Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II 2º Bachillerato. La igualdad de matrices 3x3 equivale a 9 ecuaciones escalares: { a 3=5.

Transcripción

1 Ejercicios resueltos 1. MATRICES 1.1. Introducción 1. Halla el valor de a, b y c para que las matrices A= 2 a 3 7 b y B= c sean iguales. La igualdad de matrices 3x3 equivale a 9 ecuaciones escalares: 2=2 a 3=5 7=7 2 a 3 7 A= B b = b= c =1 0=0 6=c 1 4=4 5= 5 Una vez comprobado que no hay absurdos, y eliminando las identidades: a 3=5 a=8 b= 5 b= 5 6=c 1 c=7 2. Clasifica las siguientes matrices: A= Matriz B= Matriz 3x2. 3x1, columna. C = Matriz 2x2, cuadrada de orden 2. D= Matriz 2x2, cuadrada de orden 2, escalonada, triangular superior, triangular inferior, diagonal, identidad de orden 2 I 2. Raúl Corraliza 79

2 E= Matriz 3x3, cuadrada de orden 3, escalonada, triangular superior, 1.2. Operaciones con matrices triangular inferior, diagonal. 3. Dadas las matrices A= y B= : a Calcula: A+ B, A B, 2 A+ 3B, 3 A 5 B, A t. A+B= = A B= = A+3 B= = = = A 5 B= = A t = = t = = b Comprueba que A+ B t = A t + B t. A+B t = = t A t + B t = Ambos resultados coinciden = t = Raúl Corraliza

3 4. Dadas las matrices A= y B= 3 2 1, calcula: A B ; B A. A B= = 3 1 B A= = Dadas las matrices A= y B= , comprueba que A B t = B t A t. t 1 5 A B t = B t A t = t 3 2 Ambos resultados coinciden. 5 0 t = 4 1 = t = = Dada la matriz A= , calcula: A 2, A 3, A 4. A 2 =A A= = A 3 = A 2 A= = A 4 =A 3 A= = Dada la matriz A= , calcula: A 2, A 3, A 70, A 81. A 2 =A A= A 3 = A A= = = = I 3 Raúl Corraliza 81

4 A partir de este resultado: A 4 =A 3 A= I 3 A= A A 5 = A 4 A= A A= A 2 A 6 = A 5 A= A 2 A= A 3 =I 3 Así pues, los resultados son cíclicos con periodo igual a 6, de tal forma que A n =A n mod 6. A 70 = A = A A 4 =A = A= A 81 = A = A 6 13 A 3 =A 3 = I = Dada la matriz A= , calcula: A n, n N. Se calculan las primeras potencias de A: A 2 =A A= A 3 = A A= = = A 4 =A 3 A= A 5 = A A= = = A 6 = A A= = A partir de este resultado, se puede deducir: 1 1 n 1 n A =1 n n 0 Puesto que: = = n 1 si n es par 1 1 n ; 1 si n es impar = 0 =0 si n es par 2 = 2 =1 si n es impar 2 82 Raúl Corraliza

5 Programación de aula 1.3. Ecuaciones matriciales 9. Halla todas las matrices X 2 2 que satisfacen la igualdad XA= AX en cada uno de los casos siguientes: A= ; A= Sea la matriz de incógnitas reales X = x y z t. En el primer caso: XA=AX x y z t = x y z t ; x 3 y z 3 t = x y 3 z 3t Comprobando que no existen absurdos, eliminando las identidades: 3 y= y z=3 z y=0 z=0 Así pues: X = x 0 0 t, x R, t R. x=x 3 y= y z=3 z 3 t=3 t En el segundo caso: XA=AX x y z t = x y z t ; 3 y x 3t z = z t 3 x 3 y 3 y=z x=t 3t=3 x z=3 y Comprobando que no existen absurdos, eliminando las ecuaciones iguales o proporcionales: t=x z=3 y Así pues: X = x y, x R, y R. 3 y x 10. Halla todas las matrices X = a 0 b c, a, b, c R, que satisfacen la ecuación matricial X 2 =2 X. X 2 =2 X a 0 b c a 0 b c =2 a 0 ; b c Eliminando la identidad, reorganizando términos: aa 2=0 ba+c 2=0 cc 2=0 a ba+c c = 2a 0 2b De la segunda ecuación: b=0 o a+c=2. De la primera y tercera ecuaciones: a 0,2} y c 0,2}. 2 c a 2 =2a 0=0 ba+c=2b c 2 =2c Raúl Corraliza 83

6 Con b=0, a 0, 2} y c 0, 2} hay cuatro soluciones: X 1 =, X 2 = 0 2, X 3 = 2 0 y X 4 = Con a+ c=2, a 0, 2} y c 0, 2} hay dos soluciones: X 5 = b 2, b R y X 6 = 2 0 b 0, b R. Como X 2 y X 3 son casos particulares de X 5 y X 6, respectivamente, con b=0, la solución se puede expresar en forma compacta: X, b 2, 2 0 b 0, }, b R Dadas las matrices A= y B= : a Resuelve, sustituyéndola por un sistema de ecuaciones escalares, la ecuación matricial XA B=2 I. Sea la matriz de incógnitas reales X = a b c d e f g h i. a b c XA B=2 I ; d e f g h i =2 1 4 a+5b c 3a 4b+c 3a 4b 4d+5e f 3d 4e+ f 3 d 4e 4 g+5h i 3 g 4 h+i 3 g 4h = ; 4 a+5b c 3 3a 4b+c 2 3a 4 b+1 4d+5e f 1 3d 4e+ f 1 3d 4e 1 4 g+5h i 1 3 g 4 h+i 3 g 4 h+3 = ; 4 a+5b c 3=2 3a 4b+c 2=0 3a 4b+1=0 4 d+5e f 1=0 3d 4e+ f 1=2 3d 4e 1=0 4 g+5h i 1=0 3 g 4h+i=0 3 g 4h+3=2 84 Raúl Corraliza

7 4 a+5b c=5 3a 4b+c=2 3a 4b= 1 4 d+5e f =1 3d 4e+ f =3 3d 4e=1 4 g+5h i=1 3 g 4h+i=0 3 g 4h= 1 4 a+5b c=5 3a 4b= 1 c=3 4 d+5e f =1 3d 4e=1 f =2 4 g+5h i=1 3 g 4h= 1 i=1 a=27 b= 20 c=3 d=17 e= 13 f =2 g=3 h= 2 i=1 = Así pues: X b Calcula A 86. Se calculan las primeras potencias de A: A 2 =A A= A 3 = A A= = = =I 3 Así pues, los resultados son cíclicos con periodo igual a 3, de tal forma que A n =A nmod 3. = A 86 = A = A A 2 =A Matriz inversa 12. Calcula, haciendo uso de la definición, la matriz inversa de las matrices: A= 5 6 ; B= ; C 10 6 = ; D= Sea A 1 = x y z t. A A 1 =I x y z t = 1 0 ; x+6 z 5 y+6t 2 x+3 z 2 y+3t = x+6 z=1 5 y+6 t=0 2 x+3 z=0 2 y+3t=1 Raúl Corraliza 85

8 5 x+6 z=1 x=1 2 x+3 z=0 z= 2/3 5 y+6t=0 2 y+3t=1 y= 2 t=5/3 Así pues A 1 = 1 2 2/3 5/3 Sea B 1 = x y z t. B B 1 =I x y z t = x+3 z=1 5 y+3t=0 10 x+6 z=0 10 y+6t=1 5 x+3 z=1 10 x+6 z=0 5 y+3t=0 10 y+6t=1 0 1 ; 5 x+3 z 5 y+3t 10 x+6 z 10 y+6t = 1 0 Ambos sistemas son incompatibles, por lo que no existe B Sea C 1 = a b c d e f. g h i a b c C C 1 = I d e f a+2 d+3 g 2b+2e+3h 2c+2 f +3i a d b e c f = 1 1 ; g h i = 1 a+2d +g b+2e+h c+2 f +i 1 2 a+2 d+3 g=1 2 b+2e+3h=0 2 c+2 f +3i=0 a d=0 b e=1 c f =0 a+2d+ g=0 b+2e+h=0 c+2 f +i=1 2a+2d+3g=1 a d=0 a+2 d+g=0 2b+2e+3h=0 b e=1 b+2e+h=0 2c+2 f +3i=0 c f =0 c+2 f +i=1 a=1 d=1 g= 1 b= 4 e= 5 h=6 c= 3 f = 3 i=4 86 Raúl Corraliza

9 Así pues C 1 = Sea D 1 = a b c d e f. g h i D D 1 =I a b c d e f = 1 1 ; g h i 2a+4 d+2 g 2b+4e+2 h 2c+4 f +2i 4a+2d+g 4 b+2e+h 4c+2 f +i = 1 2a+d 2 g 2b+e 2 h 2c+ f 2i 1 2a+4 d+2 g=1 2b+4e+2 h=0 2c+4 f +2i=0 4 a+2d+g=0 4 b+2 e+h=1 4 c+2 f +i=0 2 a+d 2 g=0 2b+e 2h=0 2c+ f 2i=1 2a+4d +2 g=1 4 a+2 d +g=0 2a+d 2g=0 2b+4e+2h=0 4b+2e+h=1 2 b+e 2h=0 2c+4 f +2i=0 4c+2 f +i=0 2c+ f 2i=1 a= 1/10 d=1/5 g=0 b=1/5 e=0 h=1/5 c=0 f =1/5 i= 2/5 Así pues D 1 = 1/10 1/5 0 1/5 0 1/5 0 1/5 2/5 13. Calcula, haciendo uso del método de Gauss-Jordan, la matriz inversa de las matrices del ejercicio anterior. A= F 1 F 1 / / / F 2 F 2 2 F 1 1 6/5 0 3/5 1/5 0 2/5 1 F F /3 5/3 A 1 = 1 2 2/3 5/3 1 6/ /5 0 2/3 5/3 F 1 F F 2 Raúl Corraliza 87

10 B= F 1 F 1 /5 1 3/ / F 2 F 2 10 F 1 El algoritmo no puede continuar, por lo que no existe B 1. C= F F 1 / / 2 1/ /2 1 / / 2 1/ F F 2 F /2 1 /2 0 + F / / /2 1/ 2 1 1/ 4 1/2 0 1/ /2 1/ /4 1/4 1/ F 2 F 2 F F 1 F C 1 = 1 3/5 1/ F 2 F 2 / / /4 1/4 1/2 1 1/ 4 1/2 0 1/ 4 3/ D= /2 1 F 2 F 2 4 F 1 2 F / /2 1/5 1/1 F F / /2 1/5 1/ /5 2/ /10 1/5 0 1/5 0 1/5 0 1/5 2/5 D 1 = Dadas las matrices A= y F 1 F 1 / 2 F 1 F 1 F / F 2 F F 1 F 1 + matriz inversa, la ecuación matricial XA B=2 I. F 2 F 2 / / /2 1/5 1/1 5/ 0 1/ /2 1/5 2/5 1/5 0 1/5 1/10 1/5 0 1/5 0 1/5 0 1/5 2/5 2 5 F 1 F F 2 0 1/5 2/5 B= resuelve, haciendo uso de la XA B=2 I ; XA B+B=2 I + B ; XA O 3 =2 I +B ; XA=2 I + B ; XAA 1 =2 I + B A 1 ; XI 3 =2 I + B A 1 ; X =2 I +B A Raúl Corraliza

11 Programación de aula Sea A 1 = a b c d e f. g h i a b c A A 1 =I d e f a 3d 3 g 4 b 3e 3h 4 c 3 f 3i 5a 4 d 4 g 5b 4e 4h 5c 4 f 4i = 1 1 ; g h i = 1 a+d b+e c+ f 1 4a 3d 3 g=1 4b 3e 3h=0 4c 3 f 3i=0 5a 4d 4 g=0 5b 4 e 4 h=1 5c 4 f 4i=0 a+d =0 b+e=0 c+ f =1 4a 3d 3 g=1 5a 4d 4 g=0 a+d =0 4b 3e 3h=0 5b 4e 4h=1 b+e=0 4c 3 f 3i=0 5c 4 f 4i=0 c+ f =1 a=4 d=4 g=1 b= 3 e= 3 h= 1 c=0 f =1 i= 1 Así pues A 1 = X =2 I +B A 1 X = = = = Raúl Corraliza 89

12 1.5. Rango de matrices 15. Calcula, mediante el método de Gauss, el rango de las matrices: B= A= ; A= F 2 F 2 4 F 1 7 F 1 rg A= F nula B= F 2 F 2 2F 1 3F 1 F 4 F 4 5F F F 2 F 4 F 4 + 2F rg B= F F y nulas 16. Calcula el rango de la matriz A= 2 0 a a según los diferentes valores del parámetro real a. A= 2 0 a a F 1, F 2, F 2,, F a a 2 F 2 F 2 5F 1 2F a a a F 2 0 a 2 1 F Si a+4=0, esto es, si a= 4, entonces A 9 12 F F 2 /3 /2 1 rg A= F nula Si a+4 0, esto es, si a 4, entonces A a Raúl Corraliza

13 Si a 2=0, esto es, si a=2, entonces A rg A=3 Si a 2 0, esto es, si a 2, entonces A rg A=3 En síntesis rg 2 si a= 4 A= 3 si a 4 Raúl Corraliza 91