DERIVADA DE LAS FUNCIONES BÁSICAS SENO Y COSENO
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- Eva Villalobos Barbero
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1 DERIVADA DE LAS FUNCIONES BÁSICAS SENO Y COSENO Sugerencias para quien imparte el curso: Un inconveniente que se podría conjeturar de inicio, es la existencia de estudiantes que aún no logran comprender los conceptos básicos del Cálculo Diferencial, en particular el de derivada, pues aunque podrían mostrar un dominio aceptable en la algoritmia para encontrarlas, difícilmente comprenden el por qué de esas reglas que utilizan, y esto suele suceder cuando se enfrentan a tal concepto con un enfoque abstracto sin relación alguna con problemas de variación y de la rapidez promedio e instantánea de la variación, por tal razón en la propuesta presente, se intenta romper con el enfoque formal, que solo esconde las ideas geométricas y físicas que generaron el concepto de derivada, al sugerir un enfoque menos formal donde de ninguna manera se sacrifique el desarrollo de ideas e interpretaciones de la derivada, para dar solamente lugar al trabajo algorítmico. El contenido se irá generando a través de la necesidad de resolver problemas, transitando entre diversas representaciones, la tabular, la gráfica y la algebraica, de tal modo que los conceptos básicos se establecerán durante la búsqueda de la solución a los problemas que de inicio se plantean. Propósitos: 1. Ratificar la interpretación geométrica de la derivada. 2. Conocer los segmentos relacionados a la recta tangente. 3. Inducir a través de sus gráficas, las reglas para la derivada de la función básica seno y de la función básica coseno. 4. Recordar algunas notaciones para la derivada, la de Lagrange, la de Leibniz y la de Euler. EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE Y SUS SEG- MENTOS RELACIONADOS Si en la figura 1 la recta l es tangente a la onda senoidal básica en el punto P de abscisa x = 1, encuentra: a) La ecuación de la recta tangente l. b) La longitud del segmento tangente c) La longitud de la subtangente Preguntar: 1. Qué elementos se deben conocer de una recta para poder obtener su ecuación? Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes 1-15
2 2. Conoces algún método para obtener la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto? 3. En este caso, cómo se podría encontrar la pendiente de la recta l, sabiendo que es tangente a la onda senoidal básica en el punto P? Figura 1 Preguntar: 4. Cuál concepto del Cálculo se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva? El principal conflicto a enfrentar, es que existan alumnos con dificultades en la formación del concepto de derivada de una función en un punto, y que por lo tanto no relacionen su valor en el punto con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto, así que en este momento resulta adecuado replantear cómo con el método de Límites de Fermat, se arriba al concepto de derivada como un concepto dinámico que cuantifica la rapidez con que varia una variable respecto de otra en un instante, creando así un método general para calcular pendientes de tangentes. La respuesta a la pregunta 4, sugiere realizar alguna actividad con la finalidad de obtener una fórmula que permita calcular la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la onda senoidal básica, y puede ser la siguiente actividad Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes
3 La actividad consiste en bosquejar la gráfica de la derivada de la función básica seno, evaluando la derivada en el punto a, con el método de ites de f ( x) f ( a ) Fermat, f ( a) = x a Para este caso, como f ( x) = sen x, entonces f ( a) = sen x sen a x a El procedimiento radica en completar la tabla de valores que aparece después de los ejemplos, localizar los puntos en el plano de la figura 2, donde ya está f x sen x f x y proponer un regla de la gráfica de =, bosquejar la gráfica de correspondencia para ella. Preguntar: 5. Qué sucede si f x f a x a = x a + f x f a x a? Sugerir que: Para evaluar el Para evaluar el sen x sen a x a sen x sen a + x a, tomen valores de x = a , tomen valores de x = a Por ejemplo, para a = 2π se tendría lo siguiente: x 2π x 2π + sen x sen 2π sen 2π sen 2π = = 1 x 2π 2π π sen x sen 2π sen 2π sen 2π = = 1 x 2π 2π π De esto se concluye que f ( π ) 2 = 1 Mientras que para a = 0.25π, se obtendría: x 0.25π x 0.25π + ( π ) sen x sen 0.25π sen sen 0.25π = = x 0.25π 0.25π π ( π ) sen x sen 0.25π sen sen 0.25π = = x 0.25π 0.25π π Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes 1-17
4 De donde f ( 0.25π ) = a + f ( a ) Punto de f ( x ) 2π A( 2 π,1) 1.75π 1.5π 1.25π π 0.75π 0.5π 0.25π π J ( 0.25 π, ) 0.5π 0.75π π 1.25π 1.5π 1.75π 2π 1-18 Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes
5 f ( x) = sen x Figura 2 bre una función Para probar la con dados en la tabla y observar que en todo caso coincida con correspondiente. Concluir que si se entonces la función F ( x mo la derivada de njetura, evaluará la función cumple que F ( a) f ( a) ) que se sugirió es la derivada de El alumno deberá realizar a partir de la gráfica construida, una conjetura so- F x com f x. F x con los valores de x = a = para todo valor a de la tabla, f x. Después de la actividad establecer el siguiente concepto clave. el valor de f ( a ) Concepto clave: Si f ( x) sen x 5. Derivada de la función básica seno =, entonces con la notación de Lagrange f ( x notación de Leibniz d se en x dx = cos x o con la notación de Euler D sen x = cos x. x ) = cos x o con la Pedir a los alumnos la respuesta al primer inciso del problema inicial, aplicando este concepto clave. Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes 1-19
6 Para que respondan el segundo inciso, sugerir la figura 3, donde el segmento tangente es MP. Figura 3 Para que respondan el tercer inciso, proponer la figura 4, donde la subtangente es el segmento de recta MN. Figura Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes
7 Ejercicio 1 Procede de manera similar a la actividad realizada, para que obtengas en el plano de la figura 5, la gráfica de la derivada de la f x = cos x y sugieras una regla de correspondencia para función dicha gráfica. Ahora, f ( a) = cos x - cos a x - a a 2π 1.75π 1.5π 1.25π π 0.75π 0.5π 0.25π π 0.5π 0.75π π 1.25π 1.5π 1.75π 2π + f ( a ) Punto de f ( x ) Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes 1-21
8 f ( x) ) = cos x Figura 5 Conjetura, según la gráfica bosquejada, quién podría ser f ( x )? La respuesta correcta permitirá introducir el siguiente concepto clave. Concepto clave: d cos x dx Si f ( x) cos x 6. Derivada de la función básica cosenoo =, e f x = sen x, o con las otras notaciones; = sen x o D ( cos x x entonces ) = sen x Para cerrar la sección, le corresponderá a quien imparte el curso, proponer la resolución de ejercicios, que puede tomar de cualquier texto de Cálculo Diferencial e Integral, con el propósito de practicar la parte algorítmica, a la vez que habrá de ejemplificar de manera detallada la resolución de algunos de ellos, empleando en esta ocasión las reglas de derivación para las funciones básicas seno y coseno, en conjunción con las reglas algebraicas aprendidas en el curso anterior, quedando a su consideración volver a enunciarlas Unidad 1. Derivadas de Funciones Trascendentes
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