y l invers): sen = 1 os por lo tnto, sen = 1 os de l mism mner os = 1 sen Por ejemplo, si el seno de un ángulo fuese 0,4, su oseno deerí ser os = 1 0, 4. De l mism mner, si el oseno de un ángulo β fuese 0,8, su seno serí sen = 1 0,8. 8

9 Cómo se luln ls rzones trigonométris de ulquier ángulo? Ls rzones trigonométris de ulquier ángulo pueden deduirse fáilmente de ls rzones trigonométris de un ángulo gudo. y x Pr lulr ls rzones trigonométris de ulquier ángulo, se o no gudo, deemos diujr en el plno rtesino un irunfereni unitri de entro el origen de oordends: es deir, se representn dos rets reles perpendiulres, que inluyn los puntos del intervlo [ 1,1], y que se orten el punto 0 de d un de ells. Se diuj un irunfereni de rdio 1, entrd en l interseión de ls rets, omo se oserv en l ilustrión: Se diuj un ángulo,, tl omo se muestr en l imgen. Si proyetmos el segmento que form el ángulo sore l ret horizontl, otenemos un triángulo retángulo. Como l hipotenus mide extmente 1, el oseno del ángulo dee ser x/1: por lo tnto, os = x. De l mism mner es fáil ompror que sen = y. Evidentemente, l tngente de este ángulo dee ser tg = y/x. Ahor podemos diujr este segundo ángulo, est vez otuso. En este so, podemos definir, de form semejnte l so nterior: sen β = y os β = x prtir de quí, l tngente de este ángulo puede lulrse omo tg β = y/x = sen β/os β. Se puede oservr en l ilustrión que el oseno de β será negtivo, hor ien, su vlor soluto no puede ser, en ningún so, myor que 1. En generl pueden definirse de est mner ls rzones trigonométris de ulquier ángulo de 0 360º, siendo el seno y el oseno de ulquier ángulo, números omprendidos entre 1 y 1. Por otro ldo, ulquier ángulo myor que 360º (o π rd) se orresponde un ángulo entre 0º y 360º, tl omo muestr est imgen: x y β 431º 71 Evidentemente, los ángulos 71º y 431º ( ) tienen ls misms rzones trigonométris. En generl, si es un ángulo de 0º 360º, entones: sen = sen (360 +) = sen ( ) =... os = os (360 +) = os ( ) =... 9

10 Es deir, ls rzones trigonométris se vn repitiendo undo se sum 360 un ángulo. Así, por ejemplo, sen (834) = sen ( ) = sen 6 Cd zon de l irunfereni unitri dividid por ls dos rets reles se denomin udrnte. Así pues, existen 4 udrntes, que se denominn del 1 l 4 tl omo muestr l imgen: º 1 r udrnte 3 r 4º udrnte En todo so, ls rzones trigonométris de ulquier ángulo pueden hllrse onoiendo únimente ls rzones trigonométris de los ángulos del primer udrnte. Pr demostrrlo, solo es neesrio oservr ests ilustriones: Podemos firmr, pues, que si es un ángulo del primer udrnte: sen (180 ) = sin os (180 ) = os sen (180 + ) = sin os (180 + ) = os sen (360 ) = sin os (360 ) = os L propiedd fundmentl de l trigonometrí sigue umpliéndose; es deir, pr ulquier ángulo se umple siempre: sen + os = 1 esto es sí, porque en último término el seno y el oseno de un ángulo siempre se luln prtir del seno y el oseno de un ángulo gudo; l úni modifiión es el signo, que no es importnte undo se elev el vlor l udrdo. 10

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