Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO Funciones monótonas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas"

Transcripción

1 CAPÍTULO Funciones.6 Tipos de funciones Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos mu particulares que son importantes en el estudio del cálculo..6. Funciones monótonas Una función es monótona creciente si <. D f / ) f. / < f. /. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función creciente va de abajo hacia arriba. Una función es monótona decreciente si <. D f / ) f. / > f. /. canek.azc.uam.m: / / 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función decreciente va de arriba hacia abajo. Si <. D f / ) f. / f. /, la función es monótona no decreciente. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no decreciente no baja (donde es constante). Si <. D f / ) f. / f. /, la función es monótona no creciente. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no creciente no sube (donde es constante).

3 .6 Tipos de funciones Una función es monótona por partes si se puede partir su dominio de manera que en cada una de las partes la función sea monótona. Creciente a b Decreciente c Creciente d Vemos que la función anterior es:. Creciente en. ; a/.. No decreciente en. ; b/.. Constante en.a; b/.. No creciente.a; c/.. Decreciente en.b; c/. 6. No creciente en.b; d/. 7. Constante en.c; d/. 8. No decreciente en.c; C/. 9. Creciente en.d; C/..6. Funciones pares e impares El dominio de una función f es simétrico con respecto al origen, cuando satisface: D f ) D f : Si suponemos que f cumple esta condición, entonces: f es par si f. / D f./. Recordemos que dos puntos son simétricos respecto a una recta si éta es la mediatriz del segmento que ellos determinan. A l A

4 Cálculo Diferencial e Integral I Los puntos A A son simétricos con respecto al eje l. La recta l es la mediatriz del segmento AA. Que un conjunto de puntos sea simétrico con respecto a un punto (llamado centro de simetría) quiere decir que está constituido por parejas de puntos simétricos con respecto a tal centro de simetría. La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje, es decir, está constituida por parejas de puntos simétricos con respecto al eje pues si una función es par un punto.a; b/ G f, entonces otro punto de la gráfica de f es. a; b/. Ejemplo.6. f./ D C es par a que f. / D. / C D C D f./. f./ D C f.a/ D f. a/ a a Si D, entonces f./ D f. / D. Ejemplo.6. Las siguientes funciones son pares:

5 .6 Tipos de funciones f es impar si f. / D f./. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.0; 0/. Si una función es impar un punto.a; b/ G f, entonces otro punto de la gráfica de f es. a; b/ que es el simétrico de.a; b/ respecto al origen. Ejemplo.6. f./ D es impar a que f. / D. / D D f./. f./ D f.a/ D f. a/ a a Si D, entonces f. / D. / D 7 D f./. Ejemplo.6. Las siguientes funciones son impares:

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I.6. Función lineal Una función f es lineal si es de la forma f./ D m C b con m & b R. Su dominio son todos los reales. Su gráfica es una línea recta de pendiente m ordenada en el origen b. Si m 0, la única raíz de f./ D m C b es D b m a que f./ D 0, m C b D 0, D b m :. Si m D 0, diremos que f./ D b es constante, su rango consta de un solo número: f b g. Su gráfica es una recta paralela al eje de las que pasa por el punto.0; b/. Ejemplo.6. Si f./ D, entonces D f D R & R f D f g. La gráfica de D f./ D es la recta paralela al eje de las que pasa por el punto.0; / no tiene raíces. D f./ D 0 Ejemplo.6.6 Si f./ D 0, entonces D f D R & R f D f 0 g. Su gráfica es el eje de las todos los reales son raíces de f./!. Si m > 0; f./ D m C b es creciente. Ejemplo.6.7 Si f./ D C, entonces D f D R & R f D R. f./ D C

7 7.6 Tipos de funciones 7 f./ es creciente su única raíz es cuando: f./ D C D 0, D, D D :. Si m < 0; f./ D m C b es decreciente. Ejemplo.6.8 Si f./ D, entonces D f D R & R f D R. f./ D La función f es decreciente su única raíz es cuando: f./ D D 0, D, D D :.6. Función cuadrática Una función f es cuadrática si es de la forma Su dominio son todos los reales. f./ D a C b C c con a 0; b & c R : Tiene dos raíces, una o ninguna dependiendo de si b ac >; D o bien < 0 respectivamente. Su gráfica es una parábola vertical que se abre hacia arriba o hacia abajo a partir de su vértice, dependiendo de si a > 0 o bien a < 0. Recordemos que: D a C b C c D a ( C ba ) D a ( ba b C C ( D a C b ) C a C c D a ) C c ac b a : b a D

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba para D es: D ac a b. b se obtiene el menor valor para que a Rango ac b a b a [ ) ac b Su rango es ; C. a Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo para D es: D ac a b. b a b a se obtiene el maor valor para que ac b a Rango ( Su rango es ] ac b ;. a En ambos casos: ( b Su vértice es el punto: V a ; ac a Es monótona por partes. b ). Ejemplo.6.9 allar el vértice, el eje, la intersección con el eje (las raíces) graficar la parábola D C :

9 9.6 Tipos de funciones 9 Esta parábola se abre hacia abajo a que a D < 0. Además, D ( C ) C D D ( C C ) C C D D. C / C : Vértice: V. ; /; eje: D. Las raíces se obtienen cuando D 0: Gráfica de D C : C D 0,, C D 0 (multiplicando a la ecuación dada por ),, D p6 C D p { 0: : : f./ D C p C p.6. Funciones polinomiales Una función f que tiene la forma f./ D a C b C cd C d con a 0; b; c d R ; se llama función cúbica : Ejemplo.6.0 Sea la función f./ D, su gráfica es

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I 8 f./ D 8 Además: D f D R f D R, es impar creciente. Una función f es polinomial de grado n donde n N [ f 0 g si es de la forma f./ D a 0 n C a n C a n C C a n C a n C a n ; con fa 0 ; a ; a ; ; a n ; a n ; a n g R que son llamados coeficientes. Ejemplo.6. Las funciones f./ D ; f 6./ D 6 ; ; f n./ D n con n N son funciones polinomiales. Su dominio son los números reales su rango los reales no negativos, su única raíz es D 0, son pares no son monótonas pero restringidas a los reales no negativos son crecientes a los no positivos son decrecientes. Sus gráficas son semejantes a las de f./ D. Ejemplo.6. Las funciones f./ D ; f 7./ D 7 ; ; f nc./ D nc con n N son funciones polinomiales. Su dominio son los números reales su rango también los reales, su única raíz es D 0, son impares crecientes. Sus gráficas son semejantes a las de f./ D..6.6 Funciones racionales algebraicas Una función de la forma: ˆ./ D f./ g./ donde f./ & g./ son funciones polinomiales se llama función racional. Su dominio son todos los números reales con ecepción de las raíces del denominador g./, que a lo más son tantas como su grado.

11 .6 Tipos de funciones Ejemplo.6. Sea la función racional f./ D D. D f D R f D R f0g. Es impar, no monótona, pero restringida a los reales negativos o a los positivos es decreciente. Su gráfica es la hipérbola equilátera D. D Una función tal que en su regla de correspondencia sólo aparezca la variable independiente./, números reales los símbolos de sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia etraer raíz se llama función algebraica. Ejemplo.6. Sea la función algebraica f./ D p, su gráfica es p D p D f D R f D R C f0g. Su única raíz es D 0, es creciente su gráfica es la semiparábola superior D. Ejemplo.6. Sea la función algebraica f./ D p, su gráfica es

12 Cálculo Diferencial e Integral I D p D f D Œ ; ; R f D Œ0;. Sus raíces son D & D, es par, no es monótona, es monótona por partes, creciente en Œ ; 0 decreciente en Œ0;, su gráfica es la semicircunferencia unitaria superior D p, D, C D con centro en el origen.0; 0/..6.7 Función definida por partes A veces la regla de correspondencia de la función no es una sóla fórmula, esto es, el dominio de la función está descompuesto en partes ajenas en cada una de ellas la función está definida por una fórmula diferente. Ejemplo.6.6 Trazar la gráfica de la función f./ D j j, valor absoluto de. Recordando la definición se tiene f./ D j j D { si 0 I si < 0 : Por la definición de f sucede que:. Si 0, entonces D f./ D j j D ) D, que es la recta que pasa por el origen con pendiente m D.. Si < 0, entonces D f./ D j j D ) D, que es la recta que pasa por el origen con pendiente m D. D f D R & R f D R C f0g, es decir, los reales no negativos. f. / D j j D ) A.; / & B. ; / están en la gráfica D jj B A

13 0/. + -, ( *) % '& $# "!.6 Tipos de funciones Ejemplo.6.7 Trazar la gráfica de la función de eaviside (80-9) { 0 si t < 0 I.t/ D si t 0 : La gráfica es: Ejemplo.6.8 Graficar la función E./ D n si n < n C. Nótese que E es una función definida por partes. Esta función se llama la función cumpleaños" o bien el maor entero menor o igual que". D E D R & R E D Z. Ejemplos de E./ para algunos valores de : E./ D I E.e/ D I E. p / D &E. p / D : Algunos autores en lugar de E./, E.e/, E. p /, E. p / escriben: E. D /I E. D e/ I E. D p / & E. D p /; respectivamente. Veamos su gráfica: Ejemplo.6.9 Graficar la función f./ D E./. Si Œn; n C / con n Z ) f./ D n.

14 C F BA P ED I L G RQ RQ KJ O NM P RQ 7 : 6 RQ 98 <;?> Cálculo Diferencial e Integral I D f./ D f D R & R f D Œ0; /. Ejemplo.6.0 Trazar la gráfica de la función si < I g./ D si < < I 8 si < : Para obtener la gráfica de g notemos que:. Para < se tiene que g./ D. En este caso la gráfica de g es el segmento de la recta D que tiene por etremos a los puntos A. ; / B. ; /.. Para < < se tiene que g./ D. En este caso la gráfica de g es la porción de la parábola D que tiene vértice en V.0; 0/ por etremos a los puntos C. ; / D.; /.. Para < se tiene que g./ D 8. En este caso la gráfica de g es el segmento de la recta D C 8 que tiene por etremos a los puntos E.; / F.; /. Por lo tanto la gráfica de la función g es C E D g./ A B D F Comprobamos en esta gráfica que el dominio de g es D g D Œ ; / f g, el rango de g es. ; que los puntos B. ; /, C. ; /, D.; / F.; / no pertenecen a la gráfica de la función a diferencia de A. ; / de E.; /, que sí están es la gráfica. Ejemplo.6. Trazar la gráfica de la función C si < < I f./ D j j si < < I si < 6 :

15 TS TS TS U TS TS U.6 Tipos de funciones Para obtener la gráfica de f notamos que:. Para < < se tiene que f./ D C. En este caso la gráfica de f es el segmento de la recta D C que tiene por etremos a los puntos A. ; / B. ; /.. Para < < se tiene que f./ D j j. En este caso la gráfica de f está compuesta por el segmento de la recta D con etremos en C. ; / O.0; 0/, por el segmento de la recta D con etremos en O.0; 0/ E.; /.. Para < 6 se tiene que f./ D recta D C cuos etremos son los puntos F.; / G.6; /.. En este caso la gráfica de f es el segmento de la Por lo tanto la gráfica de la función f es B C F E D f./ G O 6 A Entonces, el dominio de f es D f D. ; 6 f ; g, el rango de f es R f D. ; / comprobamos que los puntos A, B, C, E F no pertenecen a la gráfica de la función, a diferencia de O G que sí están en la gráfica. Ejercicios.6. Soluciones en la página??. Dada la función f./ D p C, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.. Dada la función f./ D p, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.. Dada la función f./ D, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas. C. Si f es par será g./ D. C /f./ par?. Si f & g son impares será h./ D.f C g/./ impar? 6. La función f es par, parte de su gráfica es la figura siguiente:

16 6 WV ]\ ^ Z ^ ^ [ YX ^ 6 Cálculo Diferencial e Integral I D f./ a. Complete su gráfica de f. b. Obtenga su dominio, raíces rango, además determine a partir de la gráfica completada las soluciones de f./ > 0 de f./ < Si f es una función par cua gráfica para es la que se indica en la figura, D f./ completar la gráfica, indicar su dominio, sus raíces su rango. 8. Sea la función si I f./ D C si < I 7 si < : a. Obtener su gráfica. b. Determinar su dominio rango. c. Calcular: f. /, f. /, f. /, f.0/, f./, f./ & f. 000/. 9. Dada la siguiente función j C j si < I p g./ D si I si > : Obtenga su gráfica diga si es par, impar o ninguna de las dos. Determinar su rango.

17 7.6 Tipos de funciones 7 0. Sea C si < I p f./ D si I si > : Esboce su gráfica, obtenga el rango, las raíces diga si es par, impar o ni una cosa ni la otra.. Graficar la siguiente función z C si z < I G.z/ D z si z I si z > :. Considere la función f./ D { C si. ; 0 I C si Œ; C/ : Obtener dominio, raíces, gráfica rango de dicha función.. Sea C si < I f./ D si j j < I si : a. Proporcionar el dominio raíces de f. b. acer un bosquejo gráfico hallar el rango.. Sea la función C si < 0 I f./ D si 0 < I C si : a. Proporcionar el dominio de la función, sus raíces su paridad. b. acer un bosquejo de la gráfica hallar el rango.. allar el dominio, graficar determinar el rango de las funciones: si 0 I a. f./ D si 0 < < I C si : b. g./ D j j C :

18 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I 6. Determinar dominio, raíces, un esbozo de la gráfica de la siguiente función su rango. { j C j si < < I f./ D C si : 7. Dada la función si < I f./ D C si I si > : a. Trace su gráfica. b. Determine su dominio, rango raíces. 8. Dada la siguiente función j C j si 0 I f./ D C si 0 < < I si ; obtener la gráfica de f, su dominio, su rango sus raíces. 9. Sea Determine: C 7 si < I si < I f./ D si I si < < 6 I 6 C 7 si 6 : 6 a. Gráfica rango de f. b. Es par o impar f? Justifique su respuesta. 0. Graficar la función C si < I p f./ D si I j j si > :. Realizar un bosquejo de la gráfica de la función C si < I j j si < & 0I f./ D si D I 6 C 6 si > :

19 _ 9.6 Tipos de funciones 9. Obtener dominio gráfica de la función j j C si 0 I f./ D C si 0 < I si :. Considere las funciones así como U./ D { 0 si < 0 I si 0 : si < 0 I sgn./ D 0 si D 0 I si > 0: Obtener el dominio, la gráfica el rango de la función definida por f./ D sgn./ C U./:. Sean las funciones f./ D { si 0 < 6I si > 6: g./ D { si 0I si > 0: Obtenga el dominio la fórmula de la función f C g.. A partir de la gráfica de la función f D f./ _ 6 determine: a. Los intervalos donde f./ > 0 & f./ < 0, así como los valores donde f./ D 0, es decir, las raíces de f. b. Los intervalos de monotonía de f, es decir, dónde es creciente dónde es decreciente. 6. A partir de la gráfica de la función f :

20 0 e a` f 0 Cálculo Diferencial e Integral I 0 D f./ 7 b c d Determinar: a. Los intervalos donde f./ > 0 & f./ < 0; los valores donde f./ D 0. b. Los intervalos de monotonía de f ; es decir dónde es creciente dónde es decreciente. 7. Para la función: C si 7 < I f./ D C si I si < 6 : a. Bosqueje su gráfica. b. Determine su dominio, su rango sus raíces. c. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos de crecimiento decrecimiento. d. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos donde la función es positiva donde es negativa. 8. Sea la función: si 6 < I f./ D si I C 7 si < : a. Bosqueje la gráfica de la función. b. Determine el dominio el rango de la función; encuentre también sus raíces. c. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos de crecimiento de decrecimiento. d. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos en donde la función es positiva negativa. 9. Sea la función: Bosquejar su gráfica. C si I f./ D si. ; / I si : Obtener el dominio, raíces especificar los intervalos donde: a. f./ > 0; b. f./ < 0; c. f./ crece; d. f./ decrece.

21 g g g ih g g g g g.6 Tipos de funciones 0. Sea la función C si 0 I f./ D j j si 0 < < I si : a. Grafique la función. b. Cuáles son el rango las raíces de f? c. Cuáles son los intervalos de monotonía de f? d. La función f es par o impar? Justifique su respuesta.. En el dibujo aparece una parte de la gráfica de la función f D f./ a. Complete esta gráfica sabiendo que se trata de una función par también determine su dominio, raíces rango (imagen). b. Determine las soluciones de las desigualdades f./ > 0 & f./ < 0. c. Determine los intervalos donde esta función f es i. creciente; ii. decreciente.. La siguiente figura es parte de la gráfica de una función f :

22 l kj l l l Cálculo Diferencial e Integral I 9 7 D f./ a. Completar la gráfica sabiendo que es una función par. b. Determinar dominio, raíces rango. c. Determinar los intervalos de monotonía.

23 r qp r wv qp nm ts u o u u o nm u { { z { { { z.6 Tipos de funciones Ejercicios.6. Tipos de funciones, página??. No es par ni impar. 8.. f./ no es par ni impar. 0. Es impar. 7. Sí.. Sí. D f./ 6. D f./ D f D Œ ; C/; R f D Œ ; 0 ; f. / D, f. / D, f. / D, f.0/ D ; 0 r r r r f./ D 0, f./ D 7 f. 000/ D D f D. ; /.; C/; raíces: D 8,, & 8; D g./ rango = f g Œ ; ; f./ > 0,. 8; /. ; /.; /.; 8/; f./ < 0,. ; 8/.8; C/. 7. no es par ni impar; R g D R. D f./ 0. D f./ D f D Œ ; /.; ; R f D Œ ; /; raíces D, D, D & D. R f D. ; ; las raíces son D ; la función es par.

24 Ž ˆ ~} Œ Š ž Ÿ š Ÿ Cálculo Diferencial e Integral I. raíces: D ; f no es par, ni impar D G.z/ D f./ ƒ. D f D. ; 0 [ Œ; C/; la única raíz es D p ;. D f D R ; D f./ D f./ :8 8 œ œ R f D R.. Dominio: Œ ; f g; rango: Œ ; ; raíces: D & D ; R f D. ; 0 [ fg [ Œ; C/. D g D R f0g; D f./ V W R g D { } ;. D g./. D f D Œ ; ; R f D Œ ; ( ] 9 8 ; ; 6. D f D. ; C/; las raíces son D & D C p ;

25 ª ³² ³² «µ ³² ± µ µ µ.6 Tipos de funciones R f D. ; D f./ 0 «««6 7 6 D f./ R f D. ;.; C/; 7. D 0. la función no es par ni impar. D f./ D D f./ D f D. ; C/ D R ; R f D. ; ; raíces D & D D f D R ; R f D f g Œ0; C/; raíz D. D f./ ²³²³ D f./ C p. D f D. ; Œ; C/ ;. 6 D f./

26 6» º ¹»»» ½¼»    ¾   ¾ 6 Cálculo Diferencial e Integral I D f D R ; f./ < 0 si Œ 7; p /. p ; : D f./ 8. a. R f D f ; 0g.; C/.. D f Cg D. 0; C/; C si. 0; 0 I.f C g/./ D C si.0; 6 I C si.6; C/ :. a. En. ; 0/.0; /.; C/, f./ > 0; en. ; /.; /, f./ < 0; f./ D 0 si D, D & D ; b. f es creciente en. ; 0/.; 6/; f es decreciente en.0; /.6; C/. 6. f./ > 0 si. ; /. ; /.; 7/; f./ < 0 si. ; /. ; /.7; C/; f./ D 0 si D ; ; ; 7; f es creciente en. ; / en.0:; /; f es decreciente en. ; 0:/ en.; C/. 7. a. 6 D f./ b. D f D Œ 6; ; R f D Œ ; ; raíces D ; 7 ; c. f./ crece en Œ0; decrece en Œ ; 0 Œ; ; d. f./ > 0 si Œ 6; / ( ; 7 ) ; f./ < 0 si. ; / ( ] 7 ;. 9. D f D R ; las raíces: f ; ; g; f./ > 0 si. ; /. ; /.; /; f./ < 0 si. ; / Œ; /; 7 D f./ 6 f./ crece si. ; / ;. ; 0/ en.; /; f./ decrece si. ; / en.0; /; ÀÁÀÁ 6 b. D f D Œ 7; 6 R f D Œ 6; fg; raíces D p; c. en Œ 7; 0 creciente en Œ0; decreciente; en.; 6 es constante; D f./ d. f./ > 0 si. p ; p /.; 6 ;

27 Æ Ç Å Ç Å Ê Ê Ê Ê Ç Ê Ç Ç Å ÄÃ Ç Ç Ê Ê Ê Í ÌË Ð Ð Í Í Í ÏÎ Ð 7.6 Tipos de funciones 7 0. a.. a. D f./ b. R f D. ; ; sus raíces son c. f es creciente en. ; Œ; ; f es decreciente en Œ ; ; f constante en Œ; C/; d. f no es par tampoco es impar ÈÉÈÉ D f./ p ;. raíces: 6; ; 6; R f = Œ 0; 0 ; ( b. f./ > 0 si 6; ) ( ; 6 f./ < 0 si.7; 6/ ( ; ) ; ).6; 7/; c. f es creciente en. 7; /, Œ0; en Œ; /; 7 f es decreciente en. ;.; 7/. 9 7 D f./ /, Œ ; 0 en D f D Œ 7; 7 ; raíces: f ; g; R f D Œ ;.; 9 ; 0 la función decrece en Œ 7; / en Œ0; ; D f D. 7; 7/; la función crece en Œ ; 0 en Œ; 7.

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta. año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

i. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0

i. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0 TRABAJO PRÁCTICO Nº1 1. Identificar la pendiente y ordenada al origen de las siguientes rectas. Graficar y escribir para cada una dominio, imagen, crecimiento, decrecimiento, raíces. a. y = 2x + 1 d. y

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Halla dominio e imagen de las funciones

Halla dominio e imagen de las funciones Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Halla dominio e imagen de las funciones y Como no está definido si, es decir, si El recorrido o imagen será el conjunto de todos los

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FUNCIONES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FUNCIONES CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FUNCIONES 1. Funciones Una función consta de dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, y de una regla de correspondencia que permite asociarle a cada elemento del

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

Función Cuadrática *

Función Cuadrática * Función Cuadrática * Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1 Una función f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0, se llama una función cuadrática.

Más detalles

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela Definición de función Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada en D, ha eactamente un par ordenado (, ) en W que tiene a en la primera posición. Terminología Definición

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

Descripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2

Descripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2 Descripción: En éste tema se utiliza la primera derivada para encontrar los valores máximo y mínimo de una función, así como para determinar los intervalos en donde la función es creciente o decreciente,

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace

2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace 2.2 Transformada de Laplace y Transformada 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace Dada una función de los reales en los reales, Existe una función denominada Transformada de Laplace que toma

Más detalles

Cuatro maneras de representar una función

Cuatro maneras de representar una función Cuatro maneras de representar una función Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. Una función f es una regla que

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Interpretación de gráficas símbolos Con la finalidad de reafirmar la relación eistente entre el contenido de un concepto, la notación simbólica utilizada para representarlo

Más detalles

DESIGUALDADES E INTERVALOS

DESIGUALDADES E INTERVALOS DESIGUALDADES E INTERVALOS 1. INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales. En general, si los etremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el contrario no pertenecen

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C

Más detalles

2. GRAFICA DE FUNCIONES

2. GRAFICA DE FUNCIONES . GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Funciones Reales en una Variable

Funciones Reales en una Variable Funciones Reales en una Variable Contenidos Concepto función Grafica de una función Dominio y Recorrido de una función Clasificación de la funciones Función Inversa Paridad de las Funciones Operaciones

Más detalles

Aplicaciones de vectores

Aplicaciones de vectores Aplicaciones de vectores Coordenadas del punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Ejemplo: Hallar las coordenadas del

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados

Más detalles

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Más detalles

Examen funciones 4º ESO 12/04/13

Examen funciones 4º ESO 12/04/13 Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Tema 1: Preliminares

Tema 1: Preliminares Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Febrero 2008, versión 1.7 1. Desigualdades

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Por: Ing. Mario René De León García.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función eponencial tiene la forma, donde a es la base de la potencia la variable es el eponente. Esta función

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

Traslación de puntos

Traslación de puntos LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0 FUNCIÓN POLINOMIAL. DEFINICIÓN. Las funciones polinomiales su representación gráfica, tienen gran importancia en la matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 4 5 5 6 Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

Raíces cuadradas y radicales

Raíces cuadradas y radicales Raíces cuadradas y radicales Raíz cuadrada - la raíz cuadrada de x, donde x, es igual a c (donde c si c 2 = x. Se usa la notación para representar la raíz cuadrada principal de x. Al símbolo se le llama

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función exponencial

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función exponencial Función eponencial La función eponencial viene de la generalización de la función polinomial. Si consideramos la función: =, por ejemplo, cabe preguntarnos, «cómo se comportaría la función si cambiamos

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

TALLER DE MATEMÁTICAS NOTAS. Toda expresión algebraica del tipo. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. es un polinomio de grado n, si a n 0.

TALLER DE MATEMÁTICAS NOTAS. Toda expresión algebraica del tipo. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. es un polinomio de grado n, si a n 0. NOTAS Toda expresión algebraica del tipo es un polinomio de grado n, si a n 0. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 RELACIONES DE DIVISIBILIDAD 1) x n a n = (x a)(x n 1 + ax n 2 + a 2 x n 3 +... +

Más detalles

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos

Más detalles

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Dada una función f : D R R y un intervalo I D

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

3. OPERACIONES CON FUNCIONES.

3. OPERACIONES CON FUNCIONES. 3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos

Más detalles

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES Conceptos clave: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. 1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

Más detalles

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) ÍNDICE Página: 1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.. 2 2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES 4 3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS 5 3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES 6 3.2

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos:

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos: FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado de la forma y=ax +bx+c, cuya gráfica es una parábola de eje vertical, donde a representa la abertura de la parábola.

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

Análisis de funciones y representación de curvas

Análisis de funciones y representación de curvas 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Números Reales DESIGUALDADES DESIGUALDADES. Solución de desigualdades. 2x + 4 < 6x +1 6x + 3 8x 7 x 2 > 3x 2 5x + 8. INECUACIONES o DESIGUALDADES

Números Reales DESIGUALDADES DESIGUALDADES. Solución de desigualdades. 2x + 4 < 6x +1 6x + 3 8x 7 x 2 > 3x 2 5x + 8. INECUACIONES o DESIGUALDADES Números Reales INECUACIONES o DESIGUALDADES DESIGUALDADES Una desigualdad en una variable es una expresión donde se establece una relación entre dos cantidades. Las relaciones de orden son: ,, Ejemplos:

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

Las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles