Práctica 4: Aplicaciones de la derivada: representación gráfica de funciones y polinomio de Taylor.

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1 1 de 12 08/07/ :55 To print higher-resolution math symbols, click the Hi-Res Fonts for Printing button on the jsmath control panel. If the math symbols print as black boxes, turn off image alpha channels using the Options pane of the jsmath control panel. Práctica 4: Aplicaciones de la derivada: representación gráfica de funciones y polinomio de Taylor. Los objetivos de esta práctica son: Realizar un estudio de las gráficas de las funciones (dominio, asíntotas, monotonía, extremos, concavidad y convexidad). Calcular polinomios de Taylor. Representar gráficamente el error cometido al aproximar una función por su polinomio de Taylor. Uso de la fórmula de Young para calcular límites Representación gráfica de funciones 1) Estudiar y representar la función f(x)=(x^2+2)/(x-3) (dominio de definición, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión). Para empezar borramos el posible valor que pueda tener asignado la f: reset("f") f(x)=(x^2+2)/(x-3) Representamos la función. plot(f(x),-50,50,ymin=-150,ymax=150)

2 2 de 12 08/07/ :55 Dominio: Es un cociente de polinomios y el dominio de los polinomios es todo R. El dominio de un cociente de funciones es la intersección de los dominios excepto los puntos donde se anula el denominador. En este caso, el denominador sólo se anula en 3, así que el dominio es R-{3}. Si el denominador hubiera sido más complicado, hubiéramos podido calcular sus ceros usando solve, pero en este caso no merece la pena. solve(x-3==0,x) [x == 3] Asíntotas Verticales: limit(f(x),x=3,dir="minus") -Infinity limit(f(x),x=3,dir="plus") +Infinity Por tanto hay una asíntota vertical en x=3. A continuación, podemos ver la gráfica en un rango más pequeño de x y de y: plot(f(x),-15,25,ymin=-10,ymax=30) Asíntotas Horizontales: limit(f(x),x=oo) +Infinity limit(f(x),x=-oo) -Infinity

3 3 de 12 08/07/ :55 No tiene asíntotas horizontales, por tanto puede tener oblicuas. AsíntotasOblicuas: limit(f(x)/x,x=oo) 1 limit(f(x)-x,x=oo) 3 De modo que la recta y=x+3 es una asíntota de f(x) cuando x. Ahora veamos cuando x : limit(f(x)/x,x=-oo) 1 limit(f(x)-x,x=-oo) 3 Así que la misma recta y=x+3 es asíntota cuando x. Podemos representar la función y la asíntota juntas, la primera de color rojo y la segunda azul: plot(f(x),-15,25,ymin=-10,ymax=30,rgbcolor= (1,0,0))+plot(x+3,-15,25,ymin=-10,ymax=30,rgbcolor=(0,0,1)) Crecimiento y Decrecimiento. Extremos relativos: Se advierte que la función tiene un máximo relativo cerca de 0 ( quizá en 0?) y un mínimo relativo cerca de 6. Vamos a calcularlos mediante el estudio de la derivada de f (la función f es derivable): diff(f(x)) 2*x/(x - 3) - (x^2 + 2)/(x - 3)^2

4 4 de 12 08/07/ :55 diff(f(x)).simplify_rational() (x^2-6*x - 2)/(x^2-6*x + 9) Estudiamos el signo de la derivada. solve(x^2-6*x-2>0,x) [[x < -sqrt(11) + 3], [x > sqrt(11) + 3]] Luego la función es estrictamente creciente en el intervalo ( 3 11) y en el intervalos ( ). Y es estrictamente decreciente en los intervalos ( ) y ( ). Calculemos ahora los posibles extremos: solve(diff(f(x))==0,x) [x == -sqrt(11) + 3, x == sqrt(11) + 3] Por el estudio del crecimiento y decrecimiento, sabemos que x =3 11 es un máximo relativo, mientras que x =3+ 11 es un mínimo relativo. También lo podemos ver calculando la segunda derivada en estos puntos. g(x)=diff(f(x),2) g(3-sqrt(11)) -2/121*((sqrt(11) - 3)^2 + 2)*sqrt(11) + 2/11*sqrt(11) - 12/11 N(g(3-sqrt(11)),digits=10) Por tanto máximo, y g(3+sqrt(11)) 2/121*((sqrt(11) + 3)^2 + 2)*sqrt(11) - 2/11*sqrt(11) - 12/11 N(g(3+sqrt(11)),digits=10) por tanto mínimo. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión: Estudiamos la segunda derivada: g x --> 2/(x - 3) - 4*x/(x - 3)^2 + 2*(x^2 + 2)/(x - 3)^3 g.simplify_rational() x --> 22/(x^3-9*x^2 + 27*x - 27) solve(g(x)>0,x)

5 5 de 12 08/07/ :55 [[x > 3]] solve(g(x)<0,x) [[x < 3]] Por tanto, es convexa en (3 ) y es cóncava en ( 3). Calculamos ahora los puntos de inflexión: solve(g(x)==0,x) [] Por tanto no hay puntos de inflexión. Volvemos a dibujar la gráfica para comprobar que todo es correcto: punto1=point((3-sqrt(11),f(3-sqrt(11))),pointsize=80,rgbcolor= (0,1,0)) punto2=point((3+sqrt(11),f(3+sqrt(11))),pointsize=80,rgbcolor= (0,1,0)) gr1=plot(f(x),-15,20,ymin=-10,ymax=30,thickness=2,rgbcolor=(1,0,0)) gr2=plot(x+3,-15,20,ymin=-10,ymax=30,thickness=2,rgbcolor=(0,0,1)) show(gr1+gr2+punto1+punto2) Ejercicios propuestos: 1) Estudiar los extremos absolutos y relativos de la función f(x)=1/(2x^4-x+1) en: a) todo su dominio;

6 6 de 12 08/07/ :55 b) en el intervalo [0,1]. 2) Estudiar y representar la función f(x)=x^3/(x+1)^2 (dominio de definición, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y absolutos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión). 3) Estudiar y representar la función f(x)=(x^2-5x+4)/(x^2-5x+6) (dominio de definición, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y absolutos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión). 4) Estudiar y representar la función f(x) = 4x 2 x (dominio de definición, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y absolutos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión). 4.2 Serie de Taylor Las órdenes necesarias en este apartado son: taylor(f,x,a,n) genera el polinomio de Taylor de orden n de la función f en el punto a. Veamos como la función log(1+x) es aproximada por su polinomio de MacLaurin en el intervalos [-1,1] a medida que aumenta el grado del polinomio. f(x)=log(1+x) tay=animate([(f(x),taylor(f(x),x,0,k)) for k in srange (1,30,1)],xmin=-1,xmax=1,ymin=-5,ymax=1) tay.show(delay=20,iterations=1)

7 7 de 12 08/07/ :55 Introducción teórica: Ejemplos: 1) Escribir en potencias de (x-1). taylor(x^4+x^3-3*x^2+4*x-4,x,1,4) (x - 1)^4 + 5*(x - 1)^3 + 6*(x - 1)^2 + 5*x - 6 2) Hallar un polinomio que aproxime la función e^x en el intervalo [-1,1] con un error menor que 10^(-2). reset("f") x 4 + x 3 3x 2 +4x 4 f(x)=e^x plot(f(x),-1,1)

8 8 de 12 08/07/ :55 Con la orden taylor obtenemos su desarrollo de Taylor en el punto y del orden que queramos. Por ejemplo, en el punto x=0 y de orden 2: poli=taylor(f(x),x,0,2) 1/2*x^2 + x + 1 Y podemos representar el polinomio de orden 2, por ejemplo: plot(poli,-1,1,ymin=0,ymax=2.5) Representamos la función f, de color rojo, y el polinomio de grado 2, de color azul: plot(f(x),-1,1,ymin=0,ymax=2.5,rgbcolor= (1,0,0))+plot(poli,-1,1,ymin=0,ymax=2.5,rgbcolor=(0,0,1))

9 9 de 12 08/07/ :55 Con qué error aproxima este polinomio a la función? El error es el valor absoluto de la diferencia. En la gráfica anterior no se ve bien de qué tamaño es este error, así que vamos a representarlo: plot(abs(f(x)-poli),-1,1,ymin=0,ymax=0.2,rgbcolor=(1,0,0)) Nos piden que el error sea menor que 10-2 y en este caso claramente no lo es. Por si hubiera alguna duda, repetimos la gráfica añadiendo la recta y=10-2 en azul. El error está en rojo. plot(abs(f(x)-poli),-1,1,ymin=0,ymax=0.2,rgbcolor= (1,0,0))+plot(10^(-2),-1,1,rgbcolor=(0,0,1))

10 10 de 12 08/07/ :55 Ahora podemos tantear con polinomios de mayor grado, hasta que la gráfica del error (en color rojo) quede por debajo de la recta horizontal en todo el intervalo [-1,1]. Empezamos con el polinomio de grado 3. poli=taylor(f(x),x,0,3) plot(abs(f(x)-poli),-1,1,ymin=0,ymax=0.2,rgbcolor= (1,0,0))+plot(10^(-2),-1,1,rgbcolor=(0,0,1)) Tampoco sirve. El de grado 4 (sería más fácil, en vez de repetir, escribir sobre la orden anterior): poli=taylor(f(x),x,0,4) plot(abs(f(x)-poli),-1,1,ymin=0,ymax=0.2,rgbcolor= (1,0,0))+plot(10^(-2),-1,1,rgbcolor=(0,0,1))

11 11 de 12 08/07/ :55 No está muy claro si sirve o no. Dibujamos la gráfica cerca de 1: plot(abs(f(x)-poli),0.9,1,rgbcolor= (1,0,0))+plot(10^(-2),0.9,1,rgbcolor=(0,0,1)) Si SAGE no está equivocado, el polinomio de grado 4 resuelve nuestro problema. Recordemos cuál es el polinomio poli 1/24*x^4 + 1/6*x^3 + 1/2*x^2 + x + 1 Deberíamos probar con el rigor debido que esa es la solución. Pero eso lo hacemos en papel. 4) Utilizando la serie de Taylor, calcular el límite cuando x 0 de la función

12 12 de 12 08/07/ :55 (sin x x) log (x + x 2 +1) x cos x Este límite podría calcularse automáticamente mediante la orden limit que vimos en anteriores prácticas. No obstante, para ejercitarnos, utilizaremos el Teorema de Young. taylor(cos(x)-1+x^2/2,x,0,5) 1/24*x^4 taylor((sin(x)-x)*log(x+sqrt(x^2+1)),x,0,5) -1/6*x^4 Aplicando equivalencias tengo: x Esto significa que la función cos x es equivalente a x 24. lim((-x^4/6)/(x^4/24),x=0) -4 Ejercicios propuestos: 1) Hallar un polinomio que aproxime la función en el intervalo [-1,1] con un error menor que 16+x 10^(-3). 2) Hallar un polinomio que aproxima la función x e 5 sin(x) en el intervalo [ ] con un error menor que 10^(-2). 3) Utilizando la serie de McLaurin, calcula la derivada de orden 98 en cero de la función tan(x^2). Lo mismo para la derivada de orden ) Hallar el límite cuando x->0 de la función x 2 x arctan x x 3 3 log(1 + x) x 1 1+x+x 2 1+x 2 sin x