UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo

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1 IES Pdre Poved (Gudi UNIDAD 6: DERIVADAS.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine l ts de vrición medi de un unción y en un intervlo [ b] T. M. [, b] ( b (, como: b (,, B,, Si considero l rect que une A ( b ( b su pendiente es: [ b] m tgα T. M., Es usul escribir [, b] [, ], Con lo cul: siendo Etremo inerior del intervlo. Etremo superior del intervlo. Longitud del intervlo. m tgα T. M., [ ] ( ( Ejemplo: Hll l T.M. de l unción Los intervlos [, ]; [, ]; [, 4]. b El intervlo [, ]. en: Proesor: Rmón Lorente Nvrro.

2 IES Pdre Poved (Gudi. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. Un unción y es derivble en, si eiste el siguiente límite y es inito: ( lím En cuyo cso l vlor de este límite se le llm derivd de en, y se escribe (. lím ( ( Si tommos entonces con lo cul, l deinición nterior 0 0 de derivd de un unción en un punto equivle que eist: lím 0 ( ( Ejemplo: Se l unción. Clcul, usndo l deinición de derivd, ( 0, ( (. ( y Como emos visto en el ejemplo nterior, y que clculr un límite pr obtener l derivd de un unción en cd uno de los puntos en los que se nos pid, lo cul es un trbjo molesto y engorroso. Es preerible obtener l unción derivd de, es decir, que nos permit obtener ácilmente el vlor de l derivd de es unción en un punto culquier simplemente sustituyendo. Ejemplo: Hll l unción derivd de y úsl pr clculr de nuevo ( 0, ( (. y Proesor: Rmón Lorente Nvrro.

3 IES Pdre Poved (Gudi Tmbién se pueden clculr ls derivds sucesivs de un unción: Si derivmos dos veces l unción (es decir, cemos l derivd de l unción derivd obtenemos l derivd segund ; si derivmos tres veces obtenemos l derivd tercer y sí sucesivmente (tmbién se escribe y, y, y... Dico de un modo más orml: Si es un unción derivble en todos los puntos de un intervlo bierto ( b : (, b R se llm unción derivd de. : Si su vez es derivble en (, b obtenemos su derivd : (, b R,, entonces l unción: que se llm unción derivd segund de. Análogmente se pueden deinir, iv v,... Sin embrgo, pr derivr unciones NO es necesrio cerlo resolviendo límites como en el ejemplo nterior. Eisten sencills regls práctics, con ls que se pueden llr ácilmente ls derivds de ls unciones elementles. Vemos cules son ess regls.. REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN Sum y rest ( g ( g Producto y cociente ( g g Producto por un número ( k k Composición de unciones y unción recíproc ( g ( o ( ( Regl de l cden g g g [ g ] con ( y y Proesor: Rmón Lorente Nvrro.

4 IES Pdre Poved (Gudi TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Funciones simples Funciones compuests k 0 k k g k g k n n ln log e ( n ( n g n n n g g ( g n n n n n n n g ln g log ln ln ( e g e e ln g ln cos g sen g ( cos [ ] sen g cos g ( sen [ ] tg sec g tg [ ] g ( tg sec [ ] cos cos cos ec g cot g g ( cosec [ ] sen sen sen cos tg cot g sec tg sec g sec g ( tg sec[ ] cosec cot g cosec g cosec g ( cot g cos ec [ ] rcsen rccos rctg ( rccot g ( g rcsen ( g rccos ( g rctg ( ( g rccot g Proesor: Rmón Lorente Nvrro. 4

5 IES Pdre Poved (Gudi 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Qué ocurrido en l gráic de Tods ests rects son secntes l unción con un punto común A (, (. y l tomr este límite en l ts de vrición medi? Si 0 entonces P i A, con lo cul l i rect tngente en ( ( A, se obtiene como límite de ls rects secntes. Pero demás, l pendiente m de l rect tngente l unción en ( ( ( ( m tg α lím tg α lím ( El resultdo nterior ( que m ( i αi α 0 A, es:, es decir: se conoce como Interpretción geométric de l derivd y nos dice que: Pendiente de l rect tngente l gráic Derivd de un uncion en de l unción en el punto A(, ( 5. RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 5.. RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN y EN UN PUNTO A (, (. L ecución de l rect tngente en su orm punto pendiente es y ( m(. Pero m ( (Por l interpretción geométric de l Por tnto: y m ( ( ( ( derivd. [ ] Ecución de l rect tngente l gráic de en el punto A(, ( 5.. RECTA NORMAL A UNA FUNCIÓN y EN UN PUNTO A (, (. L ecución de l rect norml en su orm punto pendiente es y ( m ( ( ( m AP tgα T. M, m AP m AP tgα T V M.., [ ] tgα T V M..,. Ls rects tngente y norml son perpendiculres entre sí. Condición de perpendiculridd: m m m m ( Por tnto: Ecución de l rect norml y ( ( l gráic de en el punto A(, ( [ ] ( ( ( ( Proesor: Rmón Lorente Nvrro. 5

6 IES Pdre Poved (Gudi y ll: Ejemplo : Clcul l unción derivd de Ls pendientes de ls rects tngentes en ls bsciss, y. b Ls ecuciones de dics rects tngentes. Ejemplo : Clcul l ecución de l rect tngente y de l rect norml l gráic de l unción 5 en el punto de bscis. 6. DERIVADAS LATERALES. A los siguientes límites, si eisten y son initos, se les llm: ( ( lím 0 ( ( lím 0 Derivd por l derec de en. Derivd por l izquierd de en. Ambos límites reciben el nombre de derivds lterles de l unción en. Propiedd: es derivble en Eisten, son initos y ( ( En cuyo cso, Ejemplo: Comprueb que l unción vlor bsoluto derivble en 0. Represéntl. si Solución: si 0 < 0 ( 0 ( 0 ( 0 0 lím lím, que es continu en 0, no es lím ( 0 ( 0 ( 0 0 lím lím lím Por tnto, l unción no es derivble en 0. ( 0 ( 0 7. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Si observs el ejemplo nterior está clro que Un unción continu en NO tiene por qué ser derivble en (podrá serlo o no. Si es continu en pero no derivble en, tendremos puntos ngulosos (con pico como en ls dos primers igurs, o puntos de tngente verticl como en l tercer: Funciones continus en pero no derivbles en. Sin embrgo: Propiedd: Si es derivble en Por tnto: Si NO es continu en es continu en. NO puede ser derivble en. Función no continu en y, por tnto, no derivble en. Un unción derivble tendrá un gráic suve sin puntos ngulosos. Proesor: Rmón Lorente Nvrro. 6

7 IES Pdre Poved (Gudi Ejercicios:. Clcul l derivd de ls siguientes unciones: d e 5 g 6 4 j sen e m n o sen cos p cos tg b c 5 5 i 4 ( 5 k 7 e l e ln log ñ q sen sen cos s t ( tg u r 5 sen. Utiliz l regl de l cden pr llr l derivd de ls siguientes unciones: ( 6 b ( c ( d ( ( 4 e cos5 ln ( 4 7 g ln ( sen j 8 5 cos e m o i sen l 7 k sen( cos n log5( ñ tg cos 4 p sen tg q sen cos. Hll ls ecuciones de ls rects tngente y norml l gráic de ls siguientes unciones en los puntos indicdos: en. b ln en. c ln en e. 4. Estudie l continuidd y derivbilidd de ls unciones: si < si si. b. si > 8 si > si 0 < 5. Se l unción si 4 0 b si > 4 Clcul los vlores de y b pr que se continu en su dominio. b Estudi l derivbilidd de pr esos vlores de y b. 6. Obtén los vlores de y b sbiendo que es derivble l unción: e si. b si > Proesor: Rmón Lorente Nvrro. 7

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