a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:
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- Trinidad Olivera Carmona
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1 TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DOMINIO. El dominio de definición de una función y = f{) (valores para los cuales eiste la función) es, en principio, todo ir, salvo que haya operaciones imposibles o que, epresamente, se nos limite: Recordemos las principales imposibilidades: Si hay denominadores, la función no está definida donde éstos se anulan. Si hay ráíces cuadradas, no está definida cuando lo que hay dentro de la raíz es negativo. Ellogaritmo sólo está definido para valores positivos. Cuando hay una función definida a trozos y epresamente no aparece algún punto SIMETRÍAS. a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica: f{) = f(-). b) IMPAR: Una función es simétrica con respecto al oriqen de coordenadas si verifica: f{)=-f(-) PERIODICIDAD. Saber que una función es periódica facilita mucho su representación. Las únicas funciones periódicas que hasta ahora estudiamos son las, trigonométricas. Para hallar el periodo habrá que tener en cuenta cómo son los periodos de las funciones seno y coseno. y Ejemplo: f{)=sen2. Buscamos T tal que f{)=f(+t), es decir: sen2=sen2(+t). El seno tiene un periodo de 2íT, luego 2 + 2Jr = 2( + T). Despejando: 2 + 2íT = 2 + 2T ~ 0= 2T + 2kíT~T = ít En este caso el periodo es ít. 1/5
2 10.4. ASÍNTOTAS y RAMAS INFINITAS. Habrá que buscar las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas que tenga la función como ya hemos eplicado en el tema 7: ~ Verticales: Cuando el límite en un punto es infinito o menos infinito, ( lim f() = ±oo) gráficamente estamos hablando de una asíntota vertical en el punto = a. --+a ~ Horizontales: Cuando hacemos ~ +00 o ~ -00, si el resultado es un número real entonces tendremos una asíntota horizontal. ~ Oblicuas~ Para calcular una asíntota oblicua se busca una recta y = m + n a la que la función se aproime. Para ello se procede como sigue: 1er Paso: Calcular lim f() = ±oo --+±oo 20 Paso: m = lim f() --+±oo si m eiste y es un número real (no es infinito): 3er Paso: n = lim [f() - m] si n eiste y es un número real, entonces ya tendremos --+±oo la asíntota oblicua MONOTONÍA. EXTREMOS. A partir del signo de la primera derivada se estudiarán los intervalos de crecimiento, de decrecimiento y se obtendrán los etremos como ya hemos eplicado en el tema 9: Sea f una función dos veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1: Si J'( o) > O para todo Xo del intervalo, entonces J es estrictamente creciente en I. Si 1'(o) < O para todo Xo del intervalo, entonces f es estrictamente decreciente en I. SI f(o)=o~. I {Si Si f"(o) J"(o) < > O ~ Xo es un máimo. mínimo CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. A partir del signo de la segunda derivada se estudiarán los intervalos de concavidad, de conveidad y se obtendrán los puntos de infleión como ya hemos eplicado en el tema 9: Sea f una función dos veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1: Si J"(o) > O para todo Xo del intervalo, entonces la función es convea. Si J"(o) < O para todo Xo del intervalo, entonces la función es cóncava. Si J" (o) = O Y J'" (o) =1:- O ~ Xo es un punto de irifleión. 2/5
3 10.7. CORTES CON LOS EJES. a) Cortes con el eje Y: Se hace = O Y se calculan los valores de y. Obtendremos puntos de la forma (O,b). b) Cortes con el eje X: se iguala la función a O, y = O, Y se calculan los valores de. Obtendremos puntos de la forma (a,o) REPRESENTACION DE LA FUNCIÓN. Para representar la función se recomienda seguir los siguientes pasos: 1) Subrayar y señalar todos los resultados de los pasos anteriores, para no omitir ningún dato. 2) Dibujar los puntos clave: cortes con los ejes, máimos, mínimos y puntos de infleión. 3) Dibujar todas las asíntotas. 4) Ir dibujando a mano alzada la curva teniendo en cuenta los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad. 5) Comprobar que los datos no se contradicen entre sí, en ese caso habría algún error en algún apartado. 6) En el caso de función par o impar dibujarla sólo en el eje positivo de las X y luego copiar de forma simétrica (con respecto al eje Yo con respecto al origen de coordenadas) en el otro eje FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. En estos casos hay que tener en cuenta dónde está definida cada parte de la función, es decir, calcular dominios por separado. En general no habrá ni simetría ni periodicidad, pero si habrá que estudiar las asíntotas, la monotonía, la concavidad y conveidad en cada uno de los intervalos. Los cortes con el eje Y sólo afectarán a un intervalo, sin embargo los cortes con el eje X hay que calcularlos en todos. ~ Ejemplo: f() = {2X-1 1. O -1 si ~ O -- SI > Por un lado Dom(2-l)= 91, luego donde está definida ((-00,0]) no hay problemas y por otro Dom(-l-) -l = 91- {l}, en (0,+00) tendremos una asíntota vertical en = 1. 3/5
4 2 BACH(CN} FUNCIONES EN VALOR ABSOLUTO. Cuando una función está epresada en valor absoluto (toda la función, no una parte), se dibujará sin tener en cuenta este hecho y luego se proyectará simétricamente la parte negativa sobre el semi plano positivo. También podemos redefinirlas teniendo en cuenta la definición del valor absoluto: lal = {a- a. si SI a a ~ < O O Es decir, If( ~ = {- f() si si f() ~ < OO ~ Ejemplo: y = IX-31 Y = I - 31 = - {X ( -3) SI SI. -3~O -3<O La condición - 3 ~ O y la - 3 < O son inecuaciones sencillas de resolver, ~ 3 y < 3, respectivamente, con lo que nos queda la función definida a trozos: Y = I - 31 = {X_ ( - _ 33) si ~ < 3 Además, se nos pueden presentar otros casos: a)y-f+g}j::::::>y- _ () I ( ~ - {f() f () + - g() g() X si SI. g()~ () X < O ~ Ejemplo: y=+l-31 y=+-3::::::>y= ::::::>y= I I {X+(X-3) - ( - 3) si -3~O - 3 < O {2X-33 si si < ~3 3 f() + g() si f() ~ O Y g() ~ O b) y= If( Jj+gJj::::::>Y=, ~ I ( ~ J f() - g() si f() ~ O Y g() < O - f() + g() si f() < O Y g() ~ O - f() - g() si f() < O Y g() < O Las condiciones que tenemos ahora (f() ~ O Y g() ~ O,... ) son sistemas de inecuaciones muy sencillas de resolver, y que puede que alguna de ellas no tenga solución (no tend rá sentido). ~ Ejemplo: y=l-31+l+21 (-3)+(+2) si -3~O y +2~O y=-3++2::::::>y=, I I I I J (-3)-(+2) si -3~O y +2<O -(-3)+(+2) si -3<O y +2~O -(-3)-(+2) si -3<O y +2<O 4/5
5 Operando: y = I I + 21 = 2 -] si 2. 3 Y ] si 2. 3 Y <-2 5 si < 3 Y ] si < 3 Y <-2 La segunda línea no tiene sentido, cómo es posible que al sumar dos valores absolutos el resultado sea negativo? Además, qué números son a la vez más grandes que 3 y más pequeños que - 2? Con todo esto la función nos quedaría: y = I I + 21 = 5 si {-2-] +] si 2. 3 Y < 3 Y 2.-2 si < 3 Y <-2 ~ Ejercicio: Representar las siguientes funciones: a) f() = ln( + 3) b) f() = -2 c) f() = j;2;1 d) f() = cos( + 7r) 2 f) f() = ( JX-7 +! 2 SI :S-1 g)f()=~_3 3 4 si-l < S 4 si < 4 i) f()= /5
6 t.rea... el c.t os s3 i Dihuja la gráfica de una función de la que se, conocen las siguientes propiedades: R?/2.~S.cf\JTACIOt\:J ::t= U AJ ea oan5"s r c;ye, lím /() = -co, lím fe) = +co ~ -7 _00 X ~ +00 ;l'() = O si = -2, = O, = 3, = 4 Ife-2) = 2; fco) = O; f(3) = 5; f(4) = 4 11 Representa las siguientes funciones, estudiando: - Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas. 5 : Estudia y representa las siguientes funciones: 4 9 e) )J = - _ e)y='i-5'",., 5'l- d)y = 64 f) y = ( - 1)3-3 7! En las siguientes funciones, estudia su dominio, 1 a) y = 2 _ 1 c) y = 2 _ 1-1 b)y = 2 + 1, asíntotas y posición de la curva respecto de esi tas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos: ---) e)y (1) y = f) Y = i Representa estas nmciones estudiando previamente su dominio, asíntotas, posición y etremos relativos: 8 a)v=2+-, -" c) y = 2 _ 4 9 Representa esta función: l lfe) = ) -- -,. ; { - _2- - 2?y + +? 2 SI si b)y=~ (!)y= <O ~O Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y SllS etremos relativos, Tiene algún punto de int1eión? Crecimiento y etremos relativos a)y= (-2)2 b)y= e-2)2 e) y = (- l)(- 3) -2 e) y = " g).1'= Dy= +2 ) - ci) y = 9 _ 2 ) - f) y = ( _ 3)2 4 h).1' = 2 _ 4 j) y = (- 2)2 -l s 12 1 a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para > O por fe) = --- b) Halla las regiones de crecimiento y de decl-ecimiento de f indicando sus máimos y mínimos locales y globales, si los hay, c) Esboza la gráfica de.f +l s 13! Dada la función fe) = ~' se pide: a) Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas. b) Máimos y mínimos relativos, e intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Dibuja la gráfica de.r s 14 i Representa gráficamente la función:, pe) 1. 2) = 'l + (4/3).-' Cuántas raíces reales tiene este polinomio p ()? 10 i Representa la siguiente función:!!{() = i {X3-3X+1 si <O r e - 1)2 si ~ O i Estudia sus intervalos de crecimiento y de decrei cimiento, sus etremos relativos y su curvatura. 515 Dadas las siguientes funciones, halla sus asíntotas, es'tudia el crecimiento y la eistencia de máimos y mínimos, Dibuja SLl gráfica: ex a) y = 2 _ 3 4 c) y = + ( _ 1)2 b)y = 3 d) Y =.,,
7 18 Representa las siguientes funciones: b. In Inb)y=-- f) y = 2e- h)y = In(2-1) el) y = ( - 1)é' 20 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: 526 i Considera la función: i " i.i~x) = i si si < O ;:O: O En el intervalo (-00, O], estudia la eistencia de puntos de corte con los ejes, si la función crece o decrece, la eistencia de puntos de infleión y si tiene asíntotas. Dibuja la gráfica en todo IR. 21 a) y = + I + 21 c) y = Il + I - 31 Representa gráficamente: 1 a)y = Il- 2 b) Y = 2 -I - 31 d)y = i -11 b). y = /2/ -) '. 8 ;Dada la función {() = a + h + -, calcula a ' y b para que la gráfica de f pase por el punto (-2, -6) y tenga, en ese punto, tangente hori zontal. Para esos valores de a y b, representa lb función. 522 Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica 2 de la curva de ecuación y = ---? para > l :Halla los valores de a, h y c para los cuales la. a2 + h + c función e) = 2 _ 4 tiene como asíntota horizontal la recta y = -1 Y un mínimo en (O, 1). En el punto p( 2, - :) la deja y se desplaza a lo largo de la recta tangente a dicha curva. a) Halla la ecuación de la tangente. b) Si se desplaza de derecha a izquierda, halla el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próima al punto P. c) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, halla el punto en el que la partícula encuentra el eje O. 523 i Considera la función f() = 21-31: a) Halla los puntos donde f no es derivable, b) Calcula sus máimos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. 524 i La recta y = es una asíntota oblicua de , la función f() = k. Halla el valor de le y representa la función así obtenida, 536 i Da un ejemplo de una función que tenga un mínimo en = 1 Y que no sea derivable en ese punto. Represéntala. 537 i Da un ejemplo de una función que sea derivable en = 1 con f'( 1) = O Y que no tenga máimo ni mínimo en ese punto, 538! Si es posible, dibuja una fuq\ión continua en el intervalo [O, 4] que tenga, al' i11enos, un máimo relativo en el punto (2, 3) Y un mínimo relativo en el punto (3, 4), Si la función fuera polinómiea, cuál habría de ser, como mínimo, su grado? 545 : Las siguientes gráficas corresponden a las funciones f() = sen (n); 8 () = 2 sell (n); h() = 2 cos(n) en el intervalo [-2, 2J. Relaciona, de forma razonada, cada gráfica con su correspondiente función. a) h) 525 Considera I la función: -2 í}() =. l.. {sen 2-2 si E [-2n, [O, 3] O) Determina los puntos de corte con los ejes y sus etremos relativos. Dibuja su gráfica. c)~. -V t \)-
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