FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS. La línea recta

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS GRADO: 10 TALLER Nº: 3 SEMESTRE II RESEÑA HISTÓRICA La línea recta Galileo Galilei, Pisa, actual Italia, 1564-Arcetri, id., 1642) Físico y astrónomo italiano.) Entre los asistentes a la misa celebrada en la catedral de Pisa, aquel domingo de 1581, se hallaba un joven de diecisiete años. Era devotamente religioso y no hay por qué dudar que intentaba concentrarse en sus oraciones; pero le distraía un candelero que pendía del techo cerca de él. Había corriente y el candelero oscilaba de acá para allá. En su movimiento de vaivén, unas veces corto y otras de vuelo más amplio, el joven observó algo curioso: el candelero parecía batir tiempos guales, fuese el vuelo corto o largo. Qué raro! Cualquiera diría que tenía que tardar más en recorrer el arco más grande! A estas alturas el joven, cuyo nombre era Galileo, tenía que haberse olvidado por completo de la misa. Sus ojos estaban clavados en el candelero oscilante y los dedos de su mano derecha palpaban la muñeca contraria. Mientras la música de órgano flotaba alrededor de él, contó el número de pulsos: tantos para esta oscilación, tantos otros para la siguiente, etc. El número de pulsos era siempre el mismo, independientemente de que la oscilación fuese amplia o corta. O lo que es lo mismo, el candelero tardaba exactamente igual en recorrer un arco pequeño que uno grande. Galileo no veía el momento de que acabara la misa. Cuando por fin terminó, corrió a casa y ató diferentes pesas en el extremo de varias cuerdas. Cronometrando las oscilaciones comprobó que un peso suspendido de una cuerda larga tardaba más tiempo en ir y venir que un peso colgado de una cuerda corta. Sin embargo, al estudiar cada peso por separado, comprobó que siempre tardaba lo mismo en una oscilación, fuese ésta amplia o breve. Galileo había descubierto el principio del péndulo! Pero había conseguido algo más: hincar el diente a un problema que había traído de cabeza a los sabios durante dos mil años: el problema de los objetos en movimiento.

2 OBJETIVO GENERAL Conocer las formas lineales de las ecuaciones y los elementos que posibilitan establecer relaciones en la recta. OBJETIVO ESPECÍFICOS Determinar ecuaciones lineales a partir de la forma pendiente intercepto. Determinar las coordenadas del punto medio de un segmento de recta. Graficar y hallar la pendiente de una recta. Utilizar la fórmula de distancia para resolver problemas. PALABRAS CLAVES Punto sobre el plano, línea recta, rectas paralelas, rectas perpendicular y punto medio entre dos puntos. DESARROLLO TEÓRICO INTRODUCCIÓN Conceptos como distancia, punto medio, pendiente y ecuación de la línea recta son muy usuales en la vida cotidiana, se utilizan para estimar la separación entre dos objetos. En matemáticas y otras áreas del conocimiento como la física y la economía, son muy útiles por cuanto sirven para calcular magnitudes de vectores, razones de cambio, establecer funciones de costo y relacionar magnitudes, entre otras. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Sean A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) dos puntos sobre el plano XY, para determinar la distancia entre éstos dos puntos trazamos paralelas a los ejes X e Y que determinan un triángulo rectángulo. Así la distancia entre A y B es: d = x 2 x y 2 y 1 2 2

3 RECTAS: Pendiente de una recta Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta, a la tangente del ángulo que forma la recta con el eje positivo de las X. tan α = y 2 y 1 x 2 x 1 La cual se representa con la letra m, así tenemos que m = tan α = y 2 y 1 x 2 x 1. Rectas perpendiculares y paralelas I. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es 1. II. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Punto medio Sean A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) dos puntos sobre el plano XY, el punto medio entre éstos dos puntos tiene coordenadas ( x 2+x 1, y 2+y 1 ). 2 2 Ecuación de la recta (forma Pendiente Intercepto) La forma pendiente intercepto de la ecuación de una recta es y = m x + b, la pendiente es m y el intercepto con el eje Y es b. Ecuación de la recta (Forma punto Pendiente) Si el punto A = (x 1, y 1 ) está sobre una recta que tiene pendiente m, la forma punto pendiente de la ecuación de la recta es y y 1 = m(x x 1 ) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es perpendicular a la recta x 3y 16 = 0. Solución: Forma punto pendiente. De la ecuación de la recta se tiene que y = x + 16, por 3 3 tanto la pendiente es m 1 = 1 como las dos rectas son perpendiculares se debe cumplir 3 que m 1 m 2 = 1, donde m 2 es la pendiente de la recta pedida, así tenemos que 1 m 3 2 = 1 de donde m 2 = 3, luego la ecuación pedida es de la forma y y 1 = m 2 (x x 1 ) con x 1, y 1 = (1, 7) se tiene que y 7 = 3(x 1), o equivalentemente y + 3x 10. Forma pendiente intercepto. Tenemos que la pendiente es m 2 = 3 y pasa por el punto (1, 7) Para hallar el intercepto con el eje Y, utilicemos la ecuación y = m x + 3

4 b, asi 7 = b, de donde b = = 10, la ecuación pedida es y = 3x + 10, o equivalentemente y + 3x 10 = Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 0) y es paralela a la recta 3x + 15y = 22. Solución: Forma punto pendiente. La ecuación de la recta dada es equivalente a y = 22 3x, así la pendiente de la recta es m 1 = 3 = 1, como las dos rectas son paralelas se 15 5 debe cumplir que m 1 = m 2, donde m 2 es la pendiente de la recta pedida, de donde la ecuación de la recta que pasa por 0,0 es y 0 = 1 (x 0), esto es 5y + x = 0. 5 Forma pendiente intercepto. Tenemos que m 2 = 1 y pasa por el punto (0, 0) Para 5 determinar el intercepto con el eje Y utilizamos la ecuación y = m x + b, esto es 0 = b, de donde b = 0. La ecuación de la recta pedida es y = 1 x ó 5 5 5y + x = Calcular la distancia entre los puntos A = ( 3, 4) y B = (4, 2) del plano XY. Solución: Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos se tiene que: d = x 2 x y 2 y 1 2 Reemplazando tenemos que d = 4 ( 3) = = = Así la distancia entre los puntos A y B es aproximada a d EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dados los puntos M = 1, 1 y S = (2, 3) establecer la distancia entre ellos y las coordenadas del punto medio. 2. Si un barco A está ubicado en el océano en el punto de coordenadas ( 8, 10) y la embarcación B está ubicada sobre el punto de coordenadas (6, 5), calcular la distancia que los separa y el punto medio del segmento que los une. 3. Determinar la longitud de las medianas de un triángulo cuyos vértices corresponden a los puntos A = (0, 0), B = (4, 0) y C = (3, 2). (recordar que las medianas son los segmentos trazados desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto). 4. Calcular el perímetro de un triángulo cuyos vértices corresponden a los puntos A = (2, 0), B = (4, 2) y C = ( 3, 0) y calcule la longitud de sus alturas. 4

5 5. Dados los puntos A = (1, 1), B = (2, 4), C = (4, 4) y D = (3, 1), graficar el cuadrilátero ABCD y demostrar que la figura es un paralelogramo y demostrar que el punto medio de sus diagonales coinciden. 6. Calcular la pendiente de la recta perpendicular a la recta determinada por los siguientes puntos. a. (0, 0) y (1, 1). b. ( 1, 2) y (3, 1). c. (2, 2) y (2, 3). 7. Demostrar que los puntos A = ( 2, 3), B = (5, 3) y C = ( 2, 3) corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo. 8. Luisa, David, Sara y Juan juegan al tiro al blanco. El blanco se encuentra en el punto P = (2, 2). Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Luisa da en el punto A = (1, 9/2) David en el punto B = ( 9/2, ½) Sara en el punto C = (4, 5/2) Juan en el punto D = (5, 7/2) Quién gano el juego?. a. Luisa b. David c. Sara d. Juan 9. Establecer la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos a. ( 3, 4) Y ( 1, 2) b. (1, 5) Y (5, 2) c. ( 1/2, 0) Y (2, 0) 10. Dadas las siguientes ecuaciones de rectas, establezca su pendiente si existe; dos pares de puntos por los cuales pase cada una de ellas y mediante la comparación de pendientes seleccione las que sean paralelas y las que sean perpendiculares. a. y = 2x + 3 b. y = 1 c. y = x/2 5 d. y + 1 = 4x e. x = 4 f. y + 4x + 3 = Hallar la ecuación de la recta perpendicular a y = 10 5x y que pasa por el punto (1,5). 5

6 12. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (3, 2) y ( 5, 4). 13. Escribe ecuaciones para los lados de un triángulo con vértices en los puntos indicados a continuación a. A = 2, 7, B = 5, 1, C = ( 3, 2) b. A = 1, 4, B 0, 9, C = 1, Escribe ecuaciones para los lados de un cuadrado con vértices en P = (1, 4), Q = 4, 1, R = ( 1, 4) y S = ( 4, 1) 15. Escribe la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta representada por la ecuación dada y pasa por el punto que se indica a. y = 3x 5; (0, 3) b. 5y 4x = 10; ( 15, 8) c. 6x 4y + 8 = 0 ; (2, 12) d. y = 4x 2 ; (3, 4) e. 3y + 2x = 3; ( 9, 6) 16. Escribe la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada y pasa por el punto indicado a. y = 3x 5; (0, 6) b. y 6x 7 = 0; (0, 3) c. y 6 2x = 0; ( 1, 2) d. 2x 7y = 3; (8, 0) 17. Determine el valor de k en la ecuación 3x + ky + 5 = 0 para que sea paralela a la recta representada por la ecuación 3y + x + 3 = Calcular la altura trazada desde A al lado BC y el área del triángulo en cada caso a. A = 2, 2, B = 3, 4, C = (1, 5) b. A = 1, 5, B = 4, 8, C = ( 1, 6) c. A = 0, 1, B = 5, 2, C = ( 2, 5) 6

7 PEQUEÑOS RETOS Un pintor dibuja una secuencia de frutas de la siguiente manera: una azul, una verde, una roja, una amarilla, una azul, una verde, una roja, una amarilla y así sucesivamente. Entonces el color de la fruta en el lugar 2009 de la secuencia es: a) Azul b) Verde c) Roja d) Amarilla Cuáles son las últimas dos cifras de 2 222? La siguiente figura está formada por cinco Cuadrados igualebs de lado a. Si AB = 10cm, el área de la cruz en cm 2, es A. 100 B. 80 C. 60 D