Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva

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1 Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente de la recta tangente a la curva en P es el límite de las pendientes de las rectas que pasan por P y otro punto Q sobre la curva, cuando Q se acerca a P y recta tangente Q Q 2 P Ejemplo: Sea y = f() = 2 Queremos determinar la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (, ) En general, la abscisa de un punto cercano a (, ) se puede escribir como +, donde es algún número pequeño, positivo o negativo, pero 0 y f( + ) = ( + )2 = ( ), entonces el punto ( +, ( + )2 ) está sobre la curva y ( +, ( + )2 ) si < 0 (, ) ( +, ( + )2 ) si > 0 Si > 0, entonces + está a la dereca de Si < 0, entonces + está a la izquierda de En cualquiera de los dos casos, la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos es: ( ) ( + ) = (2 + 2 ) = (2 + )

2 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 2 A medida que el número tiende a cero, el punto ( +, ( )) se acerca al punto (, ) Cuando tiende a cero, la pendiente de la recta tangente a la curva en (, ) tiende a 2 2 Cociente de Newton Dada una función f(), su cociente de Newton es: f( + ) f() Este cociente es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (, f()) y ( +, f( + )) f( + ) f() + En el caso del ejemplo anterior el cociente de Newton en el punto (, ) es: ( + )2 = (2 + ) El cociente de Newton en un punto cualquiera (, f()) es ( + )2 2 = (2 + ) 2 Derivada de una función = (2 + ) Si el cociente de Newton tiende a un límite cuando tiende a 0, entonces se define la derivada de f en como este límite, esto es: Notación: derivada de f en 0 f( + ) f() f () = df d f( + ) f() 0

3 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 2 Derivabilidad Una función f es se dice derivable en c si eiste f (c) Una función f es se dice derivable en un intervalo abierto (a, b) ó (a, + ) ó (, a) ó (, + ) si es derivable en todos los puntos del intervalo Ejemplos: { si 0 a) Analizar en que puntos la función u() = = es derivable si < 0 u() (función valor absoluto) tiene por dominio a todos los números reales Con respecto a su derivada: para valores de en (0, + ) la derivada eiste y es u () = para valores de en (, 0) la derivada eiste y es u () = Pero veamos que no eiste la derivada para = 0: u(0 + ) u(0) lím 0 + u(0 + ) u(0) lím = 0 0 = Como los límites para 0 por dereca y por izquierda son distintos, entonces u(0 + ) u(0) no eiste lím y la función no es derivable en = 0 0 { si > 0 Luego; la derivada de u() es: u () = si < 0 u() = y b) La derivada de un función constante es 0 Si f() = c donde c es un número real cualquiera, entonces f( + ) = c: f () 0 f( + ) f() = 0 c) Si n es un número entero La derivada de la función f() = n es f () = n n f( + ) = ( + ) n = ( + )( + )( + ) ( + ), donde el factor ( + ) aparece n veces Si desarrollamos el producto usando la propiedad distributiva, observamos que aparece el término n y también, si tomamos de todos los factores ecepto de uno obtenemos n repetido n veces, esto da un término n n En los restantes términos aparecerá seleccionado de al menos dos factores, luego en todos abrá potencias de desde 2 asta n Por lo tanto 2 será factor común

4 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 4 de todos ellos Entonces: f( + ) f() Luego: lím 0 f( + ) = ( + ) n = ( + )( + )( + ) ( + ) = n + n n + 2 (términos dependientes de y de ) = f( + ) f() = n + n n + 2 (términos dependientes de y de ) n = nn + 2 (términos dependientes de y de ) = (nn + (términos dependientes de y de )) = n n + (términos dependientes de y de ) 0 (n n + (términos dependientes de y de )) f () = n n Por ejemplo: Si f() = 6 f () = 6 5 d) Si n es un número racional cualquiera también vale que si f() = n : Por ejemplo: Si f() = = f () = n n f () = 4 = 4 La función f() es derivable en todo su dominio (todos los números distintos de cero) Si () = 4 = 4 () = 4 4 = 4 4 El dominio de () es el conjunto [0, + ) La función () es derivable es el conjunto (0, + ) Si g() = = 4 4 g () = 4 7 = 4 La función g() es 7 derivable en todo su dominio (todos los números distintos de cero) e) Derivadas de las funciones trigonométricas (sin demostración): Si S() = sen S () = cos Si C() = cos C () = sen Las funciones S() y C() son derivables para todos los números reales 22 Propiedades de la derivada (reglas de derivación) Sea f una función con derivada f () en Entonces f es continua en 2 La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función (cf) () = cf ()

5 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 5 La derivada de una suma es la suma de las derivadas (f + g) () = f () + g () 4 La derivada de un producto está dada por la fórmula: (fg) () = f()g () + f ()g() 5 Sea f() y g() dos funciones que tiene derivadas f () y g () respectivamente y tales que g() 0 Entonces la derivada del cociente f()/g() eiste y es igual a: g()f () f()g () g() 2 Ejemplos: Dadas las funciones f() = 2, y g() = = / a) ( f()) = f () = 2 = 6 b) (f() + g()) = = c) (f() g()) = d) ( f() ) 2 2 = 2 g() ( siempre que 0 ) 2 e) Puesto que tg = sen ; su función derivada será: cos ( tg ) = (sen ) cos sen (cos ) = cos2 + sen 2 cos 2 = cos 2 cos 2 f) Hallar la ecuación de la recta tangente a u(t) = 5 = 2 t 2 t 5 en el punto de abscisa 2: La pendiente de la recta tangente en t = 2 es la derivada de u(t) en dico punto Es decir: u (t) = 2 5 t 7 5 = 2 5 5, luego la pendiente se calcula: t7 m = u (2) = = pasa por el punto (2, 5 ) 4 Entonces la ecuación es: y 5 4 = (t 2) La recta tangente tiene pendiente m = y g) La derivada de la función f() =tg se puede calcular teniendo en cuenta que: tg = sen, y usando la regla de la derivada de un cociente: ( ) cos sen = (sen) cos sen (cos ) = cos2 + sen 2 = = (cos cos cos 2 cos 2 cos 2 ) 2

6 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 6 ) Hallar la ecuación de la recta tangente a U(t) = en el punto de abscisa sen t t = π: 4 U (t) = () sen t (sen t) = cos t sen 2 t sen 2 t La pendiente de la recta tangente es: m = U ( π) = 2 / = La ecuación de la recta tangente a la curva en t = π es: 4 y 2 2 = 2(t π 4 ) 2 Razón de cambio La idea básica en el concepto de derivada se encuentra en la idea de razón de cambio f( 2 ) f( ) recta tangente recta secante 2 La pendiente de la recta secante es la razón de cambio promedio de y con respecto a en el cambio en y intervalo [, 2 ] : cambio en = f( 2) f( ) 2 Razón de cambio instantáneo en = pendiente de la recta tangente en f f( 2 ) f( ) ( ) 2 2 Razón de cambio en Física: Una partícula se mueve a lo largo de cierta recta una distancia que depende del tiempo t Entonces la distancia s es una función de t, que escribimos s = f(t) Para dos valores del tiempo t y t 2, el cociente: f(t ) f(t 2 ) t 2 t se puede considerar como una rapidez promedio de la partícula En un tiempo dado t 0 es razonable considerar el límite f (t 0 ) t t0 f(t) f(t 0 ) t t 0 como la razón de cambio de s respecto a t en el tiempo t 0 Esto no es mas que la derivada f (t), que se llama rapidez (velocidad escalar) y se denota por v(t) Ejemplo: La posición de una partícula está dada por la ecuación: s = f(t) = t 6t 2 + 9t donde t se mide en segundos y s en metros Cuál es la velocidad en el instante t? La función velocidad es la derivada de la función posición: v(t) = f (t) = t 2 2t + 9 Cuál es la velocidad a los 2 segundos? esto significa la velocidad instántanea cuando t = 2, es decir: v(2) = (2) 2 2(2)+9 = m/seg

7 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 7 En que momento la partícula está en reposo? La partícula se encuentra en reposo en el tiempo t en que la velocidad es 0 o sea cuando: v(t) = 0 t 2 2t + 9 = (t 2 4t + ) = (t )(t ) = 0 esto se cumple cuando t = o t = Es decir que la partícula está en reposo después de segundos y después de segundos Ejemplo en Economía: Supongamos que C() es el costo que tiene una empresa para producir artículos Si el número de artículos producidos se incrementa de a 2, el costo adicional es C = C( ) C( 2 ) y la razón de cambio promedio del costo es: C = C( ) C( 2 ) 2 = C( + ) Los economistas llaman costo marginal al límite de esta cantidad cuando 0, es decir, la razón instantánea de cambio del costo con respecto al número de artículos producidos: C = C () = dc costo marginal 0 d A menudo se representa el costo total con un polinomio: C() = a + b + c 2 + d donde a representa el costo de los gastos generales (impuestos, mantenimiento, calefacción, etc) y b podría representar el costo de las materias primas, c y d podrían representar costos de mano de obra, de oras etras, etc 24 Ejercicios Dada la función f() = 2 2, a) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (, f()) y Q( +, f( + ), (es el cociente de Newton) b) Representar gráficamente la función y los puntos P y Q (con > 0 y con < 0) c) Tomar el límite cuando tiende a 0 El valor de ese límite es la pendiente de la recta tengente a la curva en el punto P 2 Para las funciones: g() = con P (, ) f() = con P ( 2, 2) repetir los pasos a), b) y c) del ejercicio En las funciones siguientes usar las reglas de derivación para allar: a) las derivadas b) la pendiente de la recta tangente en el punto cuya abcisa es 2, c) la ecuación de la recta tangente en ese punto

8 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 8 a) 2 + b) c) 2 5 d) 2 2 e) f) + g) 2 sen ) cos i) cos Usando las reglas de derivación, allar las derivadas de las funciones siguientes a) () = 2 / b) y(t) = t /4 c) f() = 4 2 d) s(u) = (u + u)(u ) e) k() = (2 5)( ) f) G() = (2 tg + )( 2 + ) g) S(v) = 2v + v + 5 ) U() = i) f(t) = t 5/4 cos t + t 5 Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas siguientes en el punto dado: a) y = 2 + en = 2 b) s = (t )(t )(t 4) en t = 0 c) y = sen (2 cos ) en = π 4 d) v = u2 u + en u = 2 e) y = sen 2 + en = π 2 f) s = 5t t en t = 6 Para la función s(y) = sen y, determinar los puntos y en los cuales la derivada s (y) = 0 7 Mostrar que la recta y = es tangente a la curva dada por la ecuación: y = Hallar el punto de tangencia 8 Mostrar que la recta y = es tangente a la curva dada por la ecuación: y = + Hallar el punto de tangencia 9 Mostrar que las gráficas de las ecuaciones: y = 2 y y = 2 + tienen la recta tangente en común en el punto (, ) Graficar 0 Mostrar que ay eactamente dos rectas tangentes a la gráfica de y = ( + ) 2 que pasan por el origen y allar sus ecuaciones Una partícula se mueve de modo que en el instante t la distancia recorrida (en metros) está dada por s(t) = 2m/seg 2 t 2 + 2m/seg t + m a) Representar gráficamente s(t) Cuál es la distancia recorrida cuando t = seg?

9 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 9 b) Hallar la función velocidad escalar v(t) y representarla gráficamente Cuál es la rapidez cuando el tiempo (en segundos) es: a) 0 seg; b) seg? En que instante la rapidez es igual a: a) 2 m/seg; b) 6 m/seg? 2 Una partícula se mueve de modo que en el instante t la distancia (en metros) está dada por s(t) = 2m/seg t 2m/seg t Cuál es la rapidez cuando el tiempo (en segundos) es: a) 0 seg; b) 2 seg; c) seg? En que instante la rapidez es igual a: a) m/seg; b) 0 m/seg; c) 4m/seg? Una partícula se mueve de modo que en el instante t la distancia está dada por s(t) = 2m/seg 4 t 4 m/seg 2 t 2 ; para que valores de t la rapidez es igual a 0? 4 En Economía se define la cantidad Q (ofrecida o demandada) como función del precio P, es decir: Q = f(p ) Se llama elasticidad de precios, ɛ al porcentaje de cambio de cantidad que se asocia a un porcentaje de cambio en el precio: ɛ = dq P dp Q Dada la función de demanda: Q = 650 5P P 2, representarla gráficamente y allar la elasticidad de precios de la demanda cuando P = 0 y cuando P = 5 5 Una compañía estima que el costo en dólares de producir artículos es C() = , 0 2 Determinar la función de costo marginal y el costo marginal de producir 500 artículos