EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 MATEMÁTICAS UNIDAD 6. GEOMETRIA EN EL PLANO. FUNCIONES y GRÁFICAS. POLÍGONOS Y CIRCUMFERENCIAS. PERÍMETROS Y ÁREAS.

Transcripción

1 EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 MATEMÁTICAS UNIDAD 6 GEOMETRIA EN EL PLANO. FUNCIONES y GRÁFICAS. POLÍGONOS Y CIRCUMFERENCIAS. PERÍMETROS Y ÁREAS. a) Presentación b) Evaluación Inicial c) Contenidos d) Actividades e) Autoevaluación f) Otros recursos: bibliografía y recursos en red g) Refuerzos Educativos h) Ampliaciones / Propuesta de investigación Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 1

2 A/ PRESENTACIÓN En esta última presentación del curso serás el encargado de rellenar esta página. Busca gráficos y diagrames de diferentes temáticas en los periódicos y revistes que tengas a tu alcance. Indica siempre el origen del gráfico. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 2

3 B/EVALUACIÓN INICIAL 1. Utiliza el sistema de ejes cartesianos para situar los pares ordenados: a) (3, 7) b) (-4, 2) c) (-3, -5) d) (3 5, -2) e) (-1 3, -5) 2. Dibuja estos triángulos: a) Un triángulo isósceles b) Un triángulo equilátero c) un triángulo rectángulo 3. Responde a estas preguntas que hacen referencia a una circunferencia de radio 1 cm: a) Cuánto mide el diámetro? b) Cuál es la longitud de la circunferencia? 4. El perímetro de un campo de futbol tiene las medidas siguientes: 78 m de longitud y 32 de anchura. Qué tipo de figura es? Encuentra el perímetro. 5. Dibuja un cuadrado de 12 cm de perímetro. Cuánto mide el lado? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 3

4 C/CONTENIDOS 1. Coordenadas cartesianas Ejes de coordenadas Coordenadas de un punto. 2. Interpretación de gráficas. 3. Polígonos y circunferencias 3.1. Polígonos 3.2. Triángulos 3.3. Rectas y puntos notables en un triángulo 3.4. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones 3.5. Circunferencias 4. Perímetros y áreas D/ACTIVIDADES Tienes que copiar los enunciados, numerar las páginas y cuidar la presentación 1. Coordenadas cartesianas Ejes de coordenadas. APRENDE: Para representar puntos en el plano usamos dos rectas numéricas perpendiculares, que denominaremos ejes de coordenadas. En este sistema de ejes, denominamos: Eje de abcisas la recta horizontal, que representamos con X. Eje de ordenadas la recta vertical que representamos con Y. Origen de coordenadas es el punto de corte de los ejes, que representamos con O. El origen de coordenadas coinciden con el 0 de las dos rectas numéricas. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 4

5 Actividad 1. Sitúa sobre el sistema de coordenadas el eje de abscisas, el eje de ordenadas y el origen de coordenadas. APRENDE: Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes, cada una de las cuales lo denominamos cuadrante Coordenadas de un punto. APRÈNDE: Cada punto del plano se designa por las dos coordenadas que le corresponden: La primera coordenada se denomina x del punto o abscisas. La segunda coordenada se denomina y del punto u ordenada. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 5

6 Actividad 2. Indica las coordenadas de los puntos situados sobre el sistema de coordenadas siguiente: Actividad 3. Representa los puntos siguientes e indica en que cuadrante se encuentran. A(-3,4), B(6,3), C(4,-2), D(-4,-3) Actividad 4. Representa el punto P(3,5) y otro punto Q la abscisa y la coordenada de la cual sean las mismas pero cambiadas de orden. Actividad 5. Representa los puntos siguientes. Une cada punto con el siguiente y el último con el primero: A(3,1), B(9,1), C(9,5), D(11,5), E(8,7), F(4,7), G(1,5), H (3,5) Actividad 6. Haz las actividades 13 de la página 264 y 17 de la página 265 de tu libro de texto. Actividad 7. Representa los siguientes puntos en el plano. A(-1,0), B(5,0), C(-3,0), D(0,2), E(0,-4), F(-1,0) Actividad 8. Indica, sin representarlos, sobre qué eje se sitúa cada punto. A(0,2), B(-1,0), C(0,-1) Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 6

7 ejemplo 2. Interpretación de gráficas. APRENDE: Interpretar una gráfica es extraer información haciendo un estudio de izquierda a derecha. Consulta los ejemplos de la página 270 de tu libro de texto y pregunta tus dudas al profesor. Actividad 9. Expresa en una tabla les siguientes relaciones: a) Un número y su mitad. Un número mitad b) Un número y su doble. Un número Su doble c) Un número y su opuesto. Un número Su opuesto d) Un número y su inverso. Un número Su inverso Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 7

8 ENTORNO Actividad 10. Un globo aerostático se eleva y va cogiendo la temperatura del aire. Los datos se registran cada 10 kilómetros des de el 0 hasta los 60 y son los siguientes: Altitud (Km) Temperatura (ºC) a) Representa estos datos en un gráfico. b) Es una gráfica continua o discontinua? c) En qué tramos es creciente? d) En qué puntos se llega a un máximo o a un mínimo? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 8

9 3. Polígonos y circunferencias 3.1. Polígonos Un polígono es una figura plana limitada por segmentos Actividad 11. Realiza un esquema donde se vean las diferentes clasificaciones que se pueden hacer de los polígonos. Para hacerlo puedes utilizar tu libro de texto. Actividad 12. Realiza las actividades 1 y 2 de la página 198 de tu libro de texto. Actividad 13. Cuánto vale la suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados? ENTORNO Las abejas, un excelente en geometría Que nosotros sepamos, las abejas no van a la escuela ni estudian matemáticas. Pero aun así, parecen saber mucha geometría. Para almacenar la miel, constituyen panales de cera en forma de hexágonos perfectos unidos que forma una red continua. Las podrían construir circulares, pero no conseguirían una red con paredes comunes y sin agujeros(un gran ejemplo de aprovechas el espacio y ahorrar trabajo). También las podrían hacer cuadradas o triangulares, pero el hexágono es la figura que, por una misma longitud de lado, ofrece más superficie. Es decir, permite ocupar más espacio con el mismo esfuerzo y la misma cantidad de material. Quien habrá enseñado tantas matemáticas a las abejas? 3.2. Triángulos Un triangulo es una región del plano formada por una línea poligonal cerrada de tres segmentos y los puntos interiores a esta. Los segmentos de la línea poligonal son sus lados. Los lados se cortan definiendo los vértices. Actividad 14. Dibuja un triángulo y sitúa los lados, los vértices y los ángulos. Actividad 15. Haz la clasificación de los triángulos según: Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 9

10 a) Sus lados. b) Sus ángulos. Consulta la página 190 de tu libro de texto y escribe cuales son las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo. Actividad 16. Indica si los lados de un triangulo pueden hacer: a) 15, 8 y 20 cm. b) 2, 4 y 14 cm. Actividad 17. En un triangulo un ángulo hace 40º y otro de 30º. Cuánto mide el tercero? Actividad 18. En un triangulo rectángulo un ángulo hace 40º. Cuánto miden los otros dos ángulos? 3.3. Rectas y puntos notables en un triangulo Las medianas de un triangulo son las rectas que se obtienen cuando unimos cada uno de los vértices del triangulo con el punto mediano del lado opuesto. Las mediatrices de un triangulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasen por el punto medio. Las alturas de un triangulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice hasta el lado opuesto. Las bisectrices de un triangulo son las rectas que dividen cada uno de los ángulos en dos partes iguales. Actividad 18. Dibuja: a) Un triangulo y las medianas. Cómo se denomina el punto donde se corten? b) Un triangulo y las mediatrices. Cómo se denomina el punto donde se cortan? c) Un triangulo y las alturas. Cómo se denomina el punto donde se cortan? d) Un triangulo y las bisectrices. Cómo se denomina el punto donde se cortan? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 10

11 3.4. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones. Teorema de Pitágoras En un triangulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos: a 2 = b 2 + c 2 Actividad 19. En un triangulo rectángulo, los catetos hacen 4 cm y 10 cm, respectivamente. Cuánto mide la hipotenusa? Actividad 20. En un triangulo rectángulo, un cateto mide 8 cm y la hipotenusa 30 cm. Cuánto mide el otro cateto? Actividad 21. Una torre produce una sombra de 12 m. Cuál es la altura de la torre sabiendo que la distancia des de el punto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra es de 37 m? INGENIO HUMANO Actividad 22. Cuando se dice que un televisor tiene 14 pulgadas, se deja entender que la diagonal del rectángulo de la pantalla hace 14 pulgadas (1pulgada = 2, 54 cm). De cuántas pulgadas es un televisor los lados del cual miden 52,8 cm y 39,6 cm? 3.5. Circunferencias La circunferencia es una curva cerrada y plana los lados de la cual están situados a la misma distancia de otro punto denominado centro, O. En la página 196 de tu libro de texto puedes encontrar los elementos de una circunferencia. Haz un esquema. Actividad 23. Dibuja una circunferencia indicando sus elementos. Actividad 24. Dibuja una circunferencia de 3 cm de radio. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 11

12 4. Perímetros y áreas Para calcular el perímetro de un polígono irregular sumamos las longitudes de sus lados. Para calcular el perímetro de polígonos regulares de n lados hacemos: P = n c; donde P es el perímetro, n es el número de lados y c la longitud de un lado. La longitud de una circunferencia la podemos calcular mediante la expresión: L = 2 π r, donde L es la longitud de la circunferencia y r es el radio. Actividad 25. Calcula el perímetro de: a) Un rombo el lado del cual hace 7 cm. b) Una circunferencia de 3cm de radio. Actividad 26. Calcula el perímetro de una habitación rectangular con lados de 4m y 5m. ENTORNOS Crecer a copia de circunferencias Si observamos una sección transversal de un tronco, podremos ver una serie de circunferencias concéntricas. Qué representan estas circunferencias? Cada circunferencia oscura representa el crecimiento del árbol en otoño e invierno, que lógicamente es muy lento; los anillos más claros y más anchas corresponden al crecimiento durante la primavera, y verano, que es cuando el árbol crece más rápido. Mediante estos anillos de crecimiento se puede conocer con exactitud la edad del árbol. En las zonas de la tierra que no hay estaciones (por ejemplo en la zona ecuatorial), el crecimiento siempre es uniforme y los troncos de los árboles no presentan estos anillos de crecimiento. Área de un rectángulo de base b y altura a es: A = a b. Área de un cuadrado de lado c es A = c c = c 2. b Área de un triángulo de base b y altura h es A = 2 h. Área de un círculo de radio r es A = π r 2 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 12

13 Actividad 27. Cómo se calcula el área de un polígono regular? Actividad 28. Determina el área de un rectángulo de 3 m de base y 2 m de altura. Actividad 29. Calcula el área y el perímetro del suelo de una habitación rectangular de lados 3m y 7m. Actividad 30. Calcula el área y el perímetro de un rectángulo de 48 m de altura y 50 m de diagonal. Actividad 31. Calcula el área de un cuadrado de 6 cm de lado. Actividad 32. Determina el área de un triangulo de 5 cm de base y 8 cm de altura. Actividad 33. Calcula el área de un círculo de 5 cm de radio. Actividad 34. Realiza el ejercicio 22 de la página 214 de tu libro de texto. Haz también el ejercicio 38 de la página 219. Actividad 35. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo con los catetos de 3 cm y 4 cm. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 13

14 E/AUTOAVALUACIÓN 1. Indica les coordenadas de los puntos situados sobre el sistema: a = b = c = d = e = 2. En un triángulo un ángulo hace 50º y otro 20º. Cuánto mide el tercero? 3. Una torre produce una sombra de 12 m. Cuál es la altura de la torre sabiendo que la distancia desde el punto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra es de 37 m? 4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. Cuánto mide la hipotenusa? 5. Calcula la longitud de una circunferencia de 3 cm de radio. 6. Calcula el área y el perímetro de un rectángulo de 48 m de altura y 50 m de diagonal. 7. Determina el área de un cuadrado de 6 cm de lado. 8. Calcula el área de un círculo de 7 cm de radio. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 14

15 F/OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFIA Y RECURSOS EN RED Matemàtiques 1r ESO. Grup Promotor Santillana. Nombres i operacions. Matemàtiques 1r ESO. Ed. Mc Graw-Hill. Càlcul i mesura. Matemàtiques 1r ESO. Ed. Santillana. Páginas Web The Math Forum. Una pàgina imprescindible per als interessats en les matemàtiques. Els continguts són en anglès. Redemat. Una pàgina en castellà amb molts recursos. El paraíso de las matemáticas. En castellà, amb molts recursos. I enllaços. G/REFUERZOS EDUCATIVOS 1. Indica las coordenadas de los puntos situados sobre el sistema de ejes: a = b = c = d = e = 2. Completa las tablas utilizando la función algebraica que las representa y represéntalas en un sistema de ejes. a) y = 2 x +2 X Y b) y = x 2 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 15

16 X Y 3. En un triángulo rectángulo, los catetos hacen 12 cm y 16 cm, respectivamente. Calcula la hipotenusa. 4. Dibuja una circunferencia de radio 5 cm. 5. Calcula el área de un jardín que hace 7 x 5 metros de lado. 6. Determina el área de una finca cuadrada de metros de lado. 7. Calcula la longitud de una circunferencia de 4 cm de radio. 8. Calcula el área de un triángulo que hace 4 cm de base y 8 cm de altura. H/AMPLIACIONES/PROPUESTA DE INVESTIGACIÓN 1. Un campo de futbol mide 120 m de largo y 90 de ancho. En unos entrenamientos, los jugadores recorren la diagonal. Cuántos metros hacen? 2. Una habitación cuadrada tiene una superficie de 36 m 2 y queremos ponerle una cenefa que cuesta 2 /m. Cuánto nos costará? 3. Calcula la longitud del camino recorrido por una rueda de 64 cm de radio si hace 100 vueltas. 4. Calcula cuanto hace el lado de una baldosa cuadrada si tiene una superficie de 324 cm Calcula la diagonal de un cuadrado si sabes que el lado hace 8 cm. 6. Calcula la altura de un triángulo isósceles con dos lados iguales de 12 cm y un lado desigual de 16 cm. Determina su área. 7. Tenemos una circunferencia de 6 cm de diámetro. a. Calcula el radio. b. Calcula el área del círculo. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 6 16