1.MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Transcripción

1 1.MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Antes de iniciar está unidad es importante que recuerdes algunos conceptos vistos en Física I y algunos que verás en Temas selectos de Física para ello debes completar el siguiente esquema conceptual y revisar con tú profesor cada unos de los conceptos: Palabras claves: mecánica estática cinemática rectilíneo tiro vertical curvilíneo parabólico uniforme trayectoria desplazamiento velocidad aceleración Movimiento es estudiado por la se puede clasificar en función de su de un cuerpo se describe por su trayectoria en aceleración en se divide en dinámica Uniformemente variado tiempo como como caída libre circular 3

2 MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 1.1 Caída Libre Los cuerpos en caída libre no son más que un caso particular del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con la característica de que la aceleración es debida a la acción de la gravedad. Un cuerpo tiene caída libre si desciende sobre la superficie de la Tierra y no sufre ninguna resistencia originada por el aire. Por eso, cuando la resistencia del aire sobre los cuerpos es tan pequeña que se puede despreciar, es posible interpretar su movimiento como una caída libre. Es común para cualquiera de nosotros observar la caída de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra, pero te has preguntado qué tiempo tardan en caer dos cuerpos de diferente tamaño desde una misma altura y de manera simultánea? Una respuesta a esta interrogante sería, por ejemplo, experimentar con una hoja de papel y una libreta. Se observa que la hoja de papel cae más despacio y con un movimiento irregular, mientras que la caída de la libreta es vertical y es la primera en llegar al suelo. Ahora, se hace una bolita con la hoja de papel y dejémosla caer en forma simultánea con la libreta, y aquí, el resultado será que ambos cuerpos caen verticalmente y al mismo tiempo, por que al comprimir la hoja de papel casi se ha eliminado el efecto de la resistencia del aire. Cuando en un tubo al vacío se dejan caer simultáneamente una pluma de ave, una piedra y una moneda, su caída será vertical y al mismo tiempo, independientemente de su tamaño y peso, por lo que su movimiento es en caída libre. 4

3 En conclusión, todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, en ausencia de fricción, caen a la Tierra con la misma aceleración. La aceleración gravitacional produce sobre los cuerpos con caída libre un movimiento uniformemente variado, por lo que su velocidad aumenta en forma constante, mientras que la aceleración permanece constante. La aceleración de la gravedad siempre está dirigida hacia abajo y se acostumbra representarla con la letra g, y para fines prácticos se le da un valor de: g 9.8 m/s g 980 cm/s g 3 pies/s 5

4 Instrucciones: Ejercicio 1-1 Comprobar que los cuerpos tardan el mismo tiempo en caer cuando se disminuye la resistencia del aire durante su caída, realiza para ello el procedimiento que se te indica. Material Dos hojas de papel del mismo tamaño Una pelota Una canica Procedimiento 1. Toma una de las hojas y déjala caer, primero, junto con la canica y después, junto con la pelota. En ambas ocasiones, déjalas caer simultáneamente desde la misma altura. Observa y registra los que sucede. Influye la masa de los cuerpos?. Ahora arruga una de las hojas para formar una pequeña bola de papel. Déjala caer simultáneamente, desde una misma altura, junto con la otra hoja. Observa y registra lo que sucedió. A qué crees que se debe la diferencia? 3. Finalmente, toma la hoja arrugada y la canica, déjalas caer desde la misma altura y al mismo tiempo. Observa lo que sucede. Repite la misma experiencia, pero ahora, en lugar de la canica, utiliza la pelota. Registra lo que observas. Influyó la masa de cada objeto en el tiempo de la caída? Conclusiones 1. Llegan al mismo tiempo la pelota, la canica y la hoja de papel cuando se dejan caer simultáneamente desde la misma altura?. Por qué tarda más tiempo en caer la hoja extendida que una hoja hecha bola? 3. Anota tus conclusiones. 6

5 Instrucciones: Ejercicio 1- Analiza el siguiente diagrama y explícalo. Si dejamos caer un cuerpo, éste cae aceleradamente bajo la acción de la gravedad, ya que no presenta ninguna resistencia originada por el aire a este movimiento se le llama caída libre. Para la resolución de problemas de caída libre se utilizan las mismas ecuaciones del MRUV, pero se acostumbra cambiar la letra a de aceleración por g, que representa la aceleración de la gravedad, y la letra d de distancia por h, que representa la altura, por lo que dichas ecuaciones quedarían de la siguiente manera: Ecuaciones Generales V f Vi + a t V f Vi + a d Ecuaciones de Caída libre g t V f g h g h d V f a V i V f h g a t d Vi t + g t h d V f + Vi t V f h t 7

6 Ejemplos: 1. Una persona suelta una piedra desde una azotea de 45 m de altura. Calcular: a) con qué velocidad llegará la piedra al suelo?, b) cuánto tiempo tardará en llegar al suelo? h 45 m h g V? f t? g 9.8 m / s g t V f t g (9.8 m/ s 9.69 m / s t 9.8 m / s ) (45m) 9.69 m / s 88 m / s t 3. 0 s. Un gato camina sobre la cornisa de una casa cuya altura es desconocida; si el animal en un descuido cae al suelo en un tiempo de 3 s, cuál será la velocidad de caída y la altura de la casa? t 3 s g t V f? h? V f h t g 9.8 m / s (9.8 m / s ) (3 s) 9.4 m / s h (3 s) 9.4 m / s h m 3. A un trabajador que se encuentra sobre un edificio se le caen unas pinzas. Si las pinzas caen al suelo en 6 s. Desde qué altura cayeron las pinzas? Con qué velocidad chocan las pinzas con el suelo? t 6 s g t V f? h? V f h t g 9.8 m / s (9.8 m / s ) (6 s) 58.8 m / s h (6 s) 58.8 m / s h m 8

7 4. Un muchacho que se encuentra sobre el puente de un río a 5 m de altura arroja un objeto en línea recta hacia abajo. Determinar la velocidad con la que choca el objeto con el agua y el tiempo que tarda en caer. h 5 m h g V? f t? g 9.8 m / s g t V f t g (9.8 m/ s.13 m / s t 9.8 m / s ) (5m) 490 m / s.13 m / s t. 5 s Instrucciones: Ejercicio 1-3 Resuelve los siguientes problemas y registra los resultados numéricos en el crucigrama. A cada casilla le corresponde un dígito. Si las soluciones son correctas las operaciones indicadas en el crucigrama se deberán cumplir x + 4 x ) Calcula el tiempo que tarda en caer una manzana que llega al piso con una velocidad de 98 m/s. ) Una piedra en caer 98 s en caer. Calcula la velocidad con la que llega al piso. 9

8 3) Calcula la magnitud de la velocidad media de una piedra que se deja caer desde un acantilado y llega al fondo con una velocidad de 00 m/s. 4) Qué tiempo tarda en caer un objeto que se suelta desde una altura de 15 m? 5) Una canica tarda en caer 0.4 s. Con qué valor de velocidad llega al suelo? 6) Qué distancia recorre un móvil en s cuando se le suelta de un edificio de 100 m de altura? 7) Una torre tiene una altura de 45 m. Qué tiempo tarda en caer un objeto que se suelta desde el punto más alto? 10

9 8) Un costal se deja caer desde un globo. Qué tiempo tarda en recorrer 000 m? 9) Un cuerpo se suelta desde una altura de 180 m. Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? 10) Con qué velocidad llega al suelo una pelota que tarda 18.1 s en caer (se le suelta desde el reposo)? 11) Una bomba se deja caer desde un helicóptero, llega al suelo con una rapidez de 1870 m/s. Qué tiempo tardó en caer? 1) Calcula la magnitud de la velocidad media de una pelota que llega al suelo con una rapidez de 40 m/s. (Se deja caer verticalmente) 11

10 1. Tiro Vertical Este movimiento se presenta cuando un cuerpo se proyecta en línea recta hacia arriba. Su velocidad disminuirá con rapidez hasta llegar a algún punto en el cual esté momentáneamente en reposo; luego caerá de vuelta, adquiriendo de nuevo, al llegar al suelo la misma velocidad que tenía al ser lanzado. Esto demuestra que el tiempo empleado en elevarse al punto más alto de su trayectoria es igual al tiempo transcurrido en la caída desde allí al suelo. Esto implica que los movimientos hacia arriba son iguales a los movimientos hacia abajo, pero invertidos, y que el tiempo y la rapidez para cualquier punto a lo largo de la trayectoria están dados por las mismas ecuaciones para la caída de los cuerpos. Ya sea que el cuerpo se mueva hacia arriba o hacia abajo, la aceleración debida a la gravedad g es siempre hacia abajo. En el Tiro vertical la altura máxima se alcanza cuando la V 0. La magnitud de la velocidad durante el ascenso es diferente en cada punto pero de igual valor a la. magnitud de la velocidad durante el descenso en cada punto de la trayectoria. Instrucciones: Ejercicio 1-4 Analiza el siguiente diagrama y explícalo. 1

11 Las ecuaciones utilizadas en la solución de problemas de tiro vertical son las mismas que las de caída libre. Ecuaciones Generales Ecuaciones de Tiro vertical V f Vi + a t V f Vi + a d V i g t V i V i g h g h d V f a V i Vi h g a t d Vi t + g t h d V f + Vi t Vi h t t subir t bajar T t Ejemplos: 1. Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba con una velocidad de 4.5 m/s. Calcular: a) la altura máxima a la que llega la pelota, b) la velocidad de llegada al punto de partida y c) el tiempo total requerido para volver al punto de lanzamiento. V f V i 4.5 m / s V 4.5 m / s V i g t h? V i f? T? Vi t g V h i t 4.5 m / s t 9.8 m / s 4.5 m / s h (.5 s) t. 5 s h m T t T (.5 s) T 5 s 13

12 . Cuál será la velocidad inicial necesaria para que una pelota de tenis que es lanzada hacia arriba logre alcanzar una altura de 40 m? V i? V i h g V i (9.8 m / s ) (40 m) h 40 m g 9.8 m / s V i 784 m / s V i 8 m / s Instrucciones: Ejercicio 1-5 En los paréntesis escribe una F si el enunciado es falso y una V si el enunciado es verdadero. 1. ( ) Cuando se lanza un objeto hacia arriba, la aceleración que actúa durante el ascenso es diferente a la aceleración del descenso del objeto.. ( ) La magnitud de la velocidad con la que se arroja un cuerpo es igual a la magnitud de la velocidad con la que regresa dicho cuerpo. 3. ( ) Cuando un objeto es arrojado hacia arriba, la velocidad en el punto más alto es cero. 4. ( ) Cuando un objeto es arrojado hacia arriba, su aceleración es cero en el punto más alto. 5. ( ) Al lanzar un objeto hacia arriba, el tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto es el mismo tiempo que tarda en llegar al punto desde donde fue lanzado. Instrucciones: Ejercicio 1-6 Resuelve los siguientes problemas de acuerdo al procedimiento visto en clase. 1) Un chico lanza hacia arriba un balón con una velocidad inicial de 10 m/s. A qué altura llegará el balón? Cuánto tardará en alcanzar su altura máxima? 14

13 ) Una pulga salta verticalmente hasta 0.1 m. Con qué valor de velocidad vertical despega? En cuánto tiempo alcanza esta altura? 3) Con qué velocidad se debe lanzar una pelota para que alcance una altura de 10 m? y Para qué alcance una altura de 50 m? 4) Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s. Qué altura habrá alcanzado una vez que haya reducido a la mitad su velocidad inicial? 5) Un proyectil antiaéreo se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 00 m/s. Calcular la altura máxima que alcanzará y el tiempo que tardará en regresar si falla a partir de que fue disparado. 6) Un muchacho lanza hacia arriba un balón con una velocidad inicial de 1 m/s. A qué altura llegará el balón? Con qué valor de velocidad regresará el balón al muchacho? 15

14 7) Un beisbolista lanza una pelota en línea recta hacia arriba. La pelota cae al suelo a los 6 s después de haber sido lanzada. Calcular: a) la velocidad inicial b) la altura máxima alcanzada c) el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima 8) Una flecha es disparada verticalmente hacia arriba, regresa al suelo después de 10 s de haber sido lanzada. Calcular: a) la velocidad con la que fue lanzada b) la altura máxima alcanzada 9) Con qué velocidad debe arrojarse una pelota verticalmente hacia arriba para que alcance una altura máxima de 4 m? Cuánto tiempo permanecerá en el aire? 10) Un niño da un salto vertical hacia arriba alcanzando una altura máxima de 40 cm. Calcular: a) la velocidad inicial de su salto b) el tiempo total que dura en el aire 16

15 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES El tiro horizontal y el tiro parabólico son ejemplos de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión; el de una pelota de fútbol al ser despejada por el portero, o el de una pelota de golf al ser lanzada en cierto ángulo respecto a la horizontal. El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento rectilíneo uniformemente variado. Instrucciones: Ejercicio 1-7 Define que es un proyectil y dibuja algunos ejemplos. 17

16 1.3 Tiro Horizontal Si un cuerpo cae libremente desde el reposo al mismo tiempo que otro es proyectado horizontalmente desde la misma altura, los dos chocarán a la vez con el suelo. Un ejemplo de este tipo sería el que se observa al caer las bombas de un avión sobre la superficie de la Tierra. Un cuerpo que cae de una altura desde el reposo y otro proyectado horizontalmente, llegan al suelo al mismo tiempo. En esta figura, dos bombas A y B son enviadas al suelo; se libera la bomba B hacia la derecha, y se deja caer la bomba A verticalmente. La bomba A cae con la aceleración de la gravedad g, la bomba B, recorriendo la trayectoria abcde, choca con el suelo al mismo tiempo. De este ejemplo se deduce que la aceleración hacia abajo de un proyectil es la misma que la caída libre de un cuerpo, y se produce independientemente de su movimiento horizontal. El proyectil ejecuta dos movimientos: a) una velocidad horizontal constante Vi b) una aceleración vertical hacia abajo dada por el valor de g Con la Vi, la distancia horizontal d recorrida es proporcional al tiempo y está dada por la ecuación: d V i t Como la bomba cae al mismo tiempo con una aceleración g, la distancia vertical h es proporcional al cuadrado del tiempo y está dada por la ecuación: h g t 18

17 Ejemplos: 1. Desde un avión se lanza una bomba a una altura de 3000 m; si la velocidad del avión es de 1000 km/h, calcular: a) el tiempo que tarda la bomba en llegar a la tierra b) la distancia horizontal durante su caída h 3000 m V 1000 km / h 77.7 m / s h g t i g 9.8 m / s t? d? t h g t (3000 m) 9.8 m / s t s d V i t d ( m / s) (4.74 s) d m. Un cañón dispara una bala a 00 m/s desde un acantilado de 300 m de altura sobre el nivel del mar. Cuánto tiempo tarda en llegar al agua? Qué distancia recorre? V i 00 m / s g t h h 300 m g 9.8 m / s t? d? t h g t (300 m) 9.8 m / s t 7. 8 s d V i t d ( 00 m / s) (7.8 s) d 1574 m 19

18 Instrucciones: Ejercicio 1-8 Resuelve los siguientes problemas de acuerdo al procedimiento visto en clase. 1) Se dispara una bala horizontalmente a.5 m del suelo. Calcular el tiempo que tardaría en llegar al blanco si se encuentra a 100 m de distancia y la bala lleva una velocidad de 750 m/s. ) Un avión supersónico está volando horizontalmente a una altura de 10 km y con una rapidez horizontal de 000 m/s cuando libera una caja de acero. Cuánto tardará la caja en tocar el piso?, Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja a los s? 3) Una flecha se dispara horizontalmente con una rapidez de 60 m/s desde una altura de 1.7 m sobre un terreno horizontal. A qué distancia del arquero llegará la flecha? Desprecia la resistencia del aire. 4) De una mesa de 1 m de altura se arroja horizontalmente una canica con una rapidez de m/s. Qué tan lejos de la base de la mesa se impactará la canica en el piso? 0

19 1.4 Tiro Parabólico Considérese un proyectil que es lanzado a determinado ángulo de elevación; debido a la fuerza de atracción de la gravedad, tiende a llegar hasta cierta altura y luego desciende siguiendo una trayectoria parabólica. Si un proyectil alcanza una gran velocidad, el aire tiende a frenar el movimiento acercándolo hacia abajo y la trayectoria se aparta de la parábola. El tiro parabólico oblicuo se caracteriza por la trayectoria seguida por el proyectil cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal. Los proyectiles tienden a seguir una trayectoria parabólica, y debido a la fricción del aire, ésta se acorta. Generalmente en los problemas clásicos, se desprecia la fricción del aire y se calcula la trayectoria teórica de un proyectil y, si es necesario, se pueden hacer correcciones para el rozamiento del aire. Regularmente debe conocerse la velocidad inicial del lanzamiento Vi y su ángulo inicial θ. El ángulo se mide desde la línea horizontal; en caso de que los proyectiles sean balas y granadas, la elevación del ángulo de elevación es la que tenga el cañón. Los problemas por resolver para los proyectiles son: El tiempo de vuelo La altura máxima conseguida El alcance logrado El tiempo de vuelo (T) de un proyectil se define como el tiempo necesario para su regreso al mismo nivel desde donde fue disparado. La altura máxima (H), llamada flecha, se define como la mayor distancia vertical alcanzada, medida desde el plano horizontal de tiro. El alcance (R) es la distancia horizontal desde el punto de proyección hasta el punto donde el proyectil vuelve otra vez al mismo plano horizontal. Cálculo de trayectorias Para el cálculo de la altura y el alcance de un proyectil, la velocidad inicial (Vi) de proyección como vector se descompone en dos componentes, una vertical y una 1

20 horizontal. Llamamos R a la distancia de tiro, y θ al ángulo de elevación; las componentes x y y de la velocidad se dan por las funciones seno y coseno. Trayectoria de un proyectil, indicado con H la altura máxima alcanzada, T el tiempo de vuelo y R el alcance. Para calcular cada uno de estos factores, basados en los conceptos de velocidad constante y movimiento acelerado, bajo los procedimientos matemáticos, se dedujeron las siguientes ecuaciones. Tiempo de vuelo (T) Altura máxima (H) v senθ T g ( v senθ ) H g v Alcance (R) R ( sen θ ) g

21 Ejemplos: 1. En un juego de básquetbol, desde la línea media de la cancha es lanzada una pelota con una velocidad de 15 m/s y un ángulo de elevación de 65. Calcular: a) el tiempo de vuelo b) la altura máxima alcanzada c) el alcance V i 15 m / s θ 65 T v senθ g T (15 m / s) ( sen 65 ) 9.8 m / s T. 77 s g 9.8 m / s T? H? R? ( v senθ ) H g v R g ( sen θ ) ((15 m / s) ( sen 65 )) H (9.8 m / s ) (15 m / s) R ( sen (65 )) (9.8 m / s ) H 9. 4 m R m. Una bala es lanzada con una velocidad de 140 m/s a un ángulo de 30 con respecto a la horizontal. Calcular: a) el tiempo de vuelo b) el alcance c) la altura máxima V i 140 m / s θ 30 T v senθ g T (140 m / s) ( sen 30 ) 9.8 m / s T s g 9.8 m / s T? R? H? v R g ( sen θ ) ( v senθ ) H g (140 m / s) R ( sen (30 )) (9.8 m / s ) ((140 m / s) ( sen 30 )) H (9.8 m / s ) R m H 50 m 3

22 Instrucciones: Ejercicio 1-9 A la salida del laberinto encontrarás el nombre de la trayectoria que describe un proyectil que se acelera en forma vertical mientras se desplaza horizontalmente. Escribe en este espacio la trayectoria que describe el proyectil. 4

23 Instrucciones: Ejercicio 1-10 Escribe en los círculos que aparecen en blanco en número que corresponde a los ángulos de disparo citados, previa selección de los números que se muestran en la clave. Una vez realizado esto, responde brevemente las preguntas. El alcance horizontal y la altura vertical de un proyectil que describe una trayectoria parabólica dependen de su velocidad inicial y su ángulo de disparo. En la siguiente figura se muestran las trayectorias de diferentes proyectiles lanzados con la misma rapidez, pero con diferentes ángulos de disparo. Ángulos de disparo: 5, 15, 30, 45, 60, 75, 80 Alcances y alturas de un proyectil disparado con la misma rapidez a diferentes ángulos de disparo. 1. A qué ángulo el alcance de un proyectil es máximo?. A qué ángulo de los que aparecen en la figura la altura es máxima? 3. Para qué ángulos de la figura el alcance del proyectil es el mismo? 5

24 Instrucciones: Ejercicio 1-11 Resuelve los siguientes problemas de acuerdo al procedimiento visto en clase. 1) Una flecha es disparada en el aire con una velocidad de 5 m/s a un ángulo de elevación de 30. Calcular: el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance logrado. ) Un beisbolista lanza una pelota a una velocidad de 95 mi/h a un ángulo de 35. Calcular: el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance logrado. 3) Una rana salta con una rapidez de m/s a un ángulo de 45 con la horizontal. Cuánto tiempo permanece en el aire?, Cuál es su alcance? y Cuál es la altura máxima de su salto? 4) Una pelota de golf se golpea y sale impulsada con una rapidez de 0 m/s a un ángulo de 45 con respecto a la horizontal. Cuál es su alcance cuando han transcurrido 0.4 s? 6

25 1.5 Relación entre el movimiento lineal y el movimiento circular Cuando una cuerda se desenrolla de un carrete o cuando una llanta se hace girar sobre su eje se desplaza a lo largo del pavimento, se producen movimientos rotacional y lineal simultáneamente. Por otra parte, cuando un cuerpo rígido gira con respecto a un eje fijo, cada partícula del cuerpo se mueve a lo largo de trayectorias circulares. La descripción del movimiento de cada partícula se puede hacer ya sea en cantidades circulares o en cantidades lineales. El conocimiento de la relación entre cantidades lineales y circulares permite ir y venir de una descripción a otra, así como comprender o describir mejor cierto tipo de fenómenos con una determinada descripción. Analogías entre el movimiento lineal y circular Lineal Circular d (m) θ (rad) V (m/s) ω (rad/s) a (m/s ) α (rad/s ) Las ecuaciones que permiten relacionar los dos tipos de movimiento; lineal y circular para un cuerpo que sólo tenga movimiento de rotación o para un cuerpo que además del movimiento de rotación tenga uno de traslación, son las siguientes: Ecuaciones que relacionan al movimiento lineal y circular d θ r La ecuación que relaciona el desplazamiento circular y el radio de la trayectoria circular con la distancia lineal conocida también como distancia tangencial, la cual corresponde a la longitud del arco que tiene un ángulo central igual a θ. 7

26 Para el caso de un móvil que además de tener un movimiento de traslación gira sobre su propio eje, el ángulo que gira un punto en su superficie circular equivale a un recorrido sobre la trayectoria circular igual a la distancia tangencial, pero también equivale a un recorrido sobre la trayectoria rectilínea igual a la distancia tangencial. Durante el giro, una llanta recorre sobre la superficie plana una distancia igual a la longitud de arco. V ω r La ecuación que establece que la rapidez tangencial de un punto de un cuerpo rígido que gira es igual a la distancia a la que se encuentra ese punto respecto al eje de rotación multiplicada por la magnitud de la velocidad angular. Por tanto, aunque todos los puntos de un cuerpo rígido tengan la misma velocidad angular, no todos tienen la misma rapidez tangencial. La rapidez con la que se mueve una partícula sobre la polea se puede expresar en función de una cantidad lineal V o de una cantidad angular ω. La velocidad tangencial en cada uno de los puntos de un cuerpo que gira es diferente. 8

27 a α r La magnitud de la aceleración tangencial de un punto de un cuerpo que gira es igual a la distancia a la que se encuentra dicho punto respecto al eje de rotación multiplicada por la magnitud de la aceleración angular. Donde: d longitud de arco cm, m θ desplazamiento angular rad r radio cm, m V velocidad lineal cm/s, m/s ω velocidad angular rad/s a aceleración lineal cm/s, m/s α aceleración angular rad/s Velocidad tangencial, aceleración lineal y fuerza centrípeta Velocidad lineal o tangencial Cuando un cuerpo se encuentra girando, cada una de las partículas del mismo se mueve a lo largo de una circunferencia descrita por él con una velocidad lineal mayor a medida que aumenta el radio de la circunferencia. Esta velocidad lineal también recibe el nombre de velocidad tangencial, por que la dirección del movimiento siempre es tangente a la circunferencia recorrida por la partícula y representa la velocidad que llevaría ésta si saliera disparada tangencialmente. 9

28 Por ejemplo si observamos a cuatro niños que se toman de la mano como se muestra en la figura y uno de ellos queda fijo como pivote y los demás empiezan a correr a su alrededor, tarde o temprano el niño más alejado se tiene que soltar para evitar caerse, por qué se tiene que soltarse?. La respuesta es que no puede mantener su rapidez, la cual es mayor que la de los demás niños. A pesar que todos den el mismo número de vueltas en el mismo intervalo de tiempo, la rapidez de cada uno de ellos es diferente. Esto se debe a que cada niño recorre una distancia diferente. El niño más alejado, al correr un mayor perímetro que los demás en el mismo intervalo de tiempo, tiene mayor rapidez. Por lo que la distancia recorrida por uno de los niños es igual al perímetro del círculo πr y el periodo T es el tiempo que tarda en recorrer dicho perímetro, entonces para calcular el valor de la velocidad tangencial o lineal se usa la ecuación: donde: r radio del círculo T periodo V L velocidad lineal o tangencial V L π r T Unidades m s m/s En un movimiento circular uniforme la rapidez lineal de un móvil es constante, pero su velocidad lineal no lo es, ya que su dirección está cambiante en cada punto de la trayectoria, al ser tangente a la circunferencia recorrida por el móvil. Como ω π la velocidad lineal puede escribirse: T V L ω r donde: V L velocidad lineal o tangencial ω velocidad angular r radio del círculo Unidades m/s rad/s m 30

29 Ejemplos: 1. Calcular el valor de la velocidad lineal de una partícula cuyo radio de giro es de 5 cm y tiene un periodo de 0.01 s. V L? r 5 cm 0.5 m T 0.01 s V L π r T π (0.5m) V L V L 157 m / s 0. 01s. Determinar el valor de la velocidad lineal de una partícula que tiene una velocidad angular de 30 rad/s y su radio de giro es 0. m. V L? ω 30 rad / s r 0. m V L ω r V L ( 30rad/ s) (0. m) V L 6 m/ s Aceleración lineal y radial Aceleración lineal Una partícula presenta esta aceleración cuando durante su movimiento circular cambia su velocidad lineal. Para determinar la aceleración lineal tenemos la siguiente ecuación: a L α r donde: a L aceleración lineal α aceleración angular r radio del círculo Unidades m/s rad/s m Aceleración radial En un movimiento circular uniforme la magnitud de la velocidad lineal permanece constante, pero su dirección cambia permanentemente en forma tangencial a la circunferencia. Dicho cambio en la dirección de la velocidad se debe a la existencia de la llamada aceleración radial o centrípeta. Es radial por que actúa perpendicularmente a la velocidad lineal y centrípeta por que su sentido es hacia el centro de giro o eje de rotación. 31

30 Su expresión es: donde: a r aceleración radial V L velocidad lineal r radio del círculo a r VL r Unidades m/s m/s m Como V L ω r ( ω r) ω r r r a r Entonces donde: a r aceleración radial ω velocidad angular r radio del círculo a r ω r Unidades m/s rad/s m Como la aceleración lineal representa un cambio en la velocidad lineal y la aceleración radial representa un cambio en la dirección de la velocidad, se puede encontrar la resultante de las dos aceleraciones mediante la suma vectorial de ellas. resul tan te L a a + a r Las aceleraciones tangenciales y centrípetas forman un ángulo de 90º entre sí. 3

31 Ejemplos: 1. Calcular el valor de la aceleración lineal de un partícula cuya aceleración angular es de 3 rad/s y su radio de giro es 0.4 m. a L? α 3 rad / s r 0.4 m a L α r a L (3 rad/ s ) (0.4 m) a L 1. m/ s. Encontrar el valor de la aceleración radial de una partícula que tiene una velocidad angular de 15 rad/s y su radio de giro es de 0. m. a r? ω 15 rad / s r 0. m a r ω r a r (15 rad / s) (0. m) a r 45 m/ s 3. Un cilindro de 35 cm de diámetro que inicia su rotación a partir del reposo es acelerado de manera que en un instante determinado su aceleración centrípeta es de m/s y su aceleración tangencial es de m/s, cuál es el valor de la aceleración lineal total en dicho instante? a a a c L m / s 0.07 m / s resul tan te? resul tan te al a r aresul tan te ( 0.07m/ s ) + (0.0137m / s ) a + a resul tan te.0154 m / 0 s Instrucciones: Ejercicio 1-1 Resuelve los siguientes problemas de acuerdo al procedimiento visto en clase. 1) Encontrar la velocidad angular y lineal de un cuerpo que tiene un radio de giro de 0.15 m y un periodo de 0.5 s. 33

32 ) Calcular el valor de la velocidad lineal de una piedra que tiene una velocidad angular de 0 rad/s y un radio de giro de 1.5 m. 3) Cuál es el valor de la aceleración lineal de una partícula cuya aceleración angular es de rad/s y su radio de giro es de 0.3 m? 4) Determinar el valor de la aceleración radial de una partícula que tiene una velocidad angular de 8 rad/s y su radio de giro es de 0.35 m. 5) Cuál es el valor de la aceleración lineal total de un cilindro que inicia su rotación a partir del reposo y es acelerado de manera que en un instante determinado su aceleración centrípeta es de 0.05 m/s y su aceleración tangencial es de 0.07 m/s? 34

33 Instrucciones: Ejercicio 1-13 Completa el siguiente mapa conceptual con las palabras claves que se proporcionan. parábola aceleración constante tiro horizontal uniforme circunferencia angulares aceleración angular aceleración centrípeta Movimiento curvilíneo puede ser Movimiento parabólico Movimiento circular se caracteriza por puede ser puede ser se caracteriza por su trayectoria es una tener una tiro oblicuo Uniformemente acelerado su trayectoria es una se puede describir por la cantidad velocidad inicial lineales no tienen la misma dirección velocidad angular como velocidad lineal como velocidad angular velocidad angular 35