Cálculo integral de funciones de una variable: integral definida

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1 Cálculo itegrl de fucioes de u vrible: itegrl defiid BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhbreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimeez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ (imrrero@ull.es) ALEJANDRO SANABRIA GARCÍA (sgrci@ull.es) Deprtmeto de Aálisis Mtemático Uiversidd de L Lgu Ídice. Itegrl defiid 1.1. Itroducció y motivció Cálculo de áres Áre del recito dode iterviee u fució Áre del recito dode iterviee dos fucioes Itegrció uméric Regl Trpezoidl Regl de Simpso Apliccioes de l itegrl defiid Vlor medio de u fució Respuest crdic MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1

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3 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL DEFINIDA 1/15. Itegrl defiid.1. Itroducció y motivció Se y = f (x) u fució defiid e el itervlo [,b], positiv y cotiu. Se pretede clculr el áre ecerrd por l gráfic de l fució y el eje OX. Figur.1. Itegrl de Riem: proximció del áre bjo l curv por rectágulos. Pr ello dividimos el itervlo [,b] e subitervlos por medio de u prtició P = { = x < x 1 <... < x k 1 < x k <... < x = b}. E cd subitervlo [x k 1,x k ] (1 k ) elegimos u puto x k. El áre del rectágulo de bse [x k 1,x k ] y ltur f (x k ) es: k = f (x k )(x k x k 1 ). U proximció del áre buscd será: A = k = f (x k )(x k x k 1 ). Refido l prtició P, esto es, umetdo el úmero de subitervlos, e el límite pr result A = lím A = lím f (x k )(x k x k 1 ). Defiició.1.1. Ls fucioes f (x) pr ls cules existe y es fiito el límite terior se deomi fucioes itegrbles Riem e [,b]. L itegrl defiid de u tl fució etre y b es: f (x) dx = A = lím f (x k )(x k x k 1 ). MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1

4 /15 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Los úmeros y b se deomi límites de itegrció (iferior y superior, respectivmete). Cbe otr que etre ls fucioes itegrbles e [, b] se ecuetr ls fucioes cotius e dicho itervlo, quells que preset lo sumo u úmero fiito de discotiuiddes de slto fiito, etc. Proposició.1.. Se f (x) y g(x) fucioes itegrbles e el itervlo [,b]. Se cumple: i) ii) iii) iv) v) b [ f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx. k f (x) dx = k f (x) dx, culquier que se k R. f (x) dx = f (x) dx. f (x) dx =. c f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx (c [,b]). c El siguiete resultdo coect el cálculo diferecil co el itegrl y costituye u herrmiet fudmetl pr el cálculo de itegrles defiids de fucioes. Teorem.1. (Regl de Brrow). Si F(x) es u primitiv cotiu de f (x) e [,b], etoces f (x) dx = [F(x)] x=b x= = F(b) F(). Ejemplo.1.4. Clculr ls siguietes itegrles defiids: ) x dx; b) xe x 1 dx; c) xe x dx. RESOLUCIÓN. ) U primitiv de l fució x viee dd por x / +C. Por tto, plicdo l regl de Brrow: [ x x dx = ] 1 = 1. b) Clculmos e primer lugr u primitiv de l fució xe x 1. A tl fi efectumos el cmbio de vrible t = x 1, de dode dt = x dx. Luego, xe x 1 dx = 1 xe x 1 dx = 1 e t dt = 1 et +C = 1 ex 1 +C. OCW-ULL 1 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

5 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL DEFINIDA /15 Ahor, l igul que e el prtdo terior: xe x 1 dx = 1 [e x 1 ] 1 = 1 ( 1 1 ). e c) Clculmos e primer lugr u primitiv de l fució xe x. Pr ello itegrmos por prtes (u = x, dv = e x dx; du = dx, v = e x ): xe x dx = xe x e x dx = xe x e x +C = e x (x 1) +C. Por tto: xe x dx = [e x (x 1)] 1 = 1... Cálculo de áres Como plicció de l itegrl defiid, os propoemos e est secció l tre de clculr áres de recitos delimitdos por gráfics de fucioes. E primer lugr cosidermos el cso e que ls froters del recito so rects de l form x =, x = b, el eje OX y u curv rbitrri, mietrs que e segudo lugr cosiderremos el cso de recitos delimitdos por dos fucioes y rects de l form x =, x = b...1. Áre del recito dode iterviee u fució Deotmos por A el áre del recito ecerrdo por ls rects x =, x = b, el eje OX y l curv y = f (x). Podemos distiguir tres csos fudmetles, depediedo de los vlores que tome f (x). 1. L fució f (x) es positiv e el itervlo [,b] (Figur.).. L fució f (x) es egtiv e el itervlo [,b] (Figur.).. L fució f (x) tom vlores tto positivos como egtivos e el itervlo [,b] (Figur.4). Ejemplo..1. Clculr el áre limitd por y = sex y el eje OX pr x π. RESOLUCIÓN. Se puede ver u represetció gráfic del recito e l Figur.5. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1

6 4/15 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Figur.. A = f (x) dx Figur.. A = f (x) dx = f (x) dx c d Figur.4. A = f (x) dx f (x) dx + f (x) dx c d Coforme l terior cso, el áre buscd será: π π π A = sex dx sex dx = sex dx = [cosx] π = (cosπ cos) = 4. π OCW-ULL 1 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

7 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL DEFINIDA 5/15 Figur.5. Recito del Ejemplo Áre del recito dode iterviee dos fucioes Deotmos por A el áre del recito delimitdo por ls rects x =, x = b y ls curvs y = f (x), y = g(x). Podemos distiguir cutro csos, depediedo de los vlores que tome ls fucioes f (x) y g(x). 1. Ambs fucioes so positivs e el itervlo [,b] y sus gráfics o se itersec e el itervlo cosiderdo, slvo quizás e x = ó x = b (Figur.). Figur.. A = [ f (x) g(x)] dx. Ls fucioes so egtivs e [, b] y sus gráfics o se itersec e el itervlo cosiderdo, slvo quizás e los extremos del mismo (Figur.7).. Ls fucioes tom sigos opuestos e [, b], si cortrse excepto quizá e los extremos del itervlo (Figur.8). 4. Ls fucioes se cort e u puto c [,b] (Figur.9). Combido ests cutro situcioes básics co ls propieddes de l itegrl defiid podremos clculr el áre de recitos delimitdos por dos o más fucioes. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1

8 /15 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Figur.7. A = [ f (x) g(x)] dx Figur.8. A = [ f (x) g(x)] dx c Figur.9. A = [g(x) f (x)] dx + [ f (x) g(x)] dx c Ejemplo... Clculr el áre limitd por ls curvs y = x, y = x. RESOLUCIÓN. E l Figur.1 se represet gráficmete el recito limitdo por mbs curvs. OCW-ULL 1 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

9 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL DEFINIDA 7/15 Figur.1. Recito del Ejemplo... Notemos, e primer lugr, que los putos de itersecció de l prábol y = x co l rect y = x viee ddos como solució del sistem y = x y = x x = x x + x = x = 1 ± x = x 1 = 1. E cosecueci, el áre buscd es: ] 1 ( A = ( x x) dx = [x x x = 1 1 ) ( ) = = 7 + = 9. Observció... Si ls curvs viee expresds e l form x = f (y), x = g(y) procedemos de modo álogo como lo hemos hecho, pero itegrdo respecto de y. Ejemplo..4. Clculr el áre limitd por l curv x = y 9 y el eje OY pr y. RESOLUCIÓN. U represetció gráfic de l prábol x = y 9 viee dd e l Figur.11. Cosiderdo l simetrí que preset l fució respecto del eje OX: ] A = (9 y ) dy = (9 y ) dy = [9y y = (7 9) =. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1

10 8/15 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Figur.11. Recito del Ejemplo..4. Ejemplo..5. Clculr el áre compredid etre l prábol y = 4x y l rect y = x 4. RESOLUCIÓN. Los putos de itersecció de l prábol y = 4x co l rect y = x 4 viee ddos por l solució del sistem Luego, y 4 = y + 4 y = 4x y = x 4 x = y 4 x = y + 4. y y 8 = y = ± 4 + Ls coordeds de los putos de itersecció so etoces: = ± y = y 1 = 4. y = x 4 y = = x 4 x = x = 1, y y = x 4 y = 4 4 = x 4 x = 8 x = 4, esto es, mbs curvs se cort e los putos (4,4) y (1, ). El recito está represetdo gráficmete e l Figur.1. OCW-ULL 1 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

11 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL DEFINIDA 9/15 Figur.1. Recito del Ejemplo..5. Por tto: 4 [ ] y + 4 A = y dx = = 1 18 [ ] = 1 1 = 9. ] 4 [y + 8y y = 1 [( ) ( )] 4 Nótese que efectudo l itegrció respecto de l vrible x se tedrí: A = [ 4x ( 4x)] dx [ ] 4x (x 4) dx = 4 [ ] 4x dx + 4x (x 4) dx [ ] 4 1 [ ] 4 4 = x/ + x/ x + 4x = 4 [( ) ( )] = [ (4 + 9)] = = 9. 1 Como vemos, l itegrció co respecto x se vuelve lgo más lborios que l itegrció co respecto y. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1

12 1/15 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA.. Itegrció uméric Al clculr u itegrl defiid puede ocurrir que l fució itegrr o dmit primitiv elemetl, co lo cul o es plicble l Regl de Brrow. Tl es el cso de l llmd fució error de Guss: f (x) = x e t dt, π de importci fudmetl e el cálculo de probbiliddes. Por otr prte, e problems de lbortorio es frecuete que el itegrdo o se coocido explícitmete, sio que veg ddo prcilmete por u tbl de vlores. E mbs situcioes hemos de cotetros co ecotrr u vlor proximdo de l itegrl defiid. Teiedo e cuet l iterpretció geométric de l itegrl defiid como u áre dremos dos fórmuls de proximció: l Regl Trpezoidl y l Regl de Simpso...1. Regl Trpezoidl Proposició..1. L itegrl defiid de f (x) e el itervlo [,b] puede ser proximd medite: f (x) dx b [ f (x ) + f (x 1 ) + + f (x 1 ) + f (x ] ), siedo P = { = x < x 1 <... < x 1 < x = b} u prtició de [,b] e + 1 odos equiespcidos: x k = x + k (b ) ( k ). L fórmul terior proviee de l proximció del áre bjo l curv y = f (x) e [,b] medite trpezoides e lugr de rectágulos. Figur.1. Regl trpezoidl. OCW-ULL 1 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

13 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL DEFINIDA 11/15... Regl de Simpso Proposició... L itegrl defiid de f (x) e el itervlo [,b] puede ser proximd medite: f (x) dx b [ f (x ) + 4 f (x 1 ) + f (x ) + 4 f (x ) + f (x ) + 4 f (x 1 ) + f (x )], siedo u úmero pr y P = { = x < x 1 <... < x 1 < x = b} u prtició de [,b] e + 1 odos equiespcidos: x k = x + k (b ) ( k ). Est fórmul proviee de l proximció del áre bjo l curv y = f (x) e [,b] medite recitos limitdos por rcos de prábol «próximos» l curv. Figur.14. Regl de Simpso. Ejemplo... Usdo l regl trpezoidl co odos, proximr (x + ) dx. RESOLUCIÓN. Al tomr u prtició del itervlo [, 1] e odos equiespcidos, éstos vedrá ddos por: x k = x + k (1 ) = + k = k ( k 5). 5 Por tto, plicdo l regl trpezoidl: (x + ) dx 1 5 [ ] + ( + ) + (4 + ) + ( + ) + (8 + ) [ ] 1 = = = 7. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1

14 1/15 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA El vlor excto es: [ x (x + ) dx = + x ] 1 = 1 + = 19.. Ejemplo..4. Usdo l regl de Simpso co subitervlos, proximr dx l = 1 x. RESOLUCIÓN. Al tomr u subdivisió del itervlo [1,] e subitervlos de igul logitud, tedremos 7 odos que vedrá ddos por: x k = x + k ( 1) = 1 + k = + k ( k ). Por tto, plicdo l regl de Simpso: l 1 ( ) = 1 ( ) + = 1 ( ) = 1 ( ).91979, mietrs que usdo u clculdor coveciol: l = OCW-ULL 1 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

15 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL DEFINIDA 1/15.4. Apliccioes de l itegrl defiid.4.1. Vlor medio de u fució Recordemos que l medi ritmétic de úmeros 1,..., se defie por: = 1 k. Si y = f (x) es u fució cotiu e [,b] y P = { = x < x 1 <... < x k 1 < x k <... < x = b} es u prtició de [,b] e + 1 odos equiespcidos: x k = + k x, co x = b y k, y si demás tommos x k [x k 1,x k ] pr 1 k, etoces l medi ritmétic de los vlores f (x 1 ), f (x ),..., f (x ) será: 1 f (x k ) = 1 b b f (xk ) = 1 b x f (xk ) = 1 b f (x k ) x. Si se icremet el úmero de odos de l prtició, e el límite cudo se tiee, tediedo l defiició de l itegrl defiid: 1 f (xk ) = 1 b f (xk ) x 1 b f (x) dx. b Defiició.4.1. Se llm vlor medio de f e [,b] l úmero: A( f ) = 1 f (x) dx. b MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1

16 14/15 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Ejemplo.4.. Hllr el vlor medio de f (x) = x e [,]. RESOLUCIÓN. El vlor medio de x e [,] es: A( f ) = A(x ) = 1 [ x x dx = 9 ] =..4.. Respuest crdic E fisiologí, se llm respuest crdic R l volume de sgre que el corzó impuls por uidd de tiempo. U respuest crdic orml es idictiv de u efermedd. L respuest crdic puede ser medid medite el llmdo método de dilució por tició. U ctidd D de tite (medid e miligrmos) es iyectd e l rteri pulmor, cerc del corzó. El tite circul trvés de los pulmoes y regres por ls ves pulmores l urícul izquierd siedo luego expulsdo trvés de l ort, dode u sod comprueb l ctidd de tite sliete itervlos regulres detro de u determido periodo de tiempo, digmos [, T ] (segudos). Supogmos que l cocetrció de tite medid e cd istte puede ser descrit medite u fució cotiu c(t) (miligrmos por litro). Si subdividimos [,T ] e itervlos de igul logitud t = T /, l ctidd de tite que circul frete l sod e cd subitervlo será, proximdmete, D k = c(tk )R t (cocetrció) (volume/tiempo) (tiempo) (cocetrció) (volume) (ms/volume) (volume) = ms, dode t k es u puto culquier del subitervlo cosiderdo. Por tto, l ctidd proximd de tite medid e el itervlo [,T ] es D k = k c(t )R t = R c(tk ) t. OCW-ULL 1 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

17 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL DEFINIDA 15/15 Tomdo cd vez u úmero myor de subitervlos e [,T ] teemos, e el límite pr : lím D k = lím R Luego, l respuest crdic R viee dd por: T c(tk ) t D = R c(t) dt. R = T D L/s. c(t)dt Ejemplo.4.. Se iyect 5 miligrmos de tite e l rteri pulmor. Determir l respuest crdic e u periodo de segudos, si l cocetrció del tite es c(t) = 1 t (t ) miligrmos por litro. 1 RESOLUCIÓN. Coforme l discusió terior, l respuest crdic es: R = t (t )dt = 5 (t t) dt = 5 [ ] t 15t 5 = 9 15 = 5 45 = 1 9 L/s = 9 = L/mi. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 1