SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Dos ecuaciones lineales con dos

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1 de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive Solano 1 Febrero de Visita

2 de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive Solano 1 Febrero de Visita

3 de Dos m con n Problema 1 El precio de la boleta para asistir a una función fue de $3000 para estudiantes y de $4500 para el público en general. Se vendieron 450 boletas y el dinero recaudado fue de $ , cuántas boletas de cada clase se vendieron? Problema 2 Un examen realizado en clase consta de 16 preguntas. El profesor suma 5 puntos por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada pregunta no contestada o mal contestada. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en el examen, cuántas preguntas ha contestado correctamente?

4 Dos de Dos m con n Considere el siguiente sistema de dos lineales con dos x y y: a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 donde a 11, a 12, a 21, a 22, b 1 y b 2 son números dados. Una solución del sistema es una par de números (x, y) que satisfacen las. Las preguntas que surgen en forma natural son: tiene este sistema varias soluciones y, de ser así, cuántas?

5 Dos de Dos m con n Ejemplo 1.1 Considere los sistemas. 1 Sistema con una solución única. x y = 7 x + y = 5 2 Sistema con un número infinito de soluciones. x y = 7 2x 2y = 14 3 Sistema sin solución. x y = 7 2x 2y = 13

6 Dos de Geometricamente es fácil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Dos m con n

7 m con n : eliminación de Gauss-Jordan Ejemplo 1.2 Resuelve el sistema de Dos m con n 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 (1.1a) (1.1b) (1.1c) Solución. En este caso se buscan tres números x 1, x 2, x 3, tales que las tres en 1.1 se satisfagan. Se comienza por dividir la ecuación 1.1a por 2: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 (1.2a) (1.2b) (1.2c)

8 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n Ahora multiplicando la ecuación 1.2a por 4 y sumándola a la ecuación 1.2b nos queda: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 3x 2 6x 3 = 12 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 (1.3a) (1.3b) (1.3c) Luego, la ecuación 1.3a se multiplica por 3 y se suma a 1.3c, y la ecuación 1.4b se divide por 3, lo que da por resultado: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 x 2 + 2x 3 = 4 5x 2 11x 3 = 23 (1.4a) (1.4b) (1.4c)

9 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n Se multiplica la ecuación 1.4b por 2 y se suma a 1.4a: x 1 x 3 = 1 x 2 + 2x 3 = 4 5x 2 11x 3 = 23 (1.5a) (1.5b) (1.5c) Se multiplica la ecuación 1.5b por 5 y se suma a 1.5c y el resultado se multiplica por 1: x 1 x 3 = 1 x 2 + 2x 3 = 4 x 3 = 3 (1.6a) (1.6b) (1.6c)

10 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n Por último, se suma la ecuación 1.6c a 1.6a, y después se multiplica 1.6c por 2 y se suma a 1.6b para obtener: x 1 = 4 x 2 = 2 x 3 = 3 Ésta solución es única para el sistema. Se escribe en la forma (4, 2, 3). El método que se usó se conoce como eliminación de Gauss-Jordan. Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes. Es decir, cada sistema tenía el mismo conjunto de soluciones que el precedente.

11 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n Antes de resolver otros sistemas de es conveniente introducir una notación que simplifica la escritura de cada paso del procedimiento mediante el concepto de matriz. Matriz de coeficientes Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los coeficientes de las variables x 1, x 2, x 3 en el sistema 1.1 se pueden escribir como los elementos de una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema: A = Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m n. El símbolo m n se lee m por n.

12 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n Al usar la notación matricial, el sistema 1.1 se puede escribir como la matriz aumentada: A los reglones de la matriz aumentada se le pueden aplicar operaciones de tal manera que se obtiene un sistema de equivalente al sistema dado: Operaciones elementales con renglones 1 Multiplicar (o dividir) un renglon por un número diferente de cero. 2 Sumar un multiplo de un reglón a otro renglón. 3 Intercambiar dos renglones.

13 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones. Notación 1 R i cr i quiere decir reemplaza el i-ésimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por c. 2 R j R j + cr i significa sustituye el j-ésimo renglón por la suma del reglón j con el renglón i multiplicado por c. 3 R i R j quiere decir intercambiar los renglones i y j. 4 A B indica que las aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.

14 m con n : eliminación de Gauss-Jordan En el sistema 1.1 se vio que al usar las operaciones elementales con renglones varias veces, se pudo obtener un sistema cuyas soluciones estén dadas en forma explícitas: de Dos m con n De nuevo se puede ver de inmediato que la solución es x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 3.

15 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n Ejemplo 1.3 (Número infinito de soluciones) Resuelva el sistema 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = 30 Solución. El sistema escrito en forma de matriz aumentada es: Aplicando la operaciones elementales con renglones sucesivamente, se obtiene:

16 m con n : eliminación de Gauss-Jordan Aplicando la operaciones elementales con renglones sucesivamente, se obtiene: de Dos m con n Esto es equivalente al sistema de x 1 x 3 = 1 x 2 + 2x 3 = 4 Note que para valor de x 3 se tiene una solución distinta, por tanto existe un número infinito de soluciones.

17 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n Ejemplo 1.4 (Sistema inconsistente) Resuelva el sistema 2x 2 + 3x 3 = 4 2x 1 6x 2 + 7x 3 = 15 x 1 2x 2 + 5x 3 = 10 Solución. La matriz aumentada para este sistema es: Aplicando la operaciones elementales con renglones sucesivamente, se obtiene:

18 m con n : eliminación de Gauss-Jordan de Dos m con n Note que las últimas dos son 2x 2 3x 3 = 5 2x 2 + 3x 3 = 4 lo cual es imposible, ya que si 2x 2 3x 3 = 5, entonces 2x 2 + 3x 3 = 5, y esto contradice la ecuación tres (5 4). Definición 1.1 Se dice que un sistema de lineales es inconsistente si no tiene solución. Se dice que un sistema que tiene al menos una solución es consistente.

19 m con n : eliminación Gaussiana de Dos m con n Definición 1.2 (Forma escalonada reducida por renglones) Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las siguientes condiciones: 1 Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz. 2 El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero es 1. 3 Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba. 4 Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene ceros en el resto de sus elementos.

20 m con n : eliminación Gaussiana de Dos m con n El primer número diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama pivote para ese renglon. Ejemplo 1.5 Las siguientes están en la forma escalonada reducida por renglones: (tres pivotes) (tres pivotes) ( ) (dos pivotes)

21 m con n : eliminación Gaussiana de Dos m con n Una matriz está en la Forma Escalonada por Renglones si se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 de la definición 1.2. Ejemplo 1.6 Las siguientes se encuentran en la forma escalonada por renglones: ( )

22 m con n : eliminación Gaussiana de Ejemplo 1.7 Resuelva el sistema 1.1 reduciendo la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones. Solución. Se comienza como antes Dos m con n Hasta aquí, este proceso es idéntico al anterior; pero ahora sólo se hace cero el número 5 que está abajo del primer 1 en el segundo renglón:

23 m con n : eliminación Gaussiana de Dos m con n La matriz aumentada del sistema se encuentra ahora en la forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que x 3 = 3. Después se usa sustitución hacia atrás para despejar primero x 2 y después x 1. El método de solución que se acaba de emplear se llama eliminación Gaussiana. Se cuenta con dos métodos para resolver los ejemplos de sistemas de : 1 Eliminación de Gauss - Jordan 2 Eliminación de Gaussiana

24 m con n : eliminación de Gauss-Jordan y Gaussina de Dos m con n Un problema de administración de recursos Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada seman se proporcionan al lago unidades del alimento 1, unidades del alimento 2 y del 3. Si se supone que los peces se comen todo el alimento cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

25 de Dos m con n Un sistema general de m n lineales a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m se llama homogéneo si todas las constantes b 1, b 2,..., b m, son cero. Es decir, el sistema general homogéneo está dado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0

26 de Dos m con n Como x 1 = x 2 = = x n = 0 es siempre una solución (llamada solución trivial o solución cero), solo se tienen dos posibilidades: la solución trivial es la única solución o existe un número infinito de soluciones además de ésta. Las soluciones distintas a la solución cero se llaman soluciones no triviales. Ejemplo 1.8 (Únicamente la solución trivial) Resuelve el sistema homogéneo de 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 0 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 0 3x 1 + x 2 2x 3 = 0

27 de Solución. Al reducir en forma sucesiva, se obtiene Dos m con n Así, el sistema tiene una solución única (0, 0, 0). Es es, la única solución al sistema es la trivial.

28 de Dos m con n Ejemplo 1.9 (Un número infinito de soluciones) Resuelve el sistema homogéneo x 1 + 2x 2 x 3 = 0 3x 1 3x 2 + 2x 3 = 0 x 1 11x 2 + 6x 3 = 0 Solución. Al hacer uso de la eliminación de Gauss - Jordan se obtiene, sucesivamente,

29 de Dos m con n Ahora la matriz aumentada está en la forma escalonada reducida por renglones y, evidentemente, existe un número infinito de soluciones dadas por (1/9x 3, 5/9x 3, x 3 ). Teorema 1.1 Un sistema homogéneo tiene un número infinito de soluciones si n > m. Ejemplo 1.10 Resuelva el siguiente sistema x 1 + x 2 x 3 = 0 4x 1 2x 2 + 7x 3 = 0

30 de Dos m con n GRACIAS POR SU ATENCIÓN