UNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA

Transcripción

1 REPUBLICA DE COLOMBIA SECRETARIA DE EDUCACION DISTRITAL DE SANTA MARTA INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resoluión Nº 88 de noviemre.8/ Emnd de l Seretri De Eduión Distritl DANE Nº7-99 TELF 6 Brrio Bstids Snt Mrt DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS UNIDAD Nº : LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA GRADO DECIMO. LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS Un rzón trigonométri es el oiente entre ls longitudes de dos ldos de un triángulo retángulo; Utilizremos un triángulo retángulo pr definir ls seis reliones trigonométris que se epresn ontinuión: o (), oo (os), tngente (tn), otngente (ot), te (se) y ote (ose). : teto opuesto : teto dyente : hipotenus En un triángulo retángulo, ests funiones se definen omo sigue: Sen tn ot g teto opuesto hipotenus teto opuesto teto dyente teto dyente teto opuesto se os teto dyente hipotenus hipotenus teto dyente os hipotenus teto opuesto Aquí podemos drnos uent que st on onoer ls funiones y os pr poder lulr ls otrs funiones, vemos por qué: tn Ejemplo: = os ) Un ángulo gudo tiene ot = os se = os ose =. Hll ls restntes rzones trigonométris de este ángulo. Soluión Según l definiión: Sen teto opuesto hipotenus, omprndo on, se dedue fáilmente que = y =, Pr hllr el ldo (teto dyente) se utiliz el teorem de Pitágors que y menionó:, reemplzndo vlores setiene 6 9 6, etryendo riz setiene Con los vlores de l hipotenus, y los tetos dyente y opuesto, se proede lulr ls siguientes reliones: Senα osα teto opuesto hipotenus teto dyente hipotenus,6,8 α osα,6,8 teto opuesto hipotenus tnα,7 tnα,7 seα, seα, teto dyente teto dyente osα hipotenus teto dyente,66 osα,66 ot g, ot g, teto opuesto teto opuesto Eloró: Rosmiro Fuentes Roh, Lienido en mtemátis y Físi, Ingeniero de Alimentos Págin

2 ) Hllr el vlor de ls reliones trigonométris del siguiente triángulo retángulo Soluión Antes de entrr revisr el vlor de ls reliones trigonométris se lul el vlor de l hipotenus, reemplzndo vlores setiene 6, etryendoriz setiene Con los vlores de l hipotenus, y los tetos dyente y opuesto, se proede lulr ls siguientes reliones: teto opuesto Senα tnα hipotenus teto opuesto teto dyente osα seα teto dyente hipotenus hipotenus teto dyente osα hipotenus teto dyente otgα teto opuesto teto opuesto ACTIVIDAD Nº ) En los siguientes triángulos retángulos, lul ls seis rzones trigonométris pr sus ángulos gudos. ) ) 6 8 ) Dd l funión enontrr el vlor de ls otrs ino reliones ) ) º = ) os 7º = 7 ) tng 7º = 8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO Se llm irunfereni goniométri quéll que tiene su entro en el origen de oordends y su rdio es l unidd. En l irunfereni goniométri los ejes de oordends delimitn utro udrntes que se numern en tido ontrrio ls gujs del reloj. QOP y TOS son triángulos semejntes. QOP y T'OS son triángulos semejntes. El o es l ordend. El oo es l sis. - α - os α SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Signo de ls rzones. En d udrnte, dependiendo del signo de ls siss y ordends, ls rzones pretn los siguientes signos: Eloró: Rosmiro Fuentes Roh, Lienido en mtemátis y Físi, Ingeniero de Alimentos Págin

3 ANGULOS NOTABLES Los ángulos notles son quellos uys reliones trigonométris pretn ierts rterístis espeifis que los diferenin de los demás ángulos RELACIONES SENO, COSENO Y TANGENTE DE º Se onsider l irunfereni goniométri de rdio, en este so, = r =, mientrs y = s en os tn otg s e El símolo os, signifi que l relión no eiste pr este ángulo RELACIONES SENO, COSENO Y TANGENTE DE 9º Se onsider l irunfereni goniométri de rdio, en este so, y = r =, mientrs = s en 9 os 9 tn 9 otg 9 s e9 os 9 SENO, COSENO Y TANGENTE DE º tn Pr determinr sus rzones tenemos en uent que se form un triángulo equilátero:omo r =, y omo el tringulo es equilátero, se oserv que y es l r mitd de uno de sus ldos, es deir y, Aplindo el teorem de Pitágors luego r y ( ) os SENO, COSENO Y TANGENTE DE 6º Formmos el triángulo equilátero de l figur, en este so, se oserv que l is r es l mitd de uno de sus ldos, es deir Aplindo el teorem de Pitágors Eloró: Rosmiro Fuentes Roh, Lienido en mtemátis y Físi, Ingeniero de Alimentos Págin

4 y r ( ) Se lul el vlor de ests tres reliones trigonometris 6 6 tn 6 SENO, COSENO Y TANGENTE DE º L y l y son igules, por lo que se form un triángulo isóseles Por el teorem de Pitágors r r, de donde r y, pero om = y, entones y omo = y, luego y os tn RESUMEN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Clulr ls rzones de º ( prtir de ls de º y º).. RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Resolver un triángulo en generl equivle determinr el vlor de los tres ángulos y los tres ldos. Pr Un triángulo retángulo es neesrio onoer l medid de por lo menos dos elementos Conoiendo l medid de dos ldos: utilizmos el teorem de Pitágors y rzones trigonométris Conoiendo ls medids de un ángulo gudo y un ldo: hllmos l medid del otro ángulo, luego plimos lgun rzón trigonométri pr enontrr l medid de uno de los otros ldos (teto o hipotenus) y por último se us el teorem de Pitágors o nuevmente un rzón trigonométri Ejemplos:. Enontrr l medid del ángulo y ules son ls longitudes de los ldos del triángulo de l figur Soluión Pr hllr el ángulo, se tiene en uent l ley que estlee que: en todo triángulo l sum de los tres ángulos interiores es igul 8º Es deir: m α º 9º + º + = 8º = 8º - º = 6º Pr lulr el vlor de ulquier de los otros ldos, se puede usr un rzón trigonométri que involure l teto opuesto l ángulo de º on l hipotenus, en este so el o Eloró: Rosmiro Fuentes Roh, Lienido en mtemátis y Físi, Ingeniero de Alimentos Págin

5 º 8m Senº Pr hllr el ldo se utiliz el teorem de Pitágors (8m) (m) 6m 8m m despejndo, setiene, 6m 8m, etryendo ríz udrd ACTIVIDAD Nº : Resuelve d uno de los siguientes triángulos ) = º y = m ) = º y =6m d) = 7º y = m e) = 8º ; =,6 f) = m ; = 6m. ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESION Angulo de Elevión. Si un ojeto est por enim de l horizontl, se llm ángulo de elevión l ángulo formdo por un líne horizontl y l líne visul hi el ojeto. Angulo de Depresión. Si un ojeto est por dejo de l horizontl, se llm ángulo de depresión l ángulo formdo por un líne horizontl y l líne visul hi el ojeto. Not. Los ángulos de elevión y de depresión son ongruentes entre rets prlels que simuln l líne del horizonte.. APLICACIONES ELEMENTALES DE LA RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Un lve importnte pr filitr l soluión de prolems medinte l resoluión de triángulos es el orreto onoimiento de ls rzones trigonométris generlmente en estos prolems nos proporionn el vlor de un ángulo gudo, un ldo onoido y un ldo desonoido, l filidd est en oservr omo se relionn estos dos vlores, demás es importnte her un osquejo gráfio de l situión plnted omo se pret en el siguiente ejemplo: Ejemplo : Un edifiio Reflej un somr de metros y el sol form un ángulo de elevión on el piso de. Determine l ltur del edifiio Eloró: Rosmiro Fuentes Roh, Lienido en mtemátis y Físi, Ingeniero de Alimentos Págin

6 m Soluión En l gráfi se señln, el ldo onoido (l somr) y el ldo desonoido (l ltur) que on respeto l ángulo gudo formn l tngente pues se tiene l relión del teto opuesto on el teto dyente. El plntemiento del prolem y el despeje prtir de los onoimientos otenidos en despeje de euiones resuelven el vlor de l ltur del edifiio que pr uirnos en el triángulo retángulo estmos hlndo del teto opuesto. Por definiión En este so tnθ tn teto opuesto teto dyente despejndo m m tn m,m Luego l ltur del edifiio es de, metros (teto opuesto),77 En síntesis se dee usr l rzón trigonométri que mejor relione los dtos y seguir el mino del despeje de euiones, est es solo un form de proeder en generl los prolems en mtemátis dependen en grn medid de ls reliones que hg el individuo on lo que se le pret y lo onoido por el ACTIVIDAD Nº. Resuelve los siguientes prolems utilizndo triángulos retángulos, en d so her un diujo. Determin l ltur de un árol, siendo que su somr mide 8m undo el ángulo de elevión del sol es de º. Hz un diujo del prolem.. Un vión se enuentr m de ltur undo omienz su deso pr terrizr. Qué distni dee reorrer el vión ntes de tor l pist, si j on un ángulo de depresión de º? Hz un diujo del prolem. Un edifiio tiene un ltur de 7m. Qué medid tiene l somr que proyet undo el sol tiene un ángulo de elevión de º?. Hz un diujo del prolem. L longitud del hilo que sujet un volntín es de m y el ángulo de elevión es de º. Qué ltur lnz el omet?. Mnuel, un strónomo prinipinte, midió el ángulo que se muestr en l figur pr lulr l distni que hy entre los entros de l Lun y l Tierr. Considerndo que el rdio de l Tierr es 68 km, qué resultdo otuvo Mnuel? Tierr Lun º 6. Cuál dee ser el ángulo de inlinión de un vión próimo terrizr, si de sorevolr un ltur Eloró: Rosmiro Fuentes Roh, Lienido en mtemátis y Físi, Ingeniero de Alimentos Págin 6

7 de m un glpón que se enuentr Km del eropuerto Km 7. Cuál es l ltur del puente que ruz un rio de m de nho,si desde uno de los etremos se vé l se del mismo pero del ldo opuesto on un ángulo de depresión de º 8. Un torre de pies de ltur está situd l orill de un lgo. Desde l punt de l torre el ángulo de depresión de l torre de un ojeto en l orill opuest del lgo es 6º. Cuál es el nho del lgo? Eloró: Rosmiro Fuentes Roh, Lienido en mtemátis y Físi, Ingeniero de Alimentos Págin 7