APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

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1 APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0 +. Indica el dominio de cada función y, a partir de él y de sus puntos críticos, estudia los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los etremos relativos: a) f() b) e) f() + 0 f) f() c) f() g) + f() d) f() 5 f() h) f() + ln. Estudia la concavidad y conveidad de las siguientes funciones y analiza sus puntos de infleión: a) f() 6 + b) f() c) f() 5 +. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en su punto de infleión: a) f() 6 + b) f() Halla ( ) los etremos relativos y los puntos de infleión de la función f() sen sen. 6. Halla p y q para que la función f() + p + q alcance un mínimo igual a en. 7. Halla a, b y c para que la función f() + a + b + c alcance un máimo en el punto P(, 0) y tenga un punto de infleión en el punto de abscisa. 8. Halla a, b, c y d para que la función f() a + b + c + d alcance en el punto A(, 0) un mínimo relativo y en el punto B(0, ) un máimo relativo. Halla después su punto de infleión y haz un trazado aproimado de la misma. + a + b 9. Halla a, b y c para que la función f() pase por el origen de coordenadas y alcance + a + c un etremo relativo en el punto P(, ). 0. Halla dos números positivos tales que: a) su suma sea 00 y su producto el mayor posible, b) su producto sea 00 y su suma la menor posible.. Descompón el número en dos sumandos, tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo.. Demuestra que la suma de todo número real positivo no nulo y su inverso es mayor o igual que.. Determina la distancia mínima del origen a la curva hiperbólica y.. Halla los puntos de la curva parabólica y 6 cuya distancia al punto P(, 0) sea mínima. 5. De todos los rectángulos de área 6m, halla el de perímetro mínimo. + +

2 6. Halla, razonadamente, la base y la altura del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una circunferencia de radio 0cm. 7. Halla las dimensiones de un cilindro inscrito en una esfera de diámetro d 6cm, para que sea de volumen máimo. 8. Halla las dimensiones del cilindro de mayor volumen inscrito en un cono de altura cm. y radio de la base 6cm. Calcula el valor de ese volumen máimo. 9. Una placa de vidrio de 5cm. 0cm. tiene una esquina, de 5cm. cm., rota. Halla las dimensiones de una nueva placa rectangular que se quiere cortar a partir de ella con área máima. 0. Halla el área del mayor campo rectangular que puede cercarse junto a un camino, por.880, sabiendo que el precio de la valla es de por metro ecepto la del lado del camino que es de 8 por metro.. El coste del marco de una ventana rectangular es,50 por metro lineal de los lados verticales y 8 por metro lineal de los lados horizontales. Calcula razonadamente las dimensiones que debe tener el marco con la condición de que la ventana tenga m de superficie, para que resulte lo más económico posible y halla también dicho coste mínimo.. Halla las dimensiones que ha de tener una caja de base cuadrada, de 80cm de capacidad, para que su fabricación resulte con lo más barata posible, teniendo en cuenta que para la superficie lateral y la base se usa un material de 0,0 / cm mientras que la tapa resulta a 0,5 / cm. Halla después el importe de dicho coste mínimo.. Una factoría F situada a km. de un río, ha de llevar una mercancía hasta una ciudad C de la orilla de dicho río y distante 80km. de la perpendicular al río trazada desde F hasta T. Sabiendo que el transporte terrestre en camión es de,0 por Tm. y Km. y que el transporte fluvial en barco es de 0,50 por Tm. y Km., determina el punto P de la orilla del río al que debe dirigirse el camión para que el coste por transporte resulte mínimo. (Compara el coste obtenido de FPC con FTC y FC). El trabajo W realizado por una pila, de f.e.m. E y resistencia interna r constantes, conectada a una E R resistencia R, es proporcional a. Halla R para que el trabajo W sea máimo. ( ) r + R 5. Analiza las siguientes funciones (estudia su dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y etremos relativos, curvatura y puntos de infleión) y represéntalas gráficamente: a) f() + b) f() c) f() d) f() e) f() f) + i) f() j) m) f() e n) + f() g) + f() h) + 8 ( ) f() k) f() l) f() f() e o) q) f() + ln r) f() sen cos ( ) s) f() f() e p) f() e + tg f() ( ) sen

3 SOLUCIONES APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Todas crecen en 0. a) Su dominio es todo R al ser polinómica y es par. Decrece estrictamente en ], 0 [ y crece estrictamente en ] 0, + [. En (0, 0) hay un Mín.Rel., que además es absoluto. b) Su dominio es todo R al ser polinómica y es impar. Crece estrictamente en todo su dominio y (0, 0) es un punto de silla o P.I.T.H. c) Su dominio es todo R al ser polinómica y es par. Decrece estrictamente en ], 0 [ y crece estrictamente en ] 0, + [. En (0, 0) hay un Mín.Rel., que además es absoluto. d) Su dominio es todo R al ser polinómica. Crece en ], [ y en ] /, + [. Decrece en ], / [ Má.Rel. en (, 6) y Mín.Rel. en (/, 0/7) e) Su dominio es todo R al ser polinómica y es par.. Decrece en ], [ y en ] 0, [. Crece en ], 0 [ y en ], + [ En (0, 0) hay un Má.Rel. En (, 6) y en (, 6) f) Su dominio es todo R salvo el.. hay Mín.Rel. y es absoluto. Crece en ], [ y en ] 0, + [. Decrece en ], [ y en ], 0 [ Má.Rel. en (, 8) y Mín.Rel. en (0, 0) g) Su dominio es todo R salvo el y el + y es par. Decrece en ], [ y en ], 0 [. Crece en ] 0, [ y en ], + [.. Mín.Rel. en (0, ) h) Su dominio es R + (reales positivos) por el logaritmo y crece estrictamente en él.. a) Es convea si < y cóncava si >. P.I. (, 0). b) Convea en ], [ y cóncava en ], [ y en ], + [. P.I. (, ) y (, 7)., 0 0, +. P.I.T.H. (0, ). c) Convea en ] [ y cóncava en ] [. a) y 6 ( ) 6 + y 6 0 b) y 5 ( ) y 0 5. Má.Rel. en ( π /, ) y Mín.Rel. en ( π /, ) Puntos de infleión de tangente horizontal: (0, 0), (π, 0) y (π, 0). Puntos de infleión: ( 0.95,.), (.9,.), (.09,,) y ( 5.,.) 6. p y q 7 7. a 9, b 5 y c 7 [ P(, 0) má.rel.; Q(, 6) pto.inf. y R(5, ) mín.rel.] 8. a, b, c 0 y d. Punto de infleión (, ). Trazado de parábola cúbica creciente. 9. a, b 0 y c 8 0. a) 50 e y 50 con P y.500 (máimo absoluto) b) 0 e y 0 con S + y 0 (mínimo absoluto). 8 e y 6 con P y.99 (máimo absoluto)

4 . La suma de un número y su inverso tiene un mínimo absoluto en (, ), luego +. La distancia mínima del origen a la curva es para los puntos P (, ) y P (, ). La distancia mínima del punto P a la curva es 5 para los puntos Q (, 6 ) y Q (, 6 ) 5. Es el cuadrado de lado m. (Área 6 m ) con Perímetro m 6m.(mínimo absoluto) 6. Es el cuadrado de lado 0 cm. con Área 00 cm (máimo absoluto) 7. altura cm. y radio base 6 cm. 8. altura cm. y radio base cm. V π cm 65.0 cm V 6 π cm 0.06 cm 9. 0/ cm. 8 cm. con Área 0/ cm cm (máimo absoluto) Para los dos casos etremos es menor el área: A cm y A cm 0. 60m. 70m. con Área 5.0 m (máimo absoluto). /5 m. 5/ m. (0.8 m..5 m.) (Área m ) con Coste 0 (coste mínimo). cm. cm. 5cm. (Volumen 80 cm ) con Coste (coste mínimo). P ha de estar a 75 Km. de la ciudad C (FPKm. y PC75Km.) Coste5,0 Si se utiliza el camión lo menos posible (FTKm. y TC80Km.) Coste55,60 Si sólo se utilizara el camión (FC 8Km.) el coste sería mayor Coste 05,6. R r 5. a) Par (simétrica respecto al eje OY), y > 0 en todo R, sin AV y con AH: y 0 f '(), de donde resulta un punto crítico, que es Má.Rel.: (0, ) ( + ) ( ) f ''() ( + ) b) Par (simétrica respecto al eje OY), con AV: y y AH: y 0 f '(), de donde resulta un punto crítico, que es Má.Rel.: (0, ) ( ) ( + ), de donde se obtienen dos puntos de infleión P.I.: ( ±, ) f ''() 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. ( ) c) Par (simétrica respecto al eje OY), con AV: y y AH: y Es desplazada de la anterior una unidad vertical positiva, por eso coinciden las derivadas. f '(), de donde resulta un punto crítico, que será Má.Rel.: (0, 0) ( ) f ''() ( + ) ( ) 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. d) Impar (simétrica respecto al origen O), con AV: y y AH: y 0 ( + ) f '() 0, luego la función no tiene puntos críticos ni etremos y es decreciente. ( ) f ''() ( + ) ( ), de donde resulta un único punto de infleión P.I.: (0, 0)

5 e) Impar (simétrica respecto al origen O), con AV: y y AO: y Es desplazada de la anterior en, por eso coincide la derivada segunda. ( ) f '(), de donde salen tres puntos críticos, 0 y, de los que dos ( ) son etremos relativos Má.Rel.:(,.60), Mín.Rel.:(,.60) f ''() ( + ) ( ), de donde sale un punto de infleión (0, 0) que es punto crítico (P.I.T.H.) f) Impar (simétrica respecto al origen O), con AV: 0 y AO: y f '(), obteniéndose dos puntos críticos, que son Má.Rel.:(, ) y Mín.Rel.:(, ) f ''() 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. g) Ni par ni impar, con AV: 0 y AO: y f '(), de donde sale un Má.Rel.: (,.8) f ''() 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. y un Mín.Rel.: (,.8) h) Ni par ni impar, con AV: y AO: y + ( ) f '(), de donde salen dos puntos críticos, que son Má.Rel.:(0, 0) y Mín.Rel.:(, ) ( ) f ''() 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. ( ) i) Ni par ni impar, con AV: 0 y AO: y 8 f '(), de donde sale un punto crítico, que es Mín.Rel.:(, ) f ''() 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. j) Impar (simétrica respecto al origen O), con AV: 0 y RP (rama parabólica) según OY ( ) f '(), de donde salen dos etremos, Má.Rel.:(, ) y Mín.Rel.:(, ) 6 ( + ) f ''() 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. k) Ni par ni impar, con AV: 0 y AH: y 0 8 ( ) ( ) f '(), de donde salen dos etremos, Mín.Rel.: (, 0) y Má.Rel.: (,.9) 6 ( 6 + 6) f ''(), de donde se obtienen dos P.I.: 5 (,.05) y ( +,.05) l) Impar (simétrica respecto al origen O), con AV: y y RP según OX f '(), de donde salen Má.Rel.:(,.7) y Mín.Rel.:(,.7) ( ) f ''() (9 ) ( ) 7, de donde salen tres puntos de infleión P.I.: (, /), (0, 0) y (, /)

6 m) Par (simétrica respecto al eje OY). Su dominio es R e y > 0 en él, con AH: y 0 f '() e, de donde resulta un punto crítico, que es Má.Rel.: (0, ) f ''() ( ) e, de donde se obtienen dos puntos de infleión P.I.: ±, e n) Par (simétrica respecto al eje OY). Su dominio es todo R salvo el 0, donde hay una discontinuidad evitable, e y > 0 en todo el dominio, con AH: y. e f '() 0, luego la función no tiene puntos críticos, por tanto, no tiene etr. relat. e ( ) f ''(), de donde se obtienen dos puntos de infleión P.I.:, 6 ± e o) Ni par ni impar, con AH: y 0 (si ) y RP según OY (si + ). Su dominio es R. f '() ( + ) e, de donde resulta un punto crítico, que es Mín.Rel.:, e f ''() ( + ) e, de donde se obtiene un punto de infleión P.I.:, e p) Ni par ni impar. Su dominio es R e y > 0 en él. Con AO: y (si ) y RP según OY (si + ) f '() e, de donde resulta un punto crítico, que es Mín.Rel.: (0, ) f ''() e 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. q) Ni par ni impar. Su dominio es R +, con AV: 0 ( y si 0 ) y RP según y. f '() + > 0 en todo el dominio, por lo que f() crece estric. en él y no tiene puntos críticos. f ''() 0, por tanto, la función no tiene puntos de infleión. π π r) Par (simétrica respecto al eje OY). Periódica con p π y tomamos,. Su dominio es R. f '() 8 sen cos 6 sen cos sen cos ( cos ) sen ( cos ), π π de donde salen tres Mín.Rel.:,, ( 0, 0) y, y dos Má.Rel.: π π, y, f ''() cos 6 cos + 6, que da lugar a cuatro puntos de infleión. π π π. Su dominio es R k, con k Z; luego π π π AV.: k π,, 0,, π sen cos f '() tg sec ctg csc, que se anula para sen cos, da lugar a sen cos s) Periódica con p π y la consideramos en [, ] π dos puntos críticos que son etremos, Má.Rel.:, y Mín.Rel.: π, 5 5 sen + sen + cos + cos f ''() sec ( + tg ) + csc ( + ctg ), que se anula sen cos π π para sen cos, da lugar a dos puntos de infleión P.I.:, 0 y, 0