EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL AÑO 014

2 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 1: FUNCIONES DE VARIABLE REAL. 1. Clasifique las siguientes funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, sabiendo que el dominio y el codominio son el conjunto de números reales: Rta. No inyectiva, no sobreyectiva, no biyectiva. Rta. Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Rta. Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Rta. No es una función uniforme o univaluada. Rta. Es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva.. Clasifique las siguientes funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, sabiendo que el dominio es el conjunto de números naturales y el codominio es el conjunto de números reales: Rta. No inyectiva, sobreyectiva, no biyectiva. Rta. Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Rta. Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Rta. No inyectiva, sobreyectiva, no biyectiva. Rta. No inyectiva, sobreyectiva, no biyectiva. 3. Clasifique las siguientes funciones elementales: 3.3. y cos 3 1 y ln 1 y y 1 4. Rta. Elemental, algebraica, irracional. 3.5 y cosh. Rta. Elemental, trascendente, eponencial Rta. Elemental compuesta. Rta. Elemental compuesta. Rta. Elemental algebraica racional entera cuadrática. y arccos. 1 y e 5.. y 3 y= arctg ln. Rta. Elemental, compuesta. Rta. Elemental, compuesta. Rta. Elemental, algebraica, racional, fraccionaria. Rta. Elemental, compuesta y=. Rta. Elemental, trascendente, eponencial Rta. Elemental, trascendente, logarítmica. y= log y= Rta. Elemental, algebraica, racional, entera, constante.. Rta. Elemental, algebraica, irracional. 4. Determine el dominio de definición y grafique las siguientes funciones: y cos 3 1 y ln 1 CPI-014 Rta. El conjunto de números reales. Rta. 1 1 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 1

3 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI y 3. Rta. El conjunto de números reales y 4 Rta. El conjunto de números reales y 1 4 Rta y cosh Rta. El conjunto de números reales y arccos 1 Rta. 1/ y e 5 Rta. El conjunto de números reales y 3 Rta y 1 Rta y log Rta y 5 Rta. El conjunto de números reales y Rta. 0; y cos Rta. El conjunto de números reales. 5. Cuáles de las funciones siguientes son monótonas. Clasificar las monótonas en crecientes o decrecientes en su dominio de eistencia y cos 3 Rta. No monótona y ln 1 Rta. No monótona y 3 Rta. No monótona y 4 Rta. No monótona y 1 4 Rta. No monótona y cosh Rta. No monótona y arccos 1 Rta. Monótona decreciente 5.8. y e 5 Rta. Monótona creciente y 3 Rta. No monótona y= signo - Rta. No monotona y Rta. No monótona 1 CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página

4 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI y log. Rta. Monótona creciente y 5 Rta. No monótona y Rta. No monótona y cos Rta. No monótona. 6. Clasificar las siguientes funciones en pares o impares: 6.1. f 5 Rta. Par f 5 7 Rta. Ni par ni impar f 5 Rta. Par f 1 Rta. Ni par ni impar f = sen Rta. Impar f = cos Rta. Par f = f = 3 Rta. Par. Rta. Impar 6.9. f = Rta. Par f = tg Rta. Impar. 7. Sabiendo que el dominio y el codominio son el conjunto de números reales, halle la función inversa de las siguientes funciones, si eisten f Rta. Biyectiva. y f Rta. No inyectiva f Rta. No inyectiva si 0 f Rta. No inyectiva. si y Rta. Biyectiva. y y Rta. Biyectiva. y 1 y ln 5 Rta. Biyectiva. y 5 e y e 5 Rta. Biyectiva. y ln y cos 3 Rta. No inyectiva. CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 3

5 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI y cosh Rta. No biyectiva y sen Rta. No inyectiva y ln Rta. Biyectiva. y 1 8. Halle f+g, f-g, f.g y f /g y determine el dominio de cada una de estas funciones obtenidas. e e f 1 y g f 5 y g 1 f 0 si si 8.4. f 5 7 g 1. 5 si f y 3 si 0 y 1 g 1 si si g 3 9. Encuentre funciones f y g tales que la función dada sea h=f g h h 3 cos. h ln si si 10. Halle f o g, g o f, f o f y g o g, donde: si 0 si 1 f g si 0 1 si f 3 3 si 3 g. 6 si f 1 g f 1 g sen f e g ln. 11. Resolver: Sea g y f una función tal que f g 1. Encuentra una epresión 5 para fh, siendo h Halla la epresión de f, si f Sea f. Halla una epresión simplificada de f f. 1 CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 4

6 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Dadas las funciones f 1 y g 3, definir f/g. Calcular las imágenes de los números -1, y 3/ mediante f/g Sean las funciones f = + 3 y g =. Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y Calcular: 1.1. La función inversa de la función f = 4 6, en el intervalo [1,. 1.. Si f = ; g = 3 8, hallar la función f[g] Dadas las funciones f g y g 1, el dominio de la función. f 1.4. Siendo f: RR y f = + 4, si la función f inyectiva Si f 4 y g 3, el dominio de la función f[g] La función inversa de la función f = + 1, en el intervalo [0,. CAPÍTULO 1: MISCELÁNEA 13. Clasifique las siguientes funciones elementales: y sen 3 Rta. Compuesta y log 1 Rta. Compuesta y 3 3 Rta. Algebraica, entera, cubica. 14. Clasifique las siguientes funciones no elementales: y 0 Rta. De valor absoluto y signo. Rta. De signo y round. Rta. De redondeo. 15. Clasifique las siguientes funciones: y 3 4 Rta. Elemental algebraica irracional y ceiling Rta. No elemental de techo y arctg 1 Rta. Elemental compuesta. 16. Determine el dominio y grafique las siguientes funciones: y sen Rta. El conjunto de números reales. 3 CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 5

7 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI y Rta. El conjunto de números reales menos para para todo Determine el dominio y grafique las siguientes funciones: 1 y log Rta. El conjunto de números reales menosel intervalo comprendido entre -1 y y Clasifique las siguientes funciones elementales: Rta y Rta. Algebraica irracional y senh Rta. Algebraica eponencial y Rta. Algebraica racional cuadrática Clasifique las siguientes funciones no elementales: y= signo -5 Rta. De signo y= y 3 Rta. Ecuación diferencial y= lim 6 Rta. De límite. 0. Clasifique las siguientes funciones: 0.1. y= arccos lg Rta. Elemental compuesta. 0.. y= cotg Rta. Elemental trascendental trigonométrica y= argcosh Rta. Elemental compuesta y= ln Rta. Elemental trascendental logarítmica. 1. Determine el dominio y grafique las siguientes funciones: 1.1. y 5 Rta. El conjunto de números reales. 1.. y senh Rta. El conjunto de números reales y arcsen 1 Rta. 1/ y e Rta. El conjunto de números reales.. Determine el dominio y grafique las siguientes funciones:.1. 1 y 1 Rta. 1 1; y ln 5 Rta. 3 5 CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 6

8 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI y 5 Rta. El conjunto de números reales..4. y= cosh Rta. El conjunto de números reales. 3. Cuáles de las funciones siguientes son monótonas?. Clasificar las monótonas en crecientes o decrecientes y sen Rta. No monótona y Rta. No monótona Según el dominio y los gráficos hallados en el Taller No. 1, cuáles de las funciones siguientes son monótonas? Clasificar las monótonas en crecientes o decrecientes y log Rta. No monótona y 3 4 Rta. Monótona decreciente. 5. Clasificar las siguientes funciones en pares o impares: 5.1. f 3 4. Rta. Ni par ni impar. 5.. f 3 8 Rta. Ni par ni impar f 3 Rta. Par. 6. Clasificar las siguientes funciones en pares o impares: 6.1. f 10 Rta. Par. 6.. f = -sen Rta. Impar f = -cos Rta. Par. 7. Clasifique las siguientes funciones en biyectivas, sobreyectivas e inyectivas. Halle la función inversa de las biyectivas f Rta. Biyectiva. y f Rta. No inyectiva f Rta. No inyectiva si 0 f 3 si 0 Rta. No inyectiva y Rta. No inyectiva y Rta. Biyectiva. y CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 7

9 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Según el dominio y los gráficos hallados en el Taller No. 1, cuáles de las funciones siguientes son monótonas?. Clasificar las monótonas en crecientes o decrecientes y 5 Rta. No monótona. 8.. y senh Rta. Monótona creciente y arcsen 1 Rta. Monótona creciente y e Rta. Monótona creciente. 9. Según el dominio y los gráficos hallados en el Taller No. 1, cuáles de las funciones siguientes son monótonas?. Clasificar las monótonas en crecientes o decrecientes y 1 Rta. No monótona y ln 5 Rta. Monótona creciente y 5 Rta. No monótona y= cosh Rta. No monótona. 30. Clasificar las siguientes funciones en pares o impares: f = 5 Rta. Par f = 3 Rta. Ni par ni impar. 31. Clasificar las siguientes funciones en pares o impares: f = Rta. Par f = cotg. Rta. Impar. 3. Clasifique las siguientes funciones en biyectivas, sobreyectivas e inyectivas. Halle la función inversa de las biyectivas y log Rta. Biyectiva. 3 y e Rta. Biyectiva y sen 4 Rta. No inyectiva y senh Rta. No biyectiva y cos 1 Rta. No inyectiva y 5 10 ln 3 y 1 1 e y ln Rta. Biyectiva. y 1 1 e 33. Halle f+g y f-g, y determine el dominio de cada una de las funciones obtenidas, siendo: f y g. Rta. f+g =.Dominio: CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 8

10 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI f 4 y g 3 Rta. f-g=.dominio: 34. Halle f.g y f /g y determine el dominio de cada una de las funciones obtenidas, siendo: 34.1 f 3 g 3. Rta. f.g= 3. 3 Dominio: El conjunto de los números reales. f/g= 3 Dominio: Elconjunto de los núme3 ros reales, menos para = Encuentre funciones f y g tales que la función dada sea h=f g, siendo h = cos Rta. f= cos, g= 35. h h 4 sen 1 Rta. f=, g= -sen 36. Halle f0g y g0f, donde: f 1 f 3 ; 5 3 g 3. Rta. fog= g cos. Rta. fog= cos -1 ; gof= cos Halle f0g y g0f, donde: Rta. f = 1/, g= 4 f 3 gof= 3 si 4. g si 4 Rta. fof= si 4 4 si 4 gog= g 37.. f e 3 e Rta. fof= e g log ; gog=log log Halle f+g y f-g, y determine el dominio de cada una de las funciones obtenidas, siendo: 38.1.,,, ; Dominio: El conjunto de números reales., ; Dominio: El conjunto de números reales. 39. Halle f.g y f/g y determine el dominio de cada una de las funciones obtenidas, siendo: 39.1., CPI-014,, ; Dominio: El conjunto de números reales. Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 9

11 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014, ; Dominio: El conjunto de números reales. 40. Encuentre las funciones f y g tales que la función dada sea h=f g, siendo: Rta. f = log g= Halle f0g yg0f, donde: 41.1, { { 4. Resolver: 1 3 y f una función tal que f g 1. Encuentra una epresión 5 para fh, siendo h f= y fh= Sea g 4.. Calcular la función inversa de la función f = 4-6, en el intervalo [1,. y Sea f 3 4. Halla una epresión simplificada de f f. 1 f f = Dadas las funciones f 1 números -, 0 y 5/ mediante f/g. y g 3, definir f/g. Calcular las imágenes de los f/g= 1 3 f/g -=-1; f/g 0=-1/3; f/g 5/= Sean las funciones f = - 3 y g = 3. Calcular g o f y la imagen mediante esta función de, 0 y -4. go f= -33 g o f=-1; g o f0=-7; g o f-4= Calcular la función inversa de la función f = - 1, en el intervalo [0,. y= +1 para 1 y= --1 para 1 CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 10

12 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Si f = + ; g = 4, hallar la función f[g]. fg= Dadas las funciones f y g 1, calcular el dominio de la función f/g. f/g= 1, y su dominio es Siendo f: RR y f = - 4, calcular si la función f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. La función no es inyectiva, no es sobreyectiva y por tanto tampoco biyectiva. 49. Si f 4 y g 3, calcular el dominio de la función g[f]. g[f]= 3 4. Su dominio es CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 11

13 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO : LÍMITE DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL. 1 Calcular los siguientes límites: / / / / / / a / CPI-014 ½. ½. 1 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 1

14 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI ½ 1.8. e /e /e e ¾ / No tiene límite CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 13

15 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO : MISCELÁNEA 3 Demostrar los siguientes límites según la definición:.1. 3 Para 0 eiste un Para Hallar un en cada caso, según la definición de límites: con = = + -4=0.005 con M=100 =/M=0.0. Obtener el valor de los siguientes límites 4.1., si se cumple que: 4.., si se cumple que: 3 0. Halla el límite de la siguiente sucesión: , M eiste un, Infinito Halla el límite de las siguientes funciones: Sea f 3 si 4, determine el valor de k, para que 5 K si 4 eista. k= Sea {, Encuentre los valores de a y b para que lim f y lim f eistan. a=-5/4 y b=3/. 7 Demostrar que los siguientes limites no eisten son indeterminados: 7.1. Al graficar la función,y=-1 para <0; y=0 para =0; y=1 para >0, la función está definida para =0 pero sus límites a derecha y a izquierda no coinciden, por lo tanto el límite no eiste para =0. CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 14

16 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Al graficar la función, ésta no está definida en =1, además sus límites a derecha y a izquierda no coinciden, por lo tanto el límite no eiste en =1. 8 Calcular los siguientes límites: e3 e /6 Comprobar si eiste el límite en el punto señalado: 9.1., sabiendo que 0<a<1. Rta. Eiste y vale: -a. 10 Determinar las discontinuidades de las funciones: discontinua infinita en Discontinua en =0 y en =1. discontinua infinita en =1 discontinua infinita en = discontinua infinita en =0 discontinua de segunda especie en =0 11 Verifique si las siguientes funciones son continuas en =: CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 15

17 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI { la función es continua en = { la función es continua en = 1 Verifique si las siguientes funciones son continuas en =0: { { la función tiene una discontinuidad de segunda especie en =0 13 Hallar a y b para que la función sea continua en =1 y discontinua en =, si: { 14 Dibuje la gráfica de una función f que satisfaga todas las siguientes condiciones: a su dominio sea 0,6 bf0=f=f6=. c f sea continua, ecepto para =. d y 15 Verificar si las siguientes funciones son infinitésimos cuando =0 y compararlas.. 16 Si y siendo g continua en =3, hallar el valor de: [ ] Hallar los valores de a para los que la función sea: Continua en todo el rango de los números reales Continua en el intervalo 0,1 CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 16

18 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Analiza la continuidad de las siguientes funciones: Rta: la función eiste para entre -3;3 19 Hallar b y c para que la función f sea continua en toda la recta real, siendo: { 0 Hallar los siguientes límites: e e Infinito. 1 Cuando tiende a cero, verificar si las siguientes funciones son infinitésimos, determinar los que son del mismo orden que y los de orden superior e inferior a. a b c d e Son del mismo orden: Son de orden superior: Es de orden inferior: CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial ; ; Página 17

19 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 Entre los siguientes infinitésimos, cuando tiende a cero, hallar los que son del mismo orden que Verificar que los infinitésimos equivalentes? ; son del mismo orden cuando. Son Son del mismo orden, pero no son equivalentes. CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 18

20 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 3: DERIVADA DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL. 1. Aplicando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones: 1.1. Rta. 1.. Rta y=cos Rta. y = -sen Rta.. De acuerdo a la interpretación geométrica de la derivada, hallar el valor de la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones, en los puntos establecidos:.1. en =4... en = en = en = 1 3. Hallar la derivada de las siguientes funciones algebraicas: Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonométricas: [ ] Hallar la derivada de las siguientes funciones logarítmicas: 5.1. CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 19

21 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Hallar la derivada de las siguientes funciones eponenciales: Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas: Hallar la derivada de las siguientes funciones implícitas: Hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas aplicando la derivación logarítmica: CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 0

22 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Hallar la derivada de las siguientes funciones hiperbólicas: Hallar la derivada de las siguientes funciones hiperbólicas inversas: Hallar la derivada de las siguientes funciones paramétricas: Hallar la derivada de las siguientes funciones en coordenadas polares: para R constante Rta. : CAPÍTULO 3: MISCELÁNEA I 14. Aplicando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones: De acuerdo a la interpretación geométrica de la derivada, hallar el valor de la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones y el ángulo que forma dicha tangente con el eje en los puntos dados: CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 1

23 16. Hallar la derivada de las siguientes funciones: CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Hallar la derivada de las siguientes funciones implícitas: Hallar la derivada de las siguientes funciones dadas en forma eplícita: Hallar la derivada de las siguientes funciones dadas en forma implícita: Hallar la derivada de las siguientes funciones dadas en forma paramétrica: Hallar la derivada de la siguiente función dada en forma polar: 1.1. CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página

24 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014. Demostrar que la tangente a la espiral logarítmica dada por la ecuación polar forma con el radio vector un ángulo constante de 6,565º. 3. Dadas las funciones, hallar. Hallar además su función inversa y demostrar que se cumple que Hallar la segunda derivada de las siguientes funciones: Hallar la tercera derivada de las siguientes funciones: Verificar que: 6.1. Si, se cumple que: 6.. Si, se cumple que: 6.3. Si, se verifica que 7. Hallar la segunda derivada de la siguiente función dada en forma polar: Demostrar que: dada la función implícita F,y=0, se verifica que: CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 3

25 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Demostrar que dada la función en forma paramétrica, de manera tal que e, se verifica que: Siendo las derivadas todas con respecto al parámetro t. 30. Demostrar que dada una función en forma polar, la derivada del radio vector con respecto al ángulo polar es igual al producto de la longitud del radio vector por la cotangente del ángulo formado por el radio vector y la tangente a la curva en un punto dado. 31. Calcular la tangente del ángulo formado por el radio vector y la recta tangente a la curva en el punto donde. Rta. 3. Hallar la derivada de las siguientes funciones: 3.1. * Demostrar que, dada la función de la forma, donde y, se verifica que: 33. Hallar la derivada de las siguientes funciones: Hallar la segunda derivada de la siguiente función: Hallar la enésima derivada de la siguiente función: CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 4

26 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 3: APLICACIONES DE LA DERIVADA. 36. Hallar la diferencial de primer orden para las siguientes funciones: Hallar la diferencial de segundo orden de las siguientes funciones: Usando el concepto de diferencial, hallar el valor aproimado de: , , , Hallar el valor de y sabiendo que: ; ; 39.. ; =4 ; Rta. 40. Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L Hospital: CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 5

27 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Hallar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de las siguientes funciones: en el punto P, en el punto P, en el punto P-, en el punto P, en el punto P0,0. 4. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva que representa a cada una de las siguientes funciones, en las condiciones dadas: 4.1. en el punto de abscisa igual a. CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 6

28 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI en un punto donde la ordenada valga 4.3. en los puntos donde la pendiente de la recta tangente es igual a siendo la recta tangente perpendicular a la recta 4.5. en el punto donde la abscisa distinta de cero, es el doble de la ordenada. 43. Hallar los siguientes límites utilizando L Hospital: CAPÍTULO 3: MISCELÁNEA II CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 7

29 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones y en el intervalo cerrado [ ] y calcular el valor de la abscisa del punto C. 44. Verificar las siguientes desigualdades utilizando el Teorema de Lagrange: para positivo para todo para positivo. 45. En qué punto de la curva, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos A1,0 y Be,1. En el punto donde =e Comprobar que la fórmula de Lagrange es válida para la función en el intervalo cerrado [ ]. CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 8

30 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI En qué punto de la curva? la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos En el punto donde y 48. Comprobar que el Teorema de Rolle es válido para la función ]. cerrado [ Sí es aplicable. en el intervalo 49. Comprobar si el Teorema de Rolle es válido para la función y en el intervalo cerrado [ ]. No es aplicable. en el 50. Verificar que la longitud del segmento normal a la representación de la curva vale. punto 51. Verificar que la longitud del segmento subtangente a la representación de la curva vale. el punto 5. Hallar la ecuación de la tangente a la curva en el punto donde en. 53. En cuánto aumenta, aproimadamente, el volumen de una esfera de 15 cm de radio si éste se alarga en mm? Aumenta en 565, Un puente se encuentra a 10 metros sobre un canal. Un bote que va a 3 m/s pasa bajo el puente en el mismo momento en que un hombre que camina sobre el mismo a m/s pasa por el centro del puente. A qué velocidad se estarán separando el hombre y el bote 3 segundos después de haberse cruzado? 55. A la medianoche, un barco sale del punto B hacia el sur a una velocidad de 0 Km/h. A las dos de la mañana siguiente, otro barco sale del punto A, que está situado a 00 Km al sur del punto B, hacia el este con una velocidad de 15 Km/h. Hallar la velocidad de variación de la distancia entre los barcos a las 3 de la mañana. 56. Utilizando el concepto de diferencial, calcular los valores aproimados de: , , , CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 9

31 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 4: EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 1. Analizar y graficar las siguientes funciones; definiendo sus puntos críticos: 1.1. M Rel. -3;10 convea 1.. m Rel. ;1 cóncava M Rel.: 0;0 m Rel.: ;-4 PI.:1; mrel.: a;3a 1.5. en [ ] PI1.:0;0 PI.: 1.6. M Rel.: 0;5 m 1Rel.: ;-11 y m Rel.: -;-11 PI 1.: y PI.: 1.7. M Rel.: 1;0,5 m Rel.: -1;-0,5 PI 1.:, PI.:0;0 y PI 3.: 1.8. M Rel.: m Rel.: 0;0 PI.: 1.9. mrel.: mrel.: en [ ] MRel.: m Rel.: ; PI.: 1.1. No hay etremos No hay etremos en [ ] MRel.: m Rel.: PI.: No hay etremos. CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 30

32 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014. Dos números sumados dan 3. Que números son si su producto es el máimo posible? 16 y Cuándo es mínima la suma de un número y su recíproco? Si el número es 4. Demostrar que todos los rectángulos de 3 cm de perímetro; el de mayor área es aquel cuyos lados miden todos 8 cm 5. Con una capa de hierro cuadrada de lado l se desea construir un caja sin tapa del mayor volumen posible. Sin que las caras se solapen. Cuál será el alto de la caja? 6. Hallar la altura del cono de revolución de volumen máimo que puede inscribirse en una esfera de radio R. 7. Dala la parábola y la recta ; hallar los lados del rectángulo de mayor área que se puede inscribirse dentro del área limitada por la parábola y la recta. 8. Inscribir en una elipse el rectángulo de la mayor área posible. 9. Los márgenes verticales de una hoja son 1,5 cm y los horizontales de 1 cm. Que dimensiones debe tener la hoja para que su área sea mínima pero permita la impresión de una foto de 30 cm? 10. Cuál será la distancia mínima entre el punto P5;1 y la parábola? 11. Se desea cercar un campo rectangular dividiéndolo en dos campos mediante una línea paralela a uno de los lados. Si solo se dispone de 300 m. de alambre tejido; que dimensiones máimas deberá tener el campo? 1. Que ancho superior debe tener un canal trapezoidal cuya base y lados tienen 10 cm y los laterales tienen igual inclinación para que su capacidad sea máima? 13. La resistencia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al ancho y al cubo de le altura. Hallar el ancho de la viga de máima resistencia que podría obtenerse de un tronco de madera de 16 cm de diámetro. 14. Realizadas n mediciones de un magnitud, se obtuvieron lecturas 1,,... n. Demostrar que la suma de los cuadrados de los errores será mínima si CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 31

33 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI Dado un punto 0,y 0 del 1er cuadrante, hallar la recta que pasando por este punto forme con las direcciones positivas de los ejes un triangulo de área mínima. 16. Hallar las asíntotas de la curvas siguientes: CAPÍTULO 4: MISCELÁNEA 17. Hallar los puntos de infleión de: PI 17.. No hay punto de infleión PI PI No hay punto de infleión PI1 PI en [ ] PI PI PI CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 3

34 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI No hay punto de infleión 18. Analizar y graficar las funciones: con Hallar dos números tales que el segundo por el cuadrado del primero sea 500 y que 3 veces el producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del primero, sea mínimo. 0. Hallar las dimensiones de un cono de volumen máimo, de modo que al ser seccionado por un corte que pasa por su vértice y por el centro de la base, el triangulo formado mida 30m de perímetro. 1. En un paquete en forma de paralelepípedo recto tiene igual ancho que alto y largo. Si su perímetro mas su longitud debe de ser como máimo 108 cms; Hallar sus dimensiones para que su volumen sea máimo.. Demostrar que el alcance de un proyectil lanzado con V 0 y ángulo sobre la horizontal es máimo si 3. El costo de pedido y transporte de los componentes usados en la fabricación de un producto es: siendo el tamaño del pedido. Que pedido minimiza el cos sto? CPI-014 Ejercitario General de Cálculo Diferencial Página 33