TEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL

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1 TEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL

2 6.1. TASAS DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA Tasa de variación media La tasa de variación media de una unción en un intervalo a, b es el cociente: b a TVM, a, b. La tasa de variación media puede ser positiva, neativa o nula. b a EJEMPLOS: 1. El consumo de combustible de un veículo a lo laro del año viene determinado por la tabla adjunta. Determina la tasa de variación media entre los meses de enero y junio y entre los meses de junio a diciembre e interpreta el resultad Mes En Feb Mar Ab May Jun Jul A Sep Oct Nov Dic Consumo litros Halla la tasa de variación media de la unción 10 5 en los intervalos,9,9 a,6 b 6 c

3 6.1. TASAS DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA Tasa de variación instantánea. Se deine la tasa de variación instantánea de una unción en un punto 0 como TVI, 0 lim TVM, 0, 0 es decir: EJEMPLO TVI, 0 lim 0 1. Sea la unción lineal 1 a Calcula su tasa de variación media en los siuientes intervalos:, b Calcula su tasa de variación instantánea en =1, =, =5 y =c 1, 5,9,,1 1. Sea C 10 la unción de costes de una empresa, donde indica el número de unidades producidas en el artículo que abrica. Calcula la tasa de variación media en los intervalos 0,100 y 100,150 e interpreta los resultados obtenidos. Calcula la tasa de variación instantánea en =100 e interpreta el resultado

4 6.1. EJERCICIOS 1. Dada la unción 5, calcula: a TVM,, b TVI, c TVM, 1,1 d TVI,1 e TVM, 1, 1 TVI, 1. La unción de costes de una empresa viene determinada por la unción c t t t 1 donde t indica el número de años desde la creación de la empresa. Si la empresa se creó en el año 1985, determina: a Cuál ue el coste medio anual de la empresa durante sus dos primeros años de vida? b Cuál a sido el coste medio anual de la empresa desde 1995 asta el año 008? c Cuál a sido el coste el año 1990?

5 6.. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Deinición. La derivada de la unción en un punto de abscisa se escribe con el símbolo ' 0 0 y se deine como: 0 0 ' 0 lim 0 - Si el límite eiste entonces diremos que la unción es derivable en el punto. 0 - La derivada de una unción en un punto coincide con la tasa de variación instantánea de la unción en dico punto. - La derivada de una unción en un punto es un número real, que puede ser positivo, neativo o cero. Por ejemplo, dada la unción 5, si deseamos calcular '1 eectuaremos el siuiente cálculo: '1 lim lim lim 0 lim lim 0

6 6.. CÁLCULO DE DERIVADAS Función derivada Dada una unción, deinimos la unción derivada de o simplemente derivada de, y la escribiremos como ', a la unción que asina a cada abscisa, el valor de su derivada, es decir: ': R R donde ' ' lim Relas de derivación DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES ' k k R 0 1 n e a, 0 n e n1 a a ln a ln lo, a 0 a 1 1 lna

7 6.. CÁLCULO DE DERIVADAS 6... Derivadas de la suma, producto y cociente DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN. ' ' k k DERIVADA DE LA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES. ' ' ' DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES. ' ' ' DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES. ' ' ' EJEMPLOS: Calcula la derivada de las siuientes unciones: e

8 6.. CÁLCULO DE DERIVADAS Rela de la cadena Sea la unción, la derivada de la unción compuesta se obtiene mediante la rela de la cadena que indica lo siuiente: ' ' '. EJEMPLO: Calcula la derivada de las siuientes unciones: a e 6 b 7 c ln 4 5

9 6.. EJERCICIOS 1 Halla la derivada de las siuientes unciones: 17 a 5 b c d i lo6 e j 4 k 6 4 l lo m i p Halla la derivada de las siuientes unciones: 7 4 a b c 4 5 d q ln 1 Aplica la rela de la cadena para obtener la derivada de las siuientes unciones: a ln b c e 5 5 d k 5 j e

10 6.4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La pendiente de la recta tanente a la ráica de la unción por el punto de abscisa 0 viene determinada por la derivada de dica unción en ese punto: ' 0. Por tanto la ecuación de la recta tanente a la ráica de la unción en el punto 0, 0 viene determinada por: y ' EJERCICIOS 1. Halla la ecuación de la recta tanente a la ráica de la unción en el punto de abscisa = 1.. Calcula ecuación de la recta tanente a la ráica de la unción 4 1 en los puntos de abscisa =0, =1 y =. EJEMPLO: 1 Dada la unción : a Representa su ráica. b Calcula la derivada de la unción en =1. c Halla la ecuación de la recta tanente a la curva y en el punto de abscisa =1 y represéntala.

11 6.5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. Si ' 0 0, entonces la unción es estrictamente creciente en el punto de abscisa 0. Si ' 0 0, entonces la unción es estrictamente decreciente en el punto de abscisa 0. Si ' 0 0, entonces la unción tiene un punto crítico en el punto de abscisa 0. OBTENCIÓN INTERVALOS CREC/DECR 1.Calculamos el dominio D de la unción..obtenemos los valores 1,,..., k que anulan la derivada de la unción, es decir resolvemos la ecuación ' 0. Descomponemos el dominio D en un conjunto de intervalos determinados por aquellos valores obtenidos en el apartado anterior. 4. Estudiamos el sino de la unción derivada en cada uno de los intervalos obtenidos. 5. La unción será creciente en los intervalos en los que la derivada es positiva y decreciente en aquellos en los que la derivada es neativa. EJEMPLO:

12 6.5. EJERCICIOS. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento: a b 15 9 c i

13 6.6. MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES Si una unción tiene un etremo relativo en el punto 0, 0 y la unción tiene derivada en ese punto, entonces se veriica que ' 0 0. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA: Si una unción veriica que ' 0 0 entonces diremos que la unción: - Tiene un máimo relativo o local en el punto de abscisa 0 si se veriica que la unción es creciente en el intervalo 0, 0, y decreciente en el intervalo 0, 0 para cierto >0. - Tiene un mínimo relativo o local en el punto de abscisa 0 si se veriica que la unción es decreciente en el intervalo 0, 0, y creciente en el intervalo 0, 0 para cierto >0. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Si una unción veriica que ' 0 0, entonces diremos que la unción: - Tiene un máimo relativo o local en el punto de abscisa 0 si " Tiene un mínimo relativo o local en el punto de abscisa 0 si " 0 0. EJEMPLO. Halla los máimos y mínimos relativos de la unción utilizando el criterio de la primera derivada: 18 4

14 6.6. EJERCICIOS Calcula los máimos y mínimos relativos de las unciones: a b 1 c 4 d 9 4 i