Cálculo vs Análisis. Trabajos

Transcripción

1 1. Analizar los dos libros que aparecen en la bibliografía del curso, Cálculo Vectorial, de Marsden, J.E. y Tromba, A.J., y Análisis clásico elemental, de Marsden, J.E. y Hoffman, M.J. Hacer un informe comparando ambos textos, desde el punto de vista del contenido, de la forma, de su adecuación al programa de la asignatura (a primera vista), de su adecuación al estudiante (también a primera vista, lo que incluye una valoración personal de cada libro). El trabajo se presentará por escrito, con una longitud de una o dos hojas. Se puede enviar en formato digital mediante esta herramienta de webct, adjuntando el archivo en formatos html, word o pdf Como sugerencia para saber cómo debe presentarse un informe, puede verse el enlace del Tecnológico de Monterrey

2 2. Una métrica no eucĺıdea Se trata de estudiar la definición general de espacio métrico, para comprender a partir de un ejemplo concreto la diferencia entre la métrica eucĺıdea de R n y otras métricas no eucĺıdeas. A continuación se muestra un ejemplo de cómo desarrollar el trabajo. Puede escogerse otra métrica distinta. El trabajo consiste en desarrollar los siguientes puntos: a. Definición de métrica en un conjunto. b. Topología en espacios métricos: bolas abiertas y cerradas, conjuntos abiertos y cerrados. c. Construcción de una métrica rara no eucĺıdea en R 2, y estudiar la forma de las bolas Ejemplo métrica no eucĺıdea: { 0 si x = y Se define la función d : R 2 R por d(x, y) = max{ 1, 1 } si x y x +1 y +1 a) Probar que d es una métrica en R. b) Demostrar que todos los conjuntos de (R, d) son abiertos. En cualquier espacio métrico se definen las bolas abiertas y cerradas, y la esferas como hemos hecho en R n. c) demostrar que en con esta métrica no son ciertas las siguientes afirmaciones: i) ( B(x, r) ) 0 = B(x, r) ii) B(x, r) = B(x, r) iii) B(x, r) = x + rb(0, 1)

3 3. Enunciar y demostrar dos teoremas similares al de cálculo de ĺımites en el origen mediante coordenadas polares en el plano, para el espacio tridimensional, utilizando coordenadas ciĺındricas y coordenadas esféricas. Poner ejemplos de utilización del teorema, y contraejemplos que muestren que las condiciones del enunciado son necesarias.

4 4. Teorema Funciones Inversas sobre compactos El teorema de Bolzano afirma que una función continua e inyectiva definida en un conjunto compacto de R n tiene inversa continua. Se pueden hacer diversas demostraciones de este resultado, utilizando propiedades de las funciones continuas y de los conjuntos compactos. El trabajo consiste en encontrar o hacer una demostración alternativa a la que se propone en el material del curso. En todo caso se debe indicar el material de referencia que se utilice.

5 5. El espacio de las funciones continuas Se trata de conocer algunas propiedades del espacio de funciones continuas como ejemplo de espacio normado de dimensión infinita. El conjunto de las funciones reales continuas definidas en el intervalo [0,1], es un espacio vectorial en el que la norma y la distancia tiene un aspecto bastante intuitivo, y puede servirnos como un magnífico ejemplo para conocer algunas diferencias entre la topología del espacio eucĺıdeo n-dimensional y los espacios de dimensión infinita. Concretamente se trata de ver cómo se caracterizan los conjuntos compactos. Además el estudio desde el punto de vista topológico de este espacio de funciones continuas completa el estudio desde el punto de vista del análisis del primer curso, y puede ayudar a tener una visión de conjunto más completa de algunos resultados estudiados que para el alumnos parecen aislados unos de otros, como las sucesiones y series de funciones. Una mayor familiaridad con los conjuntos de funciones puede ser de mucha ayuda para el desarrollo de la asignatura de Ampliación de Análisis de Varias Variables, sobre todo en la parte de la integral de Lebesgue y los teoremas de convergencia. Bibliografía: Análisis Clásico elemental. Marsden-Hoffman El trabajo se presentará por escrito, de forma individual, y se expondrá oralmente.

6 6. Función continua no derivable Se trata de construir una función continua de una variable real, cuyo dominio sea la recta real, que no sea derivable en ningún punto. Buscar alguna aplicación de esta propiedad (movimiento browniano, fractales, etc)

7 7. Ejemplos de campos vectoriales. Gradiente, divergencia y rotacional. Concepto e interpretación geométrica. Ejemplos y ejercicios. Referencia: Cálculo Vectorial marsden - Tromba Pags

8 8. Teorema de condiciones suficientes de diferenciabilidad Se trata de demostrar una versión más fuerte del teorema de condiciones suficientes de diferenciabilidad (ver tema Funciones de Clase C 1 ). Sea U un conjunto abierto en R n, F : U R m una función, y x U un punto de U. Si existen todas las derivadas parciales de F, df dx i = ( df1 dx i,..., df m dx i ) para todo i = 1,..., n, en todos los puntos de U, y todas las funciones df dx i : U R m MENOS UNA son continuas en x, entonces F es diferenciable en x. El resultado es especialmente interesante para funciones de dos variables, ya que entonces basta con comprobar que las una de las dos derivadas parciales es una función continua para asegurar que f es diferenciable. Poner un ejemplo.

9 9. Ejemplos de campos vectoriales. Gradiente, divergencia y rotacional. Concepto e interpretación geométrica. Ejemplos y ejercicios. Referencia: Cálculo Vectorial marsden - Tromba Pags

10 10. Algunas aplicaciones del estudio de extremos Estudiar el concepto de campo de vectorial, y la descripción de trayectorias en un campo de fuerzas. Definir campo potencial. Estudiar el significado de los puntos de equilibrio de un campo potencial y su relación con los puntos críticos. Resolver algunos ejemplos y ejercicios.

11 11. Esquema de la asignatura Se trata de preparar un esquema del contenido de la asignatura, en un formato que pueda caber en un poster. El esquema puede resumir el contenido teórico, las técnicas fundamentales de la asignatura, ejmplos, tipo de problemas, etc.