1 Función real de dos variables reales

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1 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso Función real de dos variables reales Hasta el momento hemos estudiado funciones de una sola variable independiente. Sin embargo en la mayoría de los problemas comunes, las funciones que comparecen dependen de dos o más variables independientes. Por ejemplo el volumen de un cilindro circular, V r, h = πr h, depende de dos variables, el radio de la base r y la altura h. En esta sección estudiaremos este tipo de funciones, para las que usaremos una notación similar a la de las funciones de una sola variable Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado x, y D le corresponde un único número real fx, y, entonces se dice que f es una función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores fx, y es el rango o recorrido de f. En la función dada por z = fx, y, x e y son las variables independientes y z es la variable dependiente. Pueden darse definiciones similares para funciones de tres, cuatro o n variables, donde los dominios consistirían en conjuntos formados por ternas ordenadas x, y, z, cuaternas ordenadas x, y, z, t o n-uplas ordenadas x 1, x,..., x n, respectivamente. Hallar el dominio de cada función. a fx, y = x + y 9 x b gx, y, z = x 9 x y z a La función está definida para todos los pares x, y tales que x 0 y x + y 9. Por tanto el dominio de f está constituido por los puntos del plano que están sobre la circunferencia x + y = 9 o bien fuera de ésta, exceptuando los puntos del eje OY. b En este caso la función está definida para los puntos del espacio que verifican que x + y + z < 9. Luego el dominio de g lo constituyen los puntos interiores a la esfera de radio y centro el origen de coordenadas. Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las de una variable. f ± gx, y = fx, y ± gx, y Suma o diferencia fgx, y = fx, ygx, y λfx, y = λfx, y f fx, y x, y = g gx, y Producto Producto por un escalar gx, y 0 Cociente De forma análoga se pueden combinar funciones de tres o más variables. El dominio de las funciones resultantes es la intersección de los dominios de las funciones que intervienen en la operación. Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma cx n y m, donde c es un número real y m y n son números naturales, se denomina función polinómica de dos variables. Por ejemplo

2 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja fx, y = x y + x xy +. Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. La misma terminología se emplea para funciones de más variables. La gráfica de una función de dos variables f está constituida por las ternas x, y, z, tales que z = fx, y y x, y pertenecen al dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio, la cual nos da una idea visual del comportamiento de la propia función f. No siempre, en realidad casi nunca, es fácil representar la gráfica de una función de dos variables. Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es a través de las curvas de nivel, que son aquellas curvas contenidas en el dominio de la función y constituidas por los puntos donde la función toma el mismo valor, es decir {x, y : fx, y = c} con c variando en R. Dos ejemplos claros y cotidianos del concepto de curvas de nivel lo constituyen las isobaras igual presión atmosférica en un mapa cático y las líneas de contorno igual altura sobre el nivel del mar en un mapa topográfico. Ejemplo: Hallar las curvas de nivel asociadas al paraboloide hiperbólico dado por z = fx, y = y x. Para cada valor de c hemos de determinar la curva fx, y = c, es decir y x = c. para todo c 0 la ecuación y x = c, representa una hipérbola de asíntotas y = ±x. Si c > 0 el eje transversal es vertical y si c < 0 el eje transversal es horizontal. Por último, para c = 0 la curva de nivel está constituida por las dos asíntotas y = x e y = x. 1.1 Límites y continuidad El estudio del límite de una función de dos variables requiere que generalicemos, a R, el concepto que usamos en R de cercanía a un punto, a través de un intervalo de radio δ centrado en el mismo x 0 δ, x 0 + δ. Para ello hemos de pensar que si hablamos de los puntos que distan de x 0, y 0 menos de una cantidad δ > 0, tales puntos vendrán caracterizados por la siguiente inecuación x, y x 0, y 0 < δ x x 0 + y y 0 < δ x x 0 + y y 0 < δ, la cual reperesenta el interior de un círculo o disco centrado en x 0, y 0 y de radio δ. Se puede definir el δ- entorno de x 0, y 0 como el disco abierto, es decir, sin la circunferencia exterior, con radio δ > 0 centrado en x 0, y 0. Definición.- Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en x 0, y 0, excepto quizás en el propio x 0, y 0, y sea L un número real. Entonces fx, y = L x,y x 0,y 0 si para cada ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que fx, y L < ɛ, siempre que x x 0 + y y 0 < δ. En lenguaje coloquial, lo que se está exigiendo en la definición es que los puntos próximos a x 0, y 0 tenga su imagen próxima a L. Dicho así la cosa no difiere en absoluto del concepto de límite para funciones de una variable. Sin embargo hay una sutil pero fundamental diferencia. En una variable el acercamiento a un punto sólo admite dos direcciones, por la derecha o por la izquierda, mientras que en dos variables, al encontrase el dominio de la función contenido en el plano R, existen una infinidad de formas de acercarse a un punto: a través de rectas o cualquier curva que lo contenga o mediante sucesiones que lo tengan como límite. Evidentenmente, la existencia de un límite está condicionada a que su valor no dependa de la forma en que nos acerquemos al punto. Este hecho hace que el cálculo de límites para funciones de varias variables sea mucho más complicado que para el caso de una. Nosotros nos itaremos a estudiar algunos casos sencillos, utilizando todas las herramientas aprendidas en el cálculo de límites de funciones de una variable.

3 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja Calcular x,y 1, 5x y x + y Usando operatoria de límites, x,y 1, 5x y = 51 = 10 y x,y 1, x + y = 1 + = 5. Dado que el límite del denominador no se anula, el resultado buscado es Calcular x,y 0,0 5x y x + y x,y 1, 5x y x + y = 10 5 = Si actuamos como en el ejemplo anterior llegamos a una indeterminación del tipo 0. Una técnica muy usada 0 para vislumbrar por donde pueden ir las cosas son los denominados límites iterados, que representamos por [ ] fx, y x x 0 y y 0 y [ ] fx, y y y 0 x x 0 Estos límites están relacionados con fx, y = L, de la siguiente forma: si existe el límite, x,y x 0,y 0 deben existir los iterados y coincidir los tres. Ahora bien, la mera existencia y coincidencia de los iterados no garantiza la existencia del límite. Sin embargo, la no existencia de alguno o los dos iterados o bien la diferencia de valor entre ellos es garantía suficiente de la no existencia del límite. [ 5x ] [ y 5x ] y En nuestro caso x 0 y 0 x + y = 0 y y 0 x 0 x + y = 0. Por tanto todo apunta a que en caso de existir el límite doble, éste debe valer 0. Usemos la definición para demostrarlo. Sea x, y tal que x 0 + y 0 = x + y < δ, entonces fx, y 0 = 5x y x + y = 5 y x x + y < 5 y 5 x + y < 5δ = ɛ Por lo que basta elegir δ = ɛ 5. Mostrar que no existe el siguiente límite x,y 0,0 Calculemos en primer lugar los límites iterados x 0 y 0 Acercándonos al 0, 0 por la recta y = x [ [ x,y 0,0, y=x y 0 x 0 x y x + y x y ] x + y = 1 x y ] x + y = 1 x y x + y 0 = x 0 x = 0 Los límites iterados apuntan a que el valor del límite es 1 mientras que el acercamineto por la recta y = x nos lleva al valor 0. Por tanto no puede existir el límite, ya que si lo hiciese no dependería de la forma en que nos acercamos al punto.

4 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 4 Definición.- Una función f, de dos variables, es continua en un punto x 0, y 0 de una región abierta R si fx 0, y 0 es igual al límite de fx, y cuando x, y x 0, y 0. Es decir fx, y = fx 0, y 0 x,y x 0,y 0 La función f es continua en R si es continua en todo punto de R. Las funciones fx, y = 5x y x y x y gx, y = + y x + y, no son continuas en 0, 0. Sin embargo la primera función presenta una discontinuidad evitable, ya que al existir el correspondiente límite, podemos redefinir la función en el punto y conseguir la continuidad. Si k es un número real y f y g son funciones continuas en x 0, y 0, entonces las funciones siguientes son continuas en dicho punto. a kf b f ± g c fg d f g, si gx 0, y 0 0 Si h es continua en x 0, y 0 y g es continua en hx 0, y 0, entonces la función compuesta g hx, y = ghx, y es continua en x 0, y 0. Es decir x,y x 0,y 0 ghx, y = ghx 0, y 0 Nótese que h es una función de dos variables, mientra g es una función de una variable. Analizar la continuidad de las siguientes funciones a fx, y = x y x + y b gx, y = y x a La función es el cociente de dos funciones polinómicas, las cuales son continuas en todo R. Luego f es continua salvo en los puntos donde se anula el denominador, es decir en el punto 0, 0. b Nuevamente, tenemos el cociente de dos funciones continuas en todo R, con lo que tenemos garantizada la continuidad salvo en los puntos donde y = x. Derivadas parciales En el estudio de funciones de una variable se introduce el concepto de derivada como la tasa de variación de la función respecto a la variación de la variable independiente. En el caso de las funciones de varias variables podremos hablar de tasas de variación de la función respecto a la variación de cada una de las variables independientes, lo que nos llevará al concepto de derivadas parciales. Definición.- Si z = fx, y, las primeras derivadas parciales de f respecto a x e y son las funciones f x y f y, definidas por fx + x, y fx, y f x x, y = x 0 x fx, y + y fx, y ; f y x, y = y 0 y siempre y cuando exista el correspondiente límite.

5 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 5 Esta definición nos indica que si z = fx, y, para calcular f x hemos de considerar y constante y derivar respecto a x. De manera similar, para calcular f y consideramos x constante y derivamos respecto a y. Es bastante común usar otras notaciones para representar a las derivadas parciales, por ejemplo z x = f x = f = z, z y = f y = f = z. Las derivadas parciales evaluadas en un punto a, b se denotan por z = f x a, b y z a,b = f y a, b. a,b Hallar las derivadas parciales f x y f y de la función fx, y = x x y + x y. Si consideramos y como constante y derivamos respecto a x obtenemos f x x, y = xy + 6x y. Análogamente, si derivamos respecto a y considerando la x como constante, el resultado es f y x, y = x y + x. Dada fx, y = xe xy, hallar f x y f y, y evaluar cada una en el punto 1, ln. Como f x x, y = e xy + xe xy xy, entonces f x 1, ln = e ln + e ln ln = + 4 ln. Por otro lado f y x, y = xe xy x = x e xy, entonces f y 1, ln = e ln =. De forma análoga a lo que sucede con la derivada ordinaria, podemos calcular las segundas, terceras, etc. derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que existan. Por ejemplo, la función z = fx, y tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden f = f = f xx, f = f = f yy, f = f = f xy, f = f = f yx Las dos últimas derivadas parciales de segundo orden, es decir f xy y f yx, reciben el nombre de derivadas parciales mixtas cruzadas. Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de segundo orden de fx, y = xy y + 5x y, y determinar el valor de f xy 1,. Comenzamos hallando las derivadas parciales de primer orden f x x, y = y + 10xy y f y x, y = 6xy + 10x y Ahora derivamos cada una de estas funciones respecto a las dos variables f xx x, y = 10y, f yy x, y = 6x + 10x, f xy x, y = 6y + 0xy, f yx x, y = 6y + 0xy por lo que f xy 1, = 1 40 = 8 No es casualidad que en el ejemplo anterior las derivadas parciales mixtas sean iguales. Este hecho se pone de manifiesto en el siguiente teorema Si f es una función de x e y, tal que f xy y f yx son continuas en un disco abierto R, entonces, para todo x, y R. f xy x, y = f yx x, y

6 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 6.1 Diferenciales Dada una función z = fx, y, y dados x y y los incrementos de x e y, respectivamente, entonces el incremento en z está dado por z = fx + x, y + y fx, y Definición.- Si z = fx, y y x y y son los incrementos en x e y, entonces las diferenciales de las variables independientes x e y son dx = x y dy = y, y la diferencial total de la variable dependiente z es dz = z z dx + dy = f xx, y dx + f y x, y dy Ejemplo: Hallar la diferencial total de la función z = x sen y x y sol : dz = sen y 6xy dx + x cos y 6x ydy Definición.- Una función f dada por z = fx, y es diferenciable en x 0, y 0 si z en el punto puede aproximarse por la diferencial total, es decir, z = fx 0 + x, y 0 + y fx 0, y 0 = f x x 0, y 0 x + f y x 0, y 0 y + ɛ 1 x + ɛ y, donde ɛ 1 y ɛ tienden a cero cuando x, y 0, 0. La función f es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R. Ejemplo: La función z = fx, y = x + y es diferenciable en todo punto del plano, ya que z = fx + x, y + y fx, y = x + x + y + y x + y = x x + x + y = = x x + y + x x + 0 y = f x x, y x + f y x, y y + ɛ 1 x + ɛ y donde ɛ 1 = x y ɛ = 0 tienden a cero cuando x, y 0, 0. : Si f es una función de x e y, para la que f x y f y son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R. : Si z = fx, y es diferenciable en x 0, y 0, entonces f es continua en dicho punto. Nota: Debe tenerse en cuenta que el concepto de diferenciable para funciones de varias variables no coincide con el de funciones de una variable, ya que pueden existir las derivadas parciales y sin embargo no ser diferenciable la función. xy x Ejemplo: La función fx, y =, x, y 0, 0 + y, posee derivadas parciales en 0, 0 y, sin 0, x, y = 0, 0 embargo, no es diferenciable en dicho punto. fx + x, y fx, y 0 0 f x 0, 0 = = x 0 x x 0 x = 0 fx, y + y fx, y 0 0 f y 0, 0 = = y 0 y y 0 y = 0 Por otro lado, no es complicado comprobar que esta función no es continua en 0, 0, lo que implica que no es diferenciable en el punto. Para ello basta calcular el límite de fx, y cuando x, y tiende a 0, 0 acercándonos

7 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 7 por la recta y = x en primer lugar para obtener, y luego acercándonos por la recta y = x obteniéndose entonces. Si una función es diferenciable en un punto x 0, y 0 podemos, usando la definición de diferenciabilidad, tomar x y y suficientemente pequeños para obtener aproximaciones de las variaciones de f a partir de x 0, y 0 mediante la diferencial total. z = fx 0 + x, y 0 + y fx 0, y 0 = f x x 0, y 0 x + f y x 0, y 0 y + ɛ 1 x + ɛ y = dz + ɛ 1 x + ɛ y dz Ejemplo: Dada la función z = fx, y = 4 x y, usar la diferencial total de z para calcular el valor aproximado de f1.01, En primer lugar buscamos un punto próximo a 1.01, 0.97 donde sea fácil evaluar la función y sus derivadas parciales; en nuestro caso, tomaremos el punto 1, 1 = x 0, y 0. Las derivadas parciales de f, f x = 4 x y x y y f y =, son continuas en 1, 1 y por tanto f es diferenciable en dicho punto, lo que nos 4 x y garantiza que z = f1 + x, 1 + y f1, 1 f x 1, 1 x + f y 1, 1 y siendo x = = 0.01 y y = = 0.0. Luego f1.01, 0.97 f1, = [ ] = Reglas de la cadena para funciones de varias variables Regla de la cadena: una variable independiente Sea w = fx, y, donde f es una función derivable de x e y. Si x = gt e y = ht, donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función derivable de t, y dw dt = w dx dt + w Ejemplo: Sea w = x y y, donde x = sen t e y = e t. Hallar dw dt dw dt = w dx dt + w dy dt cuando t = 0. dy dt = xycos t + x ye t = sen te t cos t + sen t e t e t Luego cuando t = 0, se tiene que dw dt =. La regla de la cadena para una variable independiente puede extenderse a funciones w = fx 1, x,..., x n, siendo cada x i una función derivable de una sola variable t, quedando entonces dw dt = w dx 1 1 dt + w dx dt w n Regla de la cadena: dos variables independientes Sea w = fx, y, donde f es una función diferenciable de x e y. Si x = gs, t e y = hs, t, son tales que las derivadas parciales de primer orden s, t, s y t w s = w s + w s dx n dt w existen, entonces s y w t y w t = w t + w t existen y están dadas por

8 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 8 Ejemplo: Utilizar la regla de la cadena para hallar w s y w w s = w w t = w t s + w + w = ys + x s 1 t t = yt + x s t = t, dada w = xy, donde x = s + t e y = s t. s 1 = s + s + t = 6s + t t t t s s + s + t s t t = st s La regla de la cadena puede ser utilizada para hallar la derivada de una función definida implícitamente. Supongamos que x e y están relacionados mediante la ecuación F x, y = 0 y que y = fx es una función derivable de x. Entonces si aplicamos la regla de la cadena a la función w = F x, y = F x, fx, obtenemos dw dx = F xx, y dx dx + F yx, y dy dx Dado que w = F x, y = 0 para todo x del dominio de f, se tiene que dw = 0, por lo que dx F x x, y dx dx + F yx, y dy dx = 0 Siempre que F y x, y 0 y dado que dx = 1, podemos concluir que dx dy dx = F xx, y F y x, y Este procedimiento puede extenderse para hallar derivadas parciales de funciones de varias variables definidas de forma implícita. Si la ecuación F x, y = 0 define a y implícitamente como función derivable de x, entonces dy dx = F xx, y F y x, y, F yx, y 0 Si la ecuación F x, y, z = 0 define a z implícitamente como función diferenciable de x e y, entonces z = F xx, y, z F z x, y, z, Hallar dy dx, dada la ecuación y + y 5y x + 4 = 0. Sea F x, y = y + y 5y x + 4, hallemos F x y F y. Luego z = F yx, y, z F z x, y, z, F zx, y, z 0 F x x, y = x, F y x, y = y + y 5 dy dx = F xx, y F y x, y = x y + y 5 = x y + y 5 Encontrar z y z, dada la ecuación x z x y + z + yz 5 = 0. Tomemos F x, y, z = x z x y + z + yz 5, entonces Con lo que F x x, y, z = 6xz xy, f y x, y, z = x y + z, F z x, y, z = x + 6z + y z = F xx, y, z F z x, y, z = xy 6xz x + 6z + y, z = F yx, y, z F z x, y, z = x y z x + 6z + y t

9 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 9 Derivadas direccionales y gradientes.1 Derivada direccional En muchas ocasiones puede ser interesante conocer cuál va a ser la tasa de variación de una función al desplazarnos desde un punto de su dominio siguiendo una dirección determinada. Para determinar esta tasa se introducirá un nuevo tipo de derivada que denominamos derivada direccional. Definición.- Sea f una función de dos variables x e y, y sea u = cos θ i + sen θ j un vector unitario. Entonces la derivada direccional de f en el punto x 0, y 0, de su dominio, en la dirección de u, que se denota D u fx 0, y 0, es fx 0 + t cos θ, y 0 + t sen θ fx 0, y 0 D u fx 0, y 0 = t 0 t Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f en el punto x 0, y 0 en la dirección del vector unitario u = cos θ i + sen θ j es D u fx 0, y 0 = f x x 0, y 0, f y x 0, y 0 u = f x x 0, y 0 cos θ + f y x 0, y 0 sen θ Hallar la derivada direccional de fx, y = 4 x y en 1, en la dirección de 4 u = cos π i + sen π j. Como f x x, y = x y f y x, y = y son continuas en 1,, f es diferenciable en dicho punto, por lo que 1 D u f1, = f x 1,, f y 1, u = + 1 = Hallar la derivada direccional de fx, y = x seny en el punto 1, π en la dirección de v =, 4. Nuevamente, f x x, y = x seny y f y x, y = x cosy son continuas y por tanto f es diferenciable, f x por lo que D u f 1, π Tomando u = v v = = 5, 4 5 1, π, tenemos D u f, f y 1, π u, siendo u, un vector unitario en la dirección de v. 1, π = sen π + cos π 4 = El gradiente de una función de dos variables Definición.- Sea z = fx, y una función tal que f x y f y existen. Entonces el gradiente de f, denotado por fx, y o gradfx, y, es el vector fx, y = f x x, y i + f y x, y j Ejemplo: Hallar el gradiente de fx, y = y ln x + xy en el punto 1,. y fx, y = f x x, y i + f y x, y j = x + y, ln x + xy

10 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 10 por lo que en el punto 1,, obtendremos f1, = f x 1, i + f y 1, j = 6, 4 Si f es diferenciable, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es D u fx, y = fx, y u Ejemplo: Hallar la derivada direccional de fx, y = x y en 4, 0, en la dirección de P 4, 0 a Q0, 1. f x = 6x y f y = 4y son continuas, luego f es diferenciable. Por otro lado un vector en la dirección marcada será v = P Q = 0 4, 1 0 = 4, 1, y un vector unitario en esta dirección viene dado por v v = 5, 4. 5 Por lo tanto D u f 4, 0 = f 4, 0 u = 9, 0 5, 4 = Sea f diferenciable en el punto x, y. 1. Si fx, y = 0, entonces D u fx, y = 0 para todo u.. La dirección de máximo incremento de f está dada por fx, y. El valor máximo de D u fx, y es fx, y.. La dirección de mínimo incremento de f está dada por fx, y. El valor mínimo de D u fx, y es fx, y. Ejemplo: La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es T x, y = 0 4x y, donde x e y se miden en centímetros. En qué dirección a partir de, aumenta más rápido la temperatura? Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento? El gradiente de f es T x, y = T x x, y, T y x, y = 8x, y, por lo que la dirección de máximo crecimiento viene dada por T, = 16, 6. La tasa o ritmo de crecimiento es T, = = por centímetro. Si f es diferenciable en x 0, y 0 y fx 0, y 0 0, entonces fx 0, y 0 es normal ortogonal a la curva de nivel que pasa por x 0, y 0.. Planos tangentes y rectas normales La ecuación del plano tangente en un punto x 0, y 0, z 0 a una superficie dada por z = fx, y, viene dada por f x x 0, y 0 x x 0 + f y x 0, y 0 y y 0 z z 0 = 0 Ejemplo: Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = x + 4y en el punto 1, 1, 1. No está de más comprobar que el punto yace en la superficie = = 1 1 = 1

11 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 11 Ahora calculamos las derivadas parciales de z = fx, y = x + 4y, obteniéndose f x x, y = x 5 y f y x, y = 4y. Por lo tanto la ecuación del plano es 5 f x x 0, y 0 x x 0 + f y x 0, y 0 y y 0 z z 0 = x y 1 z 1 = 0 Las ecuaciones de la recta normal en un punto x 0, y 0, z 0 a una superficie dada por z = fx, y, vienen dadas por x x 0 f x x 0, y 0 = y y 0 f y x 0, y 0 = z z 0 1 Ejemplo: Hallar las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada por xyz = 1 en el punto,,. Dado que = 1, el punto está sobre la superficie. Tomemos z = 1 y calculemos sus derivadas xy parciales z x = 1 x z y = 1 y xy Luego, la recta viene dada por x = y + = z + 4 Extremos relativos En esta sección se presentarán las técnicas, análogas a las vistas para funciones de una variable, para la búsqueda de máximos y mínimos de funciones de dos variables. Definición.- Sea f una función definida en una región R que contiene a x 0, y La función f tiene un mínimo relativo en x 0, y 0, si fx, y fx 0, y 0 para todo x, y perteneciente a un disco abierto que contiene a x 0, y 0.. La función f tiene un máximo relativo en x 0, y 0, si fx, y fx 0, y 0 para todo x, y perteneciente a un disco abierto que contiene a x 0, y 0. Para localizar los extremos relativos de f, se estudian los puntos donde el gradiente de f es 0 y los puntos del dominio de f para los que no existe una de las derivadas parciales. Definición.- Sea f definida en una región R que contiene a x 0, y 0. El punto x 0, y 0 es un punto crítico de f si se verifica alguna de las condiciones siguientes: 1. f x x 0, y 0 = f y x 0, y 0 = 0. f x x 0, y 0 o f y x 0, y 0 no existe Si f tiene un extremo relativo, máximo o mínimo, en x 0, y 0 en una región abierta R, entonces x 0, y 0 es un punto crítico

12 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Hallar los extremos relativos de fx, y = x + y + 8x 6y + 0. Comenzamos buscando los puntos críticos de la función. Para ello hemos de calcular las derivadas parciales primeras. f x x, y = 4x + 8 ; f y x, y = y 6 Dado que f x y f y existen en todo punto, los puntos críticos serán aquellos para los que estas dos funciones se anulen a la vez, es decir, las soluciones del sistema 4x + 8 = 0 y y 6 = 0. En este caso hablamos de un único punto x = e y =. Para comprobar si el punto, es un máximo relativo, mínimo relativo o cualquier otra cosa, vamos a expresar la función f de forma equivalente ajustando cuadrados. x + 8x = x + 4x = x + 8, por otro lado y 6y = y 9; luego podemos reescribir la función como fx, y = x + + y +. Evidentemente el menor valor que puede tomar la función es, y como este es precisamente el valor de f,, podemos concluir que en este punto hay un mínimo. Determinar los extremos relativos de fx, y = 1 x + y 1. Nuevamente comenzamos calculando las derivadas parciales de f x f x x, y = x + y y ; f y x, y = x + y Como puede comprobarse las derivadas parciales existen en todo punto salvo en 0, 0 y no se anulan simultáneamente en nigún otro punto. Por tanto el 0, 0 es el único punto crítico. Para determinar su carácter, basta darse cuenta de que la función f toma siempre valores inferiores a 1 en todo punto x, y 0, 0 y que f0, 0 = 1. Por lo tanto, en 0, 0 hay un máximo. Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto la necesidad de dar con un método más mecánico y general que nos permita dilucidar el carácter de los puntos críticos. Criterio de las segundas derivadas parciales Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto a, b para el cual f x a, b = f y a, b = 0. Para buscar los extremos relativos de f, considérese el número d = f xx a, bf yy a, b [f xy a, b] 1. Si d > 0 y f xx a, b > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en a, b.. Si d > 0 y f xx a, b < 0, entonces f tiene un máximo relativo en a, b.. Si d < 0, entonces a, b, fa, b es un punto de silla. 4. si d = 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión. Identificar los extremos relativos de fx, y = x + 4xy y + 1. Hallemos los puntos críticos. Haciendo f x x, y = f y x, y = 0 obtenemos el sistema x + 4y = 0 y 4x 4y = 0. La segunda ecuación nos indica que x = y y llevando este resultado a la primera ecuación, resulta x = 0 o bien x = 4 4. Por lo tanto hemos hallado dos puntos críticos P 10, 0 y P, 4. Para saber su carácter, aplicaremos el último teorema, para lo que hemos de calcular las derivadas parciales de segundo orden f xx x, y = 6x, f yy x, y = 4, f xy x, y = 4 sustituyendo estas derivadas en los puntos críticos obtenemos

13 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Para el punto P 1 0, 0 d = f xx 0, 0f yy 0, 0 [f xy 0, 0] = 0 16 = 16 < 0 por lo que el punto 0, 0, 1 es un punto de silla. 4 Para el punto P, 4 d = f xx 4, 4 f yy 4, 4 [f xy 4, 4 ] = = 16 > 0 y dado que f xx 4, 4 = 8 < 0, se concluye que f posee un máximo relativo en 4, 4. Hallar los extremos relativos de fx, y = x y. Comencemos resolviendo el sistema f x x, y = f y x, y = 0, es decir xy = 0 y x y = 0, cuyas soluciones son los puntos x, y tales que x = 0 o bien y = 0, en otras palabras, todos los puntos que están sobre los ejes coordenados. Calculemos ahora las derivadas parciales segundas f xx x, y = y, f yy x, y = x, f xy x, y = 4xy. Con esto tenemos que d = 4x y 16x y = 1x y, y este valor es cero tanto para los puntos de la forma x, 0 como para los de la forma 0, y. Por tanto el criterio no es concluyente en este caso. Sin embargo, podemos observar que fx, 0 = 0 = f0, y mientras que fx, y > 0 en el resto de puntos del plano, lo que nos demuestra que en todos los puntos sobre los ejes coordenados tenemos mínimos. Como aplicación de lo visto hasta ahora en esta sección, presentamos un par de ejemplos de optimización Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen de coordenadas. El vértice opuesto está sobre el plano 6x + 4y + z = 4. Hallar el volumen máximo de la caja. El volumen de la caja es V = xyz siendo x, y y z el largo, ancho y alto de la caja respectivamente. Teniendo en cuenta que estas dimensiones coinciden con las coordenadas del vértice opuesto al origen de coordenadas y que éste está sobre el plano dado, podemos obtener z en función de x e y, z = 1 4 6x 4y. Llevando este valor de z a la expresión que nos da el volumen, obtendremos una función de dos variables. V x, y = xy 1 4 6x 4y = 1 4xy 6x y 4xy y la solución del problema la encontraremos estudiando esta función para ver si tiene, y en tal caso dónde, un máximo. Hallemos los puntos críticos: V x x, y = V y x, y = 0 V x x, y = 1 4y 1xy 4y = y 4 1x 4y = 0 V x x, y = 1 4x 6x 8xy = x 4 6x 8y = 0 4 Se obtienen los puntos críticos 0, 0 y,. Claramente hemos de desechar el 0, 0, pues en ese punto el volumen vale cero. Todo apunta a que nuestra solución está en el segundo punto. Para asegurarnos

14 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 14 vamos a aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales. V xx x, y = 4y, V yy x, y = 8x, V xy x, y = 1 4 1x 8y. [ ] d = V xx, V yy, V xy, = 64 > 0 4 y como V xx, = 8 < 0, el criterio nos garantiza que en este punto tenemos un máximo, siendo el 4 volumen V, = 64 9 u.v. Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P en dolares obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD e y unidades de un grabador de DVD se aproxima mediante el modelo P x, y = 8x + 10y 0.001x + xy + y Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. Cuál es la ganancia máxima? Las derivadas parciales de la función beneficio son P x x, y = x 0.001y y P y x, y = x 0.00y Igualando estas derivadas a cero obtendremos el sistema de ecuaciones cuyas soluciones constituyen los puntos críticos x 0.001y = 0 y x 0.00y = 0 x + y = 8000 y x + y = Resolviendo el sistema llegamos a que x = 000 e y = Dado que sólo tenemos un punto crítico, lo lógico sería que éste fuese el máximo buscado. No obstante, aplicaremos el criterio de las segundas derivadas parciales para asegurarnos. P xx x, y = 0.00, P yy x, y = 0.00, P xy x, y = d = > 0 Dado que d > 0 y P xx x, y < 0 en cualquier punto, en particular en el 000, 4000, podemos concluir que en dicho punto se encuentra un máximo. Para averiguar cual sería el beneficio máximo, basta con hallar el valor de P en el punto 000, P 000, 4000 = [ ] = 18000$ 4.1 Multiplicadores de Lagrange Con frecuencia los problemas de optimización tienen restricciones o ligaduras para los valores que podemos aceptar como solución. En general estas restricciones complican el problema. En este apartado estudiaremos una técnica más o menos sencilla para resolver estos problemas. Esta técnica se conoce como el método de los multiplicadores de Lagrange. Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en un punto x 0, y 0 sobre la curva de restricción o ligadura gx, y = c. Si gx 0, y 0 0, entonces existe un número real λ tal que fx 0, y 0 = λ gx 0, y 0 Al escalar λ se le denomina un multiplicador de Lagrange. El método de los multiplicadores de Lagrange hace uso de este teorema para encontrar los extremos de una función sujeta a una restricción. Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema anterior y supongamos que f tiene un mínimo o un máximo sujeto a la ligadura gx, y = c. Para hallar este extremo de f habrá de seguirse los siguientes pasos

15 Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja Resolver simultáneamente las ecuaciones fx, y = λ gx, y y gx, y = c, resolviendo el sistema de ecuaciones f x x, y = λ g x x, y f y x, y = λ g y x, y gx, y = c. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el paso anterior. El mayor valor da el máximo de f sujeto a la restricción gx, y = c, y el menor valor da el mínimo de f sujeto a la restricción gx, y = c. Hallar el valor máximo de fx, y = 4xy donde x > 0 e y > 0, sujeto a la restricción o ligadura x + y 4 = 1. El primer paso consiste en resolver el sistema f x x, y = λ g x x, y 4y = λ 9 x f y x, y = λ g y x, y 4x = λ 1 8 y gx, y = c x + y 4 = 1 Despejando λ en la primera ecuación se obtiene λ = 18y x x = 9 16 y. Sustituyendo x en la tercera ecuación, se tiene y y = 1 y = 8 y = ± y llevando este valor a la segunda, obtenemos como se estableció que y > 0 se toma el valor positivo, y llevando éste a la igualdad x = 9 16 y, nos queda x =. Por lo tanto, el valor máximo pedido es f, = 4. La función de producción de Cobb-Douglas para un fabricante de software está dada por fx, y = 100x 1 4 y 4, donde x representa las unidades de trabajo a 150$ por unidad e y representa las unidades de capital a 50$ por unidad. El costo total de trabajo y capital está itado a 50000$. Hallar el nivel máximo de producción de este fabricante. De la función dada se tiene que fx, y = 75x y 4, 5x 4 y 4. El límite para el costo de trabajo y capital viene dado por la restrcción gx, y = 150x+50y = Por lo tanto λ gx, y = 150λ, 50λ, lo que da lugar al siguiente sistema de ecuaciones 75x 1 4 y 1 4 = 150λ; 5x 4 y 4 = 50λ; 150x + 50y = Despejando λ en la primera ecuación obtenemos λ = x 1 4 y 1 4, y llevando este valor a la segunda ecuación,nos queda x = 5y. Por último sustituyendo en la tercera ecuación, se consigue x = 50 unidades dectrabajo e y = 50 unidades de capital. Por tanto el nivel máximo de producción es f50, 50 = unidades del producto. Los economistas llaman al multiplicador de Lagrange obtenido en una función de producción productividad marginal del capital. En este caso, la productividad marginal de capital en x = 50 e y = 50 es λ = x 1 4 y