Principio de multiplicación: Sean A 1, A 2,..., A n, una colección de conjuntos finitos no vacíos, entonces A 1 xa 2 x...xa n = A 1 A 2... A n.

Transcripción

1 Matemática Disceta: Método combiatoio MATEMATICA DISCRETA 3 Método Combiatoio 3 Técicas básicas Sea S u cojuto fiito o vacío Se desiga po S el cadial de S (el úmeo de elemetos de S) Picipio de adició: Sea A, A,, A cojutos fiitos tales que A i A j, po cada i j {,,, }, etoces A A A A A A - E el lazamieto de dos dados De cuátas fomas se puede obtee u siete o u ocho? Obtee u siete A { (, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ), (6, ) } Obtee u ocho B { (, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, ) } A B A B El epeimeto de laza ua moeda al aie tes veces De cuátas fomas se puede obtee ua, dos o tes caas? Ua caa A { (C,, ), (, C, ), (,, C) } Dos caas B { (, C, C), (C,, C), (C, C, ) } Tes caas C { (C, C, C) } A B C A B C Picipio de multiplicació: Sea A, A,, A, ua colecció de cojutos fiitos o vacíos, etoces A A A A A A - Cuátas placas de matícula puede fomase co cuato letas (e u alfabeto de 6 letas) seguidas de tes úmeos? Cuato letas A B C D 6 Tes dígitos E F G A B C D E F G A B C D E F G Se dispoe de ua baaja de 4 catas Se etae 4 catas po dos pocedimietos: a) si devolució de la cata etaída b) co devolució e cada etacció ª cata A, ª cata B, 3ª cata C, 4ª cata D a) A B C D A B C D b) A B C D A B C D Cuátos úmeos atuales distitos eiste ete 5 tiee todas sus cifas difeetes? º dígito (59) A, º dígito (9) B, 3º dígito (9) C, 4º dígito (9) D A B C D A B C D Picipio de distibució (Picipio de las cajas de Diichlet): Sea m, p úmeos atuales Si se distibue pm objetos e cajas etoces alguas cajas debeá cotee, al meos, p objetos

2 Matemática Disceta: Método combiatoio Coolaio: mi i Dados úmeos eteos positivos m, m,,m, tal que > p, etoces, paa algú i se tiee que m i >p Si se efectúa ua patició e pates de u cojuto fiito T, etoces al meos ua de las pates posee T / o más elemetos 3 Pemutacioes, Vaiacioes Combiacioes Recodemos que, Númeo factoial, es el poducto de os cosecutivos atuales: () (-) (-) 3 Todo poducto tiee al meos dos factoes, luego debemos admiti que que Pemutació: Es ua aplicació biectiva e el seo de u cojuto Dos pemutacioes so difeetes si las bieccioes so difeetes El poducto de pemutacioes σ σ del cojuto A (equivale a la composició de dos aplicacioes), cosiste e la aplicació sucesiva de dos pemutacioes, sobe los elemetos del cojuto, σ(a)σ (σ (a)) paa todo a A Al cojuto de todas las pemutacioes de u cojuto A se desiga po S A El úmeo de pemutacioes difeetes de u cojuto de elemetos es: P()(-)(-), S P() El cojuto de todas las pemutacioes de u cojuto A, co la opeació poducto, tiee estuctua de gupo se deomia gupo simético de A Dadas las pemutacioes σ µ de S 4, el poducto σµλ, λ(i)σ(µ(i)) paa i,, 3, 4 σ 3 4 µ 3 4 λσµ λ()σ(µ())σ(), λ()σ(µ())σ(3)4, λ(3)σ(µ(3))σ(), µσ σµ λ(4)σ(µ(4))σ(4)3 λ µσ De cuátas maeas puede ogaizase u gupo de 7 pesoas: a) e ua fila de 7 asietos? b) alededo de ua mesa edoda? a) P( 7 ) b) P( 7 - ) Pemutacioes co epetició Co fecuecia deseamos ecota el úmeo de pemutacioes de objetos, alguos de los cuales so iguales La fómula geeal es ( es el úmeo de elemetos epetidos): PR( ) / - Cuátas pemutacioes puede fomase co las letas de la palaba "ada"? Repeticioes:, a PR( 5 ) 5 / / / 4 3

3 Matemática Disceta: Método combiatoio - Cuátas señales de 6 badeas puede fomase co 4 badeas ojas azules? Repeticioes: ojas 4, azules PR( 6 ) 6 / / / 48 5 Vaiació: Ua vaiació de ode e u cojuto de elemetos, es ua lista odeada de elemetos distitos Dos vaiacioes so difeetes, si el ode o algú elemeto so difeetes V(, ): Vaiacioes de elemetos tomados de e V (, ) ( ) - Ua ua cotiee 8 bolas Ecota el úmeo de muestas odeadas de magitud 3 V( 8, 3 ) 8 / (8-3) 8 / / / Cuátos úmeos de 3 dígitos puede fomase co las cifas, 3, 5, 6, 7 9? V( 6, 3 ) 6 / (6-3) 6 / / 3 7 / 6 Las pemutacioes del cojuto A puede se cosideadas u caso paticula de vaiacioes de ode de A co Vaiació co epetició: Ua vaiació co epetició de ode e u cojuto de elemetos, es ua lista odeada de elemetos, e la que los elemetos puede epetise Dos vaiacioes co epetició so difeetes, si el ode o algú elemeto so difeetes VR(, ): Vaiació co epetició de elemetos tomados de e VR(, ) - E el juego de las quiielas, cuál es el úmeo míimo de columas que ha de ellease paa aceta co seguidad los catoce sigos? VR( 3, 4 ) E u alfabeto fomado po las letas (a, b, c, d), cuátas palabas distitas de diez letas puede fomase? VR( 4, ) Combiació: Ua combiació de ode e u cojuto de elemetos es ua lista de elemetos distitos Dos combiacioes so difeetes si cotiee algú elemeto difeete C(, ): Combiacioes de elemetos tomados de e C(, ) : Númeo combiatoio sobe V (, ) C(, ) C (, ) ( ) E el caso, C(, ) Sea úmeos atuales tales que, etoces C(, ) 3

4 Matemática Disceta: Método combiatoio - Cuátas maos de póe distitas (5 catas) puede fomase co ua baaja de 5 catas? C( 5, 5 ) 5 / / / De cuátas maeas puede fomase u comité que costa de 3 hombes mujees, a pati de 7 hombes 5 mujees? A Hombes C( 7, 3 ) 7 / 4 3 / 6 35 B Mujees C( 5, ) 5 / 3 / A B A B Combiació co epetició: Ua combiació co epetició de ode e u cojuto de elemetos es u cojuto de elemetos que puede epetise Dos combiacioes co epetició so difeetes, si cotiee algú elemeto difeete Ecota el úmeo de combiacioes co epetició de elemetos tomados de e, es equivalete a ecota el úmeo de solucioes eteas o egativas de la ecuació que es C(-, ) CR(, ): Combiacioes co epetició de elemetos tomados de e ( ) CR(, )C(-, ) ( ) U caso especial cosiste e halla las solucioes atuales i de la ecuació C(-, -) - Distibui 37 bolas iguales e 6 bolsas distitas, de foma que todas las bolsas cotega, al meos, ua bola Poemos ua bola e cada bolsa (esto solo se puede hace de ua foma), así solo queda 37-6 bolas paa distibui e 6 bolsas: C(6(37-6)-, 37-6)C(37-, 37-6)C(36, 3) - De cuátas fomas se puede distibui caicas azules e 5 bolsas distitas? CR( 5, ) C( 5 -, ) C( 4, ) / Cuátos úmeos ha e el cojuto {,,, } que tega la popiedad de que la suma de sus dígitos sea 5? CR( 3, 5 ) C( 3 5 -, 5 ) C( 7, 5 ) 54 / 4 Pemutació cicula: Ua pemutació cicula de objetos distitos de ode,, es ua colecció odeada de de los objetos e posicioes sobe ua cicufeecia (el último elemeto está situado ete el peúltimo el pimeo) Dos pemutacioes ciculaes so difeetes, si ua, o se puede obtee como otació de la cicufeecia alededo de su ceto Pc(, ): Númeo de pemutacioes ciculaes de objetos distitos de ode, co Pc(, )C(, )(-) Ua pemutació cicula de objetos distitos de ode se deomia Pemutació cicula de objetos 4

5 Matemática Disceta: Método combiatoio 5 Resume: Se elige objetos de u cojuto de Númeo de seleccioes odeadas Númeo de seleccioes o odeadas No está pemitidas las epeticioes ) ( Está pemitidas las epeticioes 33 Teoema del Biomio Sea úmeos eteos tales que, etoces: Fomula de Pascal Si so eteos tales que -, etoces: Tiágulo de Pascal Da u método paa el calculo de los coeficietes biómicos, dado el valo iicial, paa todo, los coeficietes de las sucesivas potecias de (ab), puede distibui e el llamado tiágulo de Pascal: Se tiee que: ) El pime último elemeto de cada fila es ) Cualquie oto úmeo del tiágulo se puede obtee sumado los dos úmeo que apaece ecima de él, paa C(, )C(, -) Teoema del Biomio (Biomio de Newto) (a b) a b (a b) a ab b (a b) 3 a 3 3a b 3ab b 3 (a b) 4 a 4 4a 3 b 6 a b 4ab 3 b 4

6 Matemática Disceta: Método combiatoio 6 Si os fijamos, los coeficietes coicide co los del tiágulo de Pascal, los epoetes de a va dismiuedo desde hasta los de b va aumetado desde hasta, e cada témio la suma de los epoetes de a b es igual a Geealizado : (a b) a b a - b a b - a b Si e so vaiables es u eteo positivo, etoces () Paa cada N cada pa de elemetos, R () Paa obteemos: ) ( A los coeficietes C(, ) ( ) se les llama coeficietes biómicos, o tambié úmeos combiatoios Si hacemos obteemos: Si hacemos - obteemos: ) ( Paa cada m, N {} paa m se tiee: m m ), ( ), ( C C Coeficiete Multiómico Sea,,,, úmeos eteos o egativos, co i, Se defie P(,,,, ), como i So los coeficietes del desaollo de la epesió poliómica ( ) Teoema Dados objetos de tipos, co i objetos del tipo i, paa i co i, ha difeetes odeacioes de estos objetos Dos odeacioes so iguales si paa i, los objetos que ocupa el luga i so del mismo tipo - Cuátas palabas distitas podemos foma co las letas de la palaba MATEMATICAS?: Ha letas, M, 3 A, T, E, I, C S La solució seá: ,,,,,,, palabas distitas

7 Matemática Disceta: Método combiatoio Fomula de Leibitz Se deomia Fomula de Leibitz al desaollo de la epesió algebaica ( ) Es el úmeo de fomas distitas de seleccioa factoes de, factoes de, etc, co, el cojuto es, luego ( ) Calcula el coeficiete del témio 3 del desaollo de ( 3 4 ) 9 Solució: ) es igual a ) El coeficiete seá: 6 3,,4, 34 Idetidad de Vademode m m Paa todo m,, N,, m i i m m, si m, so eteos o egativos ( ) ( ) Sea N, etoces: Sea, Z, etoces: ( ), 34 Picipio de Iclusió-Eclusió La elació ete el úmeo de elemetos de la uió de dos cojutos A B, el úmeo de elemetos de dichos cojutos el de la itesecció es: A B A B - A B Sea S u cojuto fiito P, P,, P, popiedades que cada uo de los elemetos de S, puede o o satisface Paa cada i,,,, sea S i { S satisface P i }, etoces: S i i i { S satisface al meos ua de las popiedades P i, i,,, } ' ( S S i ) S { S o satisface igua de las popiedades P i, i,,, } i i dode S i es el complemetaio de S i e S 7

8 Matemática Disceta: Método combiatoio Picipio de Iclusió-Eclusió i ' S i S Si Si S i Si S i Si3 i ( ) S i Si Si ( ) S S S, dode paa, las sumas S i S i S i se etiede a todas las combiacioes de ode, {i, i,,i }, de {,,, } Coolaio El úmeo de elemetos de S que satisface al meos ua de las popiedades P, P,,P, ' es: S i Si Si Si Si Si Si3 i i ( ) S i Si Si (( ) S S S ), dode paa, las sumas S i S i S i, se etiede a todas las combiacioes de ode, {i, i,,i }, de {,,, } - 3 pesoas 3 tipos de ofetas de tabajo, las 3 solicita u empleo, los 3 empleos distitos Cuátas fomas ha de da a cada pesoa u tabajo que o ha solicitado? Solució: Las pesoas so h, h, h 3 los tabajos P i i{,, 3}, h i ecibe el empleo solicitado S el cojuto de todas las fomas de da u empleo a cada solicitate S 36 S S S 3 úmeo de fomas de da tabajo o solicitado *Po el picipio de Iclusió-Eclusió: S -( S S S 3 )( S S S S 3 S S 3 )- S S S 3 S 3, S S S 3, S S S S 3 S S 3 S S S 3, etoces: S S S 3 Desodeació Sea S el cojuto de pemutacioes de objetos Detemia el úmeo de pemutacioes de objetos que o deja a iguo fijo, es deci, paa A{,,, }, habá que detemia el úmeo de pemutacioes σ: A A, tal que σ(), A Ua pemutació de este tipo se deomia desodeació, se dice que los elemetos de A está desodeados j ( ) El úmeo de desodeacioes de objetos es d() j j E témios geométicos, ua desodeació de objetos es equivalete a coloca piezas sobe u tableo de dimesioes, de foma que o se ecuete dos piezas e la misma fila o columa, i sobe la diagoal picipal - Númeo de fomas de coloca 4 toes, sobe u tableo de ajedez de dimesioes 44, de foma que igua se ecuete sobe la diagoal picipal que igua toe pueda come a ota: 3 4 T T T T 8

9 Matemática Disceta: Método combiatoio Detemia el úmeo de pemutacioes del cojuto A{,,, } paa las cuales al meos u elemeto queda fijo: Solució: S cojuto de todas las pemutacioes de A T cojuto de todas las desodeacioes de A S-T cojuto de todas las pemutacioes de A, que deja fijo al meos u elemeto de A Po tato: S-T S - T -d() Ecota el úmeo de pemutacioes de {,,, 7} paa las cuales so fijos tes úmeos Ha C(, 3) fomas de elegi tes elemetos que se va a queda fijos e ua pemutació de objetos Se tiee paa el esto de los elemetos d(-3) desodeacioes Luego: Po el picipio de Multiplicació habá C(, 3)d(-3) pemutacioes que deja fijos tes putos 4 j 7 ( ) E uesto caso 7, C(7, 3)d(7-3)C(7, 3)d(4) (4 ) 3 j j ( ) (4 4 (4 3) 4 ) ( 4 ) (9) (9) (9) , pemutacioes del cojuto 3 3 (7 3) 3 dado, paa las cuales so fijos tes úmeos 35 Recusividad Relacioes Recuetes U objeto es ecusívo, si foma pate de si mismo o está defiido e fució de sí mismo U cojuto de objetos está defiido ecusivamete siempe que, Se especifique de foma eplícita alguos elemetos del cojuto Los demás elemetos del cojuto se defia e témios de los elemetos dados e Ua fució f: N R, se dice que está defiida ecusívamete, si paa N, se veifica: ) Los valoes f(), f(),,f( ) so coocidos ) Paa >, f() está defiido e fució de f(), f(),,f(-) Los f(), f(),,f( ), se llama valoes o codicioates iiciales de f os efeimos a la ecuació que descibe f() e témios de f(), f(),,f(-) como elació de ecuecia paa f Númeos atuales: El es u úmeo atual Si es u úmeo atual etoces es oto úmeo atual Sea d() el úmeo de desodeacioes del cojuto S{,,, } Codicioes iiciales: d(); d(); Satisface la elació de ecuecia: d()(-)[d(-)d(-)], paa 3 La potecia de las defiicioes pocesos ecusivos, eside e la posibilidad de defii u úmeo ifiito de objetos mediate u euciado fiito Se puede descibi u úmeo ifiito de opeacioes de cálculo mediate u poceso ecusivo fiito 9

10 Matemática Disceta: Método combiatoio Relació de ecuecia lieal Relació de ecuecia lieal co coeficietes costates es ua elació de ecuecia de la foma: ()a (-)a (-)a t (-t)(), dode t a, a,,a t so costates Cuado (), diemos que la elació es lieal homogéea Se deomia lieal puesto que o apaece poductos de la fució (), tales como (-)(-s), s t, o [(-t)] 5 ()6(-)8(-)-4(-3)3(-4) 3, paa 5 Sucesió de Fiboacci Es la sucesió obteida a pati de la elació de ecuecia: fib()fib(-)fib(-), paa 3, co codicioes iiciales fib(), fib() E geeal, ua elació de ecuecia tiee mas de ua solució, peo las codicioes iiciales especifica cual de las solucioes es la que esuelve el poblema Ua elació de ecuecia de la foma: F()F(-)F(-), paa 3, si fija las codicioes iiciales, se deomia elació de ecuecia tipo Fiboacci Sea ()-a (-)-a (-)--a t (-t), co >t, ua elació de ecuecia lieal homogéea de coeficietes costates Se deomia ecuació caacteística asociada a le ecuació ecuete, a la epesió: t -a t- -a t- --a t- -a t Teoema Sea ()-a (-)-a (-)--a t (-t), dode >t, ua elació de ecuecia lieal homogéea de coeficietes costates Etoces ()b es ua solució, si solo si, b es ua aíz de la ecuació caacteística - E el cojuto de los úmeos atuales se defie de foma ecusíva la fució : ) ()(), ) ()(-)3(-), ( 3) Obtee ua solució paticula de la ecuació ecusíva ateio Solució: La ecuació caacteística asociada seá: de [()-a (-)--a t (-t)] ()-(-)-3(-), de aquí se obtiee: de [ t -a t- -a t ] --3 ()(-3), Luego, las aíces caacteísticas so: - 3, po tato la solució geeal es: ()c (-) c 3 A pati de las codicioes iiciales ), se obtiee el sistema lieal: -c 3c c 9c cuas solució es: c -/ c /6 Etoces: () 3 ( ) [( ) 3 ] 6 Si la ecuació caacteística, asociada a ua elació de ecuecia lieal, tiee t aíces eales distitas, b, b,, b t, etoces la solució es de la foma:

11 Matemática Disceta: Método combiatoio ()c b c b c t b t ; si algua de las aíces (eales) apaece epetida, (p ej b i, apaece m i veces) la solució geeal es de la foma: () c b c b m (c i c i c i )b i c b, co t - Aplicado este esultado, esolve la elació de ecuecia lieal siguiete: ()(-)4(-)-8(-3), co codicioes iiciales: (), ()4 (3) Solució: La ecuació caacteística asociada es , que tiee po aíces: b -, b (doble), po tato la solució geeal es: ()c (-) (c c ) Las codicioes iiciales defie u sistema de ecuacioes lieales paa los paámetos c, c c : ()c (-)(c c ), ()4c (-) (c c ()), (3)c (-) 3 (c c (3)) 3, que esolviedo popocioa c -/8, c 5/8, c /4, po tato la solució paticulaes buscada es () (-) 5 ( ) Teoema La fució fib(), solució de la elació de ecuecia de Fiboacci, viee dada po: 5 5 fib() ( ) 5 5 La ecuació caacteística asociada es --, las solucioes de esta ecuació so: 5 5 Luego Fib () fib (), so solucioes de la elació ecuete Debido al caácte lieal de la elació cualquie combiació lieal de ambas seá tambié solució, es deci fib()c c, es solució, dode las costates c c debe elegise de modo que fib() fib() Po tato c c fib() c c fib() Luego: im i Resolviedo dicho sistema paa c c, se obtiee fib() c c 5 ( ) 5 El úmeo iacioal, se llama azó aúea, es quizá el úmeo iacioal mas famoso después de π

12 Matemática Disceta: Método combiatoio Fecha última actualizació Mao- (Po Rafael J Vea)