UNIDAD 8 INECUACIONES. Objetivo general.

Transcripción

1 8. 1 UNIDAD 8 INECUACIONES Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás inecuaciones lineales y cuadráticas e inecuaciones que incluyan valores absolutos, identificarás sus conjuntos solución en la recta numérica y los expresarás en términos de intervalos. Objetivos específicos: 1. Recordarás las definiciones de las relaciones mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que.. Recordarás a qué se llama inecuación y conjunto solución de una inecuación. 3. Recordarás las definiciones de intervalo cerrado, intervalo abierto e intervalo semiabierto o semicerrado. 4. Recordarás las propiedades generales de las desigualdades. 5. Aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones lineales y cuadráticas. 6. Recordarás a qué se llama valor absoluto de una cantidad y aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones que incluyen valores absolutos. Objetivo 1. Recordarás las definiciones de las relaciones mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que. Se dice que el número real x es mayor que el número real y, si la diferencia x y es una cantidad positiva. Esto se escribe como: x y

2 8. Por el contrario, el número real x es menor que el número real y, si la diferencia x y es una cantidad negativa. Esto se escribe como: x y En ambos casos, se han utilizado los símbolos de desigualdad " < " y " > " en los que siempre la cantidad que es mayor queda del lado en que se abre el símbolo. La dirección en que apunta el signo se conoce como sentido de la desigualdad. Otros dos símbolos que se utilizan con frecuencia son " " y " " que significan, respectivamente, mayor o igual y menor o igual. Esto quiere decir en el primer caso que o la diferencia x y es una cantidad positiva o bien que x = y, y en el segundo que o la diferencia x y es una cantidad negativa o bien x = y. Ejemplos: 1.) Como la diferencia 5 3 = es una cantidad positiva, podemos escribir: 5 > 3 En sentido contrario, como 3 5 =, también se puede escribir: 3 < 5 y las dos desigualdades son equivalentes..) Si a = 4, y b = 11, se tiene que: a b porque 4 ( 11) = = 7 es una cantidad positiva. También se podría escribir la desigualdad equivalente: b a 3.) La desigualdad y 6 y 16 es cierta para todos los valores de la variable y, porque y 6 y 16 y 6 y es una cantidad negativa para cualquier valor de y.

3 ) La desigualdad x 4 > 9 es cierta siempre que x > 13, porque (x 4) 9 = x 13 es una cantidad positiva siempre que x > 13. En cambio, si x < 13 el sentido de la desigualdad cambiaría. 5.) La desigualdad x 3 5 es cierta siempre que x 1, porque (x + 3) 5 = x es una cantidad negativa si x < 1 y, además, x + 3 = 5 si x = 1. Objetivo. inecuación. Recordarás a qué se llama inecuación y conjunto solución de una Como se ilustró en los tres últimos ejemplos del Objetivo 1, en algunas desigualdades pueden aparecer variables. Una desigualdad en la que aparecen una o más variables recibe el nombre de inecuación. Al igual que en el caso de las ecuaciones, el grado de una inecuación es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable en alguno de los miembros de la inecuación y, también de la misma manera que en las ecuaciones, las inecuaciones de primer grado se llaman lineales, mientras que las de segundo grado se llaman cuadráticas. Cuando una inecuación tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables que aparecen en ella, se llama desigualdad absoluta o incondicional. Por el contrario, cuando tiene el mismo sentido solamente para algunos valores de las variables, se llama desigualdad condicional. Se llama conjunto solución de una inecuación al conjunto de valores de las variables que hacen que la desigualdad conserve su mismo sentido. Ejemplos: 1.) La inecuación y 6 y 16 es una desigualdad absoluta, porque tiene el mismo sentido para todos los valores de la variable y.

4 8. 4.) La inecuación x 4 > 9 es una desigualdad condicional, porque solamente conserva el mismo sentido si x > ) La inecuación 3x 5 6 x es una desigualdad condicional, porque si x 11 conserva el mismo sentido, pero si x 11entonces se tendría que 3x 5 6 x, y el sentido de la desigualdad cambia. Además, si x = 11 entonces la desigualdad desaparece porque 3x 5 6 x. Para esta inecuación, el conjunto solución es el de todos los valores de x tales que x ) La inecuación 1 x 3 0 es una desigualdad condicional, porque conserva el mismo sentido si x 6, mientras que si x 6 se tendría que x. Conviene notar que si x = 6, el sentido de la desigualdad es indiferente porque se trata de una desigualdad del tipo mayor "o" igual que, de modo que para este valor de x también se cumple la desigualdad en sentido contrario, es decir del tipo menor "o" igual. El conjunto solución de esta inecuación está formado por todos los valores de x que cumplan que x 6. 5.) La inecuación x x 3 0 es una desigualdad absoluta porque independientemente del valor de x, el cuadrado del primer miembro nunca será negativo. Objetivo 3. Recordarás las definiciones de intervalo cerrado, intervalo abierto e intervalo semiabierto o semicerrado. Un intervalo es una porción de la recta numérica. Normalmente, los intervalos se definen para establecer el conjunto de valores que puede tomar una variable en una situación particular.

5 8. 5 Si a b, el intervalo comprendido entre a y b es el conjunto de todos los números reales que existen entre ambos valores. Si el intervalo incluye a los valores extremos, a y b, se llama intervalo cerrado y se representa como a, b. Si, por el contrario, no los incluye, entonces se llama intervalo abierto y se escribe a, b. Un intervalo semiabierto o semicerrado es aquél que incluye a uno de los extremos, pero no al otro. Así, el intervalo a, b incluye al extremo a, pero no al extremo b, mientras que el intervalo a, b no incluye a a, pero sí a b. Los intervalos se pueden representar gráficamente, como segmentos de la recta numérica. Se acostumbra identificar con un pequeño círculo a los extremos. Si el intervalo es cerrado en un extremo, el círculo se muestra lleno, si el extremo no está incluido, entonces el círculo se muestra hueco. En la Figura 3.1 se muestran diferentes tipos de intervalos. Fig. 3.1.a. Intervalo cerrado a, b Fig. 3.1.b. Intervalo abierto a, b Fig. 3.1.c. Intervalo semiabierto a, b

6 8. 6 Fig. 3.1.d. Intervalo semiabierto a, b En notación de conjuntos los intervalos se expresan de la siguiente manera: a, b x a x b a, b x a x b a, b x a x b a, b x a x b Ejemplos: 1.) El intervalo 1, 4 es semiabierto (o semicerrado), incluye al 1, pero no al 4 y su representación gráfica es: Fig. E.3.1.) El intervalo, es cerrado, incluye a ambos extremos y su representación gráfica es: Fig. E.3.

7 ) El intervalo 0, 4 es abierto, no incluye a ninguno de los dos extremos y su representación gráfica es: Fig. E ) El intervalo 1,1,3 es un intervalo compuesto, que comprende dos intervalos abiertos diferentes. Su representación gráfica es: Fig. E.3.4 Cuando uno de los extremos de un intervalo no está limitado, sino que se extiende a todos los valores posibles de la recta numérica en esa dirección, entonces se dice que el intervalo es infinito, o de amplitud infinita y se escribe: a,,, b a,,, b dependiendo de si es cerrado o abierto en el extremo que sí está delimitado. En notación de conjuntos los intervalos anteriores se representan así: a, x x a, b x x b a, x x a, b x x b También se puede tener un intervalo como,, que no es otra cosa que toda la recta numérica o, lo que es lo mismo, el conjunto de todos los números reales:.

8 8. 8 Cuando uno de los extremos de un intervalo es ó, su representación gráfica es una flecha en la dirección indicada, como se muestra en la figura 3. para los casos de intervalos abiertos. Fig. 3..a. Intervalo abierto a, Fig. 3..b. Intervalo abierto,b El intervalo abierto, se representa de la siguiente forma: Fig Intervalo abierto, Objetivo 4. Recordarás las propiedades generales de las desigualdades. Las propiedades básicas de las desigualdades, que se desprenden de las propiedades de los números reales, son las siguientes: 1.- Si a b, entonces a c b c y a c b c

9 Si a b, y c 0, entonces ac bc y a c b c 3.- Si a b, y c 0, entonces ac bc y a c b c La primera propiedad dice que se puede sumar o restar el mismo número a ambos miembros de una desigualdad y la desigualdad se mantiene. La segunda indica que si en una desigualdad se multiplican o dividen ambos miembros por una cantidad positiva, la desigualdad se mantiene. La tercera señala que si en una desigualdad se multiplican o dividen ambos miembros por una cantidad negativa, entonces la desigualdad se invierte. Las mismas propiedades son ciertas si en cada una se sustituyen los símbolos de mayor o menor por los de mayor o igual o menor o igual, respectivamente. Ejemplos: 1.) Como 4, al sumar 3 en ambos miembros es posible escribir que de modo que: y, también, en donde el signo de la desigualdad se ha invertido puesto que se multiplicó por el número negativo, para obtener: ) Si x 1 6, entonces al restar 1 en ambos miembros queda y se obtiene: x x 5 3.) Si y 5 y 3, si se resta 3 en ambos miembros se tiene que

10 8. 10 y luego, al restar ahora y: por lo que: y 5 3 y 3 3 y 8 y y 8 y y y 8 y 4.) Si 5x 7 7, entonces sumando 7 en ambos miembros que da como resultado: 5x x 0 si ahora se divide entre 5, que es un número positivo, se tiene 5x el signo de la desigualdad no se altera y se obtiene que: x 4 5.) Si 1 1 z z, se puede multiplicar por 1 y escribir 4 3 es decir 1 1 z 1 z z 6 8z 4 ahora, si se suma en ambos miembros 6 y se resta, también en ambos miembros, 8z, se escribe que deja: y, también 3z 6 6 8z 8z 4 6 8z 5z 30 5z en donde el signo de la desigualdad cambia al dividir entre 5, para obtener: z 6

11 8. 11 Objetivo 5. Aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones lineales y cuadráticas. Resolver una inecuación significa encontrar todos los valores de la variable que la satisfacen. a.- Inecuaciones lineales. Para resolver una inecuación lineal se debe aislar la variable en uno de los dos lados del símbolo de desigualdad. Para ello se utilizan las propiedades que se presentaron en el objetivo anterior, es decir sumar o restar una misma cantidad en ambos miembros de la desigualdad, y multiplicar o dividir ambos miembros por una misma cantidad, distinta de cero, tomando en cuenta si el signo de la desigualdad se mantiene o se cambia dependiendo de si esa cantidad es positiva o negativa. En la práctica, la propiedad de que al sumar o restar una misma cantidad en ambos miembros la desigualdad no se altera significa que cualquier cantidad que esté en un miembro de una inecuación se puede transponer al otro miembro cambiándole el signo, ya que si: hacer es lo mismo que escribir a c b a c c b c a b c Ejemplos: 1.) Para resolver la inecuación 3x x 1 se transponen los términos x y, cada uno al otro miembro, y se obtiene o sea 3x x 1 5x 10

12 8. 1 Ahora, si se dividen ambos miembros entre 5, tomando en cuenta que la desigualdad cambia queda y, entonces que es la solución. 5x x En términos de intervalos, la solución es, y, gráficamente, se representa como.) Para resolver la inecuación Fig. E.5a.1 6x 3 x 9 se transponen los términos x y 3 al otro miembro y se obtiene reduciendo queda y dividiendo entre 5 o bien, 1 5, que es la solución. 6x x 9 3 5x 1 1 x 5 Su representación es: Fig. E.5a.

13 ) Para resolver la inecuación 6 x 5x conviene, en primer lugar, eliminar los denominadores lo cual se consigue al multiplicar ambos miembros por 15: x x x x x 15x 1 y luego continuar, como en los ejemplos anteriores, dejando a la variable en un solo miembro: x 5x 51 10x x la solución es el intervalo 51, ) Para resolver la inecuación 3 x debe tenerse un cuidado especial al intentar aislar la variable. En resumen, lo que se necesita es multiplicar ambos miembros por la expresión x, para eliminar el denominador. El problema es que como aún no se conoce el valor de x no puede saberse si esta multiplicación mantendrá o cambiará el signo de la desigualdad.

14 8. 14 Por lo tanto, es necesario considerar las dos posibilidades: que x sea positivo y que x sea negativo. Así, si x 0, es decir si x 1, se tendrá: que deja lo cual se cumple si 3 x x 3 4x 4 7 4x 7 x 4 x de modo que al juntar las condición que se planteó, x 1, con este resultado, se ve que ambas se cumplen si 1 x 7, como se ilustra en la siguiente figura. 4 Fig. E.5a.4.a Por otra parte, si x 0, o sea si x 1, entonces, al hacer el producto, el signo de la desigualdad cambia y queda: o bien 3 x x x 3 4x 4 7 4x 7 x 4 y, al tomar este resultado junto con la condición de que x 1, no existen valores de x que cumplan ambas desigualdades al mismo tiempo,

15 8. 15 Fig. E.5a.4.b por lo que esta opción no proporciona solución alguna. Finalmente, la solución de la desigualdad es: 1 x 7 4 Una manera más sencilla de resolver esta inecuación es observar que para que 3 x sea cierta, como el que aparece en el segundo miembro es una cantidad positiva, es indispensable que la cantidad que se obtenga del cociente en el primer miembro también lo sea. Esto requiere que x 0 y se puede desechar, a priori, la alternativa que se consideró en la segunda parte del procedimiento anterior. 5.) La inecuación 3 1 x 3 x 4 es parecida a la que se presenta en el ejemplo anterior, pero en ésta hay que considerar más casos, puesto que son dos los denominadores que se deben eliminar. Si se empieza considerando que x 3 0, es decir x 3, se puede escribir 1 x 3 3 x 4 ya que el sentido de la desigualdad se conserva al multiplicar ambos miembros por el factor x 3. Ahora, para eliminar el otro denominador hay que tomar en cuenta las dos posibilidades.

16 8. 16 Si x 4 0, o lo que es lo mismo, x 4, se tendrá: x x y, procediendo como en cualquier otra desigualdad lineal: 3x 1 x 3 5x 9 x Analizando lo que se ha hecho, se tiene que x 3, x 4 y x 9. 5 Al representar en una misma gráfica estos tres intervalos se observa lo siguiente: 9 5 Fig. E.5a.5.a por lo que se concluye que en esta opción no hay solución puesto que no existen valores de x que cumplan simultáneamente las tres condiciones. La otra posibilidad, todavía considerando x 3 0, es decir x 3, sería que x 4 0, o sea x 4. Esta opción no puede tomarse en cuenta, ya que es imposible satisfacer al mismo tiempo las dos condiciones. Ahora habrá que considerar la otra alternativa para el primer denominador que se eliminó. Entonces, si x 3 0, lo que quiere decir que x 3, al multiplicar ambos miembros de la inecuación original por el factor x 3 queda 1 x 3 3 x 4 y, nuevamente, hay que analizar las dos posibilidades del segundo denominador. Si x 4 0, o bien x 4, se obtiene: x x

17 8. 17 y, luego: 3x 1 x 3 5x 9 x 9 5 Así, se tiene que x 3, x 4 y x 9 5. La representación gráfica es: Fig. E.5a.5.b por lo que se observa que los valores de x que satisfacen simultáneamente las tres condiciones son los del intervalo 9, 3 5. Finalmente, si x 4 0, es decir x 4, entonces: x x x 1 x 3 5x 9 x 9 5 Ahora debería cumplirse simultáneamente que x 3, x 4 y x 9 lo cual se 5 satisface siempre que x 4, como se puede observar en la siguiente gráfica. Fig. E.5a.5.c En consecuencia, la solución completa de la inecuación es, 4 9, 3 5

18 8. 18 b.- Inecuaciones cuadráticas. Para resolver una inecuación cuadrática se deben transponer todos los términos diferentes de cero a un solo lado de la desigualdad. Hecho esto, se factoriza, si es posible, la expresión cuadrática y se determinan sus raíces. Es decir, una vez que se tiene una expresión del tipo o, cualquier otra análoga, como ax bx c 0 0 ax bx c se factoriza para dejar, por ejemplo, en el primer caso: a x r x r 1 0 Los valores de las raíces o ceros, r 1 y r, no son soluciones de la inecuación pero representan los valores críticos de la solución puesto que constituyen los valores de x que separan los casos en que los respectivos factores son positivos o son negativos. Una vez determinados los valores críticos, se establecen los intervalos delimitados por ellos y se asignan a la variable valores comprendidos en dichos intervalos y que sean mayores o menores que sus ceros, con lo cual cada factor será positivo o será negativo y se podrá analizar el signo del producto para decidir si la desigualdad se cumple o no para ese valor. Al final, se reúnen todos los casos que satisfagan la desigualdad y esto constituye la solución. Ejemplos: 1.) Para resolver la inecuación x x 15 0 se factoriza el primer miembro y se obtiene x x 3 5 0

19 8. 19 Los valores críticos son 3 y 5 y se deben revisar los casos en que x 3, 3 x 5 y x 5 En el primer caso, para un valor menor que 3, por ejemplo, 4, se tiene que ambos factores son negativos porque 4 3 1, 1 0 y 4 5 9, 9 0 de modo que, al hacer el producto, resulta positivo y la desigualdad se cumple. Ahora, tomando un valor de x comprendido entre 3 y 5, por ejemplo 0, los dos factores tienen signos diferentes puesto que 3 0 y 5 0 o sea que, al efectuar el producto, el resultado es negativo y la desigualdad no se satisface. Finalmente, para un valor mayor que 5, por ejemplo 6, se observa que ambos factores son positivos ya que y de modo que el producto es positivo y la desigualdad también se cumple si x 5. Reuniendo los resultados anteriores resulta que la solución de la inecuación es: x 3 o x 5 o, en notación de intervalos:, 3 5, La representación gráfica de la solución es:.) Para resolver la inecuación Fig. E.5b.1

20 8. 0 3x x x 3x 4 en primer lugar se transponen todos los términos a uno de los dos miembros que deja: y, al factorizar, se obtiene: 3x x x 3x 4 0 x x 6 0 x x 3 0 Los valores críticos son 3 y, y se deben analizar los casos en que x 3, 3 x y x Para x 3, por ejemplo x 5, los dos factores son negativos, o sea que el producto es positivo y la desigualdad no se cumple. Para 3 x, por ejemplo 0, los dos factores son de signos diferentes, el producto es negativo y la desigualdad se satisface. Para x, por ejemplo x 8, los dos factores son positivos, el producto también y la desigualdad no se cumple. Entonces, la solución corresponde al caso en que 3 x o, lo que es lo mismo, al intervalo 3,, que se representa como Fig. E.5b. 3.) Para resolver la inecuación x x x x

21 8. 1 Nuevamente, para empezar se transponen todos los términos a uno de los dos miembros que se simplifica como al factorizar se obtiene 5x 8x 5 x 4x 0 4x 1x 5 0 x x y los valores críticos resultan ser 5 y 1. Ahora, para el caso en que x 5, por ejemplo x 10, los dos factores son negativos y el producto es positivo. Para 5 1 x, se puede tomar un valor de x tal como x 1, en cuyo caso el primer factor es positivo y el segundo negativo, de modo que el producto resulta negativo. Finalmente, para x 1, si se toma un valor como el de x 0, se ve que ambos factores son positivos y el producto también. Por tanto, la desigualdad se verifica para 5 x y para x 1, es decir para, 5 1, 4.) Para resolver la inecuación 4x 6 3x 7x 1 Se transponen todos los términos diferentes de cero al miembro derecho para obtener 0 3x 7x 1 4x 6 0 3x 3x x x 6 x x y los valores críticos son x 3 y x, por lo que habrá que analizar los intervalos x 3, 3 x y x.

22 8. Para x 3 se toma un valor como puede ser 4 y se observa que ambos factores son negativos, por lo que al multiplicar también por el coeficiente 3, el producto es positivo y la desigualdad no se cumple. Para 3 x si se toma, por ejemplo, x 1, los dos factores son de signo contrario y al multiplicar por 3 el producto es negativo, de modo que en este caso la desigualdad sí se satisface. Por último, para x como podría ser x 4, los dos factores son positivos, el producto de ambos por el coeficiente 3 también lo es y la desigualdad no se cumple. Así, resulta que la solución de la inecuación es el intervalo 3,. 5.) La inecuación x 8x 16 0 es cierta para todo valor de x porque x 8x 16 x 4 y cualquier cantidad elevada al cuadrado o es positiva o es cero, así es que para cualquier valor de x, x 4 0. En ocasiones, no es posible factorizar la expresión cuadrática ax bx c que se obtiene al transponer todos los términos diferentes de cero a un solo miembro de la inecuación, porque su discriminante b 4ac resulta negativo. Para estos casos se puede utilizar la siguiente regla, cuya demostración puede encontrarse en los textos citados en la bibliografía. Si la función cuadrática tiene su discriminante b negativa si a 0. ax bx c a, con 0 4ac negativo, la función es positiva para todo valor de x si a 0 y es Ejemplos: 1.) Para la inecuación

23 8. 3 el discriminante de la función cuadrática es x x , que es negativo. Como a 1 es positivo, entonces la función es positiva para todo valor de x. La solución de la inecuación es, y resulta que se trata de una desigualdad absoluta..) En la inecuación x x 0 Para identificar mejor a la función cuadrática, se reordena y queda el discriminante es x x , y como a 1, la función es negativa para toda x, de modo que no existe valor alguno de x que la satisfaga. Objetivo 6. Recordarás a qué se llama valor absoluto de una cantidad y aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones que incluyen valores absolutos. El valor absoluto de cualquier número a, se representa por a, y significa su valor aritmético ordinario sin considerar el signo. Así, 5 5, 7 7 y 0 0. Como es evidente, cualquier número positivo y su simétrico negativo tienen el mismo valor absoluto. Una posible interpretación del valor absoluto de un número es su distancia, no dirigida, respecto del número 0 en la recta numérica. El valor absoluto de 3 y de 3 es el mismo puesto que ambos números se encuentran a una distancia de tres unidades respecto al 0 en la recta numérica. De lo anterior se deduce que para una cantidad variable x, su valor absoluto se define de la siguiente manera: x, si x 0 x x, si x 0

24 8. 4 y que la desigualdad x k se satisface para el conjunto de valores de x que se encuentran a menos de k unidades de distancia del 0, es decir aquellos valores de x tales que k x k, como se muestra en la figura. La solución de una desigualdad del tipo x inecuaciones: k x y x k. Fig. 6.1 k consiste, entonces, en la solución de las dos Ejemplos: 1.) Los valores de x que satisfacen la inecuación x 6 son simplemente los valores 6 x 6, o sea los comprendidos en el intervalo 6,6..) Para resolver la inecuación 3x 1 se puede escribir 1 3x 1 y, al dividir toda la expresión anterior entre 3 se obtiene: que es la solución. 4 x 4 3.) La solución de la inecuación x 5 15 se obtiene escribiendo 15 x 5 15 Ahora, al sumar 5 a todos los miembros de esta expresión queda: 10 x 0 y, al dividir entre : 5 x 10 de modo que la solución es el intervalo 5,10.

25 ) En la inecuación x 11, la solución estará dada por los valores de x que se encuentren a más de 11 unidades de distancia del 0 en la recta numérica. Por tanto, la solución en este caso está dada por los valores de x que satisfagan que x 11 o bien que 11 x, es decir, 11 11,. el conjunto Fig. E6.1 La misma solución se obtiene para la inecuación x 11, puesto que la distancia no es dirigida. 5.) La solución de la inecuación x 1 7 se obtiene escribiendo x 1 7 ó x 1 7 De la primera expresión: y, de la segunda: x 6 x 3 x 8 x 4 de modo que la solución es,3 4, 6.) Para la inecuación 3 x 4 9 se puede proceder como sigue: Se escriben las dos inecuaciones se multiplica por se suma 4 y se divide entre 3 3x 4 3x x x x 14 3x x 14 3 x 3

26 8. 6 Entonces, la solución está dada por, 14, ) La inecuación x es una desigualdad absoluta puesto que al restar 4 en ambos miembros se obtiene x 3 9, y como el valor absoluto de una cantidad siempre es mayor o igual que cero, esta desigualdad se satisface para cualquier valor de x. Por el contrario, la inecuación 3 x 1, no tiene solución ya que ningún valor absoluto puede ser una cantidad negativa.