Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

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1 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial COLEGIO SAN PATRICIO Prof. Celia R. Sánchez MATEMÁTICA - TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 AÑO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA - ECUACIONES POTENCIACIÓN: Ejercicio : Transformar cada una de las siguientes epresiones en una sola potencia a). b) 8 6. c). 9 d).. 7 e) f) 8 8 g) 6 :. Prof. Celia R. Sánchez

2 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial Ejercicio : Resolver: a) b) c) ³. 6 d).. e) 0. f) 9 d) 7 j) 8. p) e) k) 7. 9 q) 0 f) 8 l) 9 r) 6 Prof. Celia R. Sánchez ECUACIONES EXPONENCIALES: Son aquellas ecuaciones que contienen la incógnita en algún eponente. Observen algunos ejemplos de cómo se pueden resolver: Ej : 0 = 8. Ej : + 0 = = = 7 : 0 Ej :. = = = Ejercicio : Resolver las siguientes ecuaciones y comprobar las soluciones obtenidas: a) g) 9 m) b) 8 h). n). 6 c) 9. 7 i) 7. 0 o) 0

3 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial Ejercicio : Hallar en las siguientes ecuaciones: a). 0 b) c) d) e) 0 f) 9 90 g) 6.6 h).. FUNCIÓN EXPONENCIAL: Es toda función del tipo: f() = k. a Eponente real Coeficiente de la función Es un n real 0 Base de la función Es un n real positivo Consideremos la función y = y = Analicemos la función: - Dominio: Todos los R - Imagen: R - Ceros: No tiene, porque - Ordenada al origen: Una característica evidente de esta curva es la rapidez con la que crece. A ese crecimiento vertiginoso se lo llama crecimiento eponencial. Cuando tiende a, la curva se aproima cada vez más al eje, pero nunca llega a tocarlo. Por eso la recta de ecuación y = 0 (es decir, el eje ) es su asíntota horizontal. Consideremos ahora, en un mismo gráfico, las funciones f() =, g() =, h() = y = y = Qué tienen en común? - Tienen Dominio = - Tienen Imagen:.. - No tienen ceros - Cortan al eje de ordenadas en ( ; ) - Tienen asíntota horizontal, que es el eje. Qué diferencia observan?.. Prof. Celia R. Sánchez

4 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial. Consideremos las funciones f() = y t() = y = (½) - Dominio:.. - Imagen: - Ceros:.. - Ordenada al origen:.. - Asíntota:.. Qué diferencia observan?... Consideremos ahora: r() =., s() = y = y =. - Dominio:.. - Imagen: - Ceros:.. - Ordenada al origen:.. - Asíntota:.. Qué diferencia observan?.... Conclusiones: - A medida que la base crece, la curva se cierra cada vez más - Si a >, la curva es creciente. Si a <, la curva es decreciente. - Las curvas que corresponden a funciones eponenciales de bases recíprocas, son simétricas con respecto al eje y - Las curvas que corresponden a funciones eponenciales que tienen igual base y coeficientes opuestos, son simétricas con respecto al eje. Ejercicio : Graficar y analizar las siguientes funciones eponenciales: f() =. g() = ½. h() =. j() = k() = ⅓. Ejercicio 6: Porqué la base debe ser un n real positivo? Qué pasa si a =? Prof. Celia R. Sánchez

5 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial EJERCICIOS DE REPASO X ) ).. 6 ( R: ½) ). 8 : 6 ( R: ) (R: 0) ) (R: ) ) 6 0 7). 0 (R: ) 6) 9 :. (R: ) 8). 0 (R: /) (R: ) 9) 9 6 (R: ) 0) 9 90 (R: ) ) 00 (R: ) ). : (R: /) ) 9 0 (R: 8) ). (R: ) ).. 7 (R: - ) 6) 0 9 7), (R: ½ ) 8) LOGARITMOS DEFINICIÓN DE LOGARITMO: (R: ). (R: /) a es la base del logaritmo y debe ser real, positivo, y distinto de b es el argumento del logaritmo y debe ser real positivo Prof. Celia R. Sánchez

6 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial Por ejemplo: * log 6 = * log = 9 (porque = 6 ) (porque 9 ) CASOS PARTICULARES: log b... log b²... b log b... log b... log b. log b b b Ejercicio 7: Calcular: a) log 6 = b) log 8 = c) log = d) log ½ = 7 e) log = f) log g) log h) log 8 i) log 0 0,0= j) log k) log l) log 8 m) log a a² = n) log ñ) log o) log = LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES: Si la base del logaritmo es 0 se llama logaritmo decimal y se puede escribir log sin indicar la base. Si la base es el número e (e=,78.), se denomina logaritmo natural o logaritmo neperiano y se escribe ln. Se denomina neperiano en honor a John Neper (0-67), matemático escocés a quien se atribuye el concepto de logaritmo. Tanto los logaritmos naturales como los decimales aparecen en las calculadoras científicas. Ejercicio 8: utilizar las teclas log y ln de la calculadora científica para obtener los siguientes logaritmos (utilicen decimales) a) log 9,8=. e) ln, =.. b) log 98 =. f) ln = c) log 980 = g) ln 0 =. d) log 9800 =. h) ln 00 = Ejercicio 9: Calcular mentalmente: a) log 0 = b) log 0,00= c) log 00 d) ln e = e) ln e f) ln e Ejercicio 0: Aplicar la definición de logaritmo para resolver las siguientes ecuaciones: a) log = b) log c) log (+) = d). log = e) log ( 6) + = f).log ² 8 = b b Prof. Celia R. Sánchez 6

7 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: Ejercicio : Resolver aplicando las propiedades de logaritmos: 9 a) log (8. ) = b) log 7. c) log 8 6 d) log 8 Prof. Celia R. Sánchez 7

8 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial Ejercicio : Aplicar el cambio de base conveniente para poder operar con calculadora y resolver: a) log 8 = b) log 00 = c) log 6 = d) log = ECUACIONES LOGARÍTMICAS Las ecuaciones logarítmicas son las que tienen la incógnita en el argumento de algún logaritmo. Para resolverlas, debemos tener presente que: - Siempre que sea posible, conviene agrupar los logaritmos en uno solo, para lo cual se aplican las propiedades. - Para despejar una incógnita contenida en el argumento, se aplica la definición de logaritmo. - Sólo eisten logaritmos de números positivos, por lo cual deben descartarse como soluciones los valores que no verifiquen la ecuación original. Ej : log (+) = Ej : log (+7) log (+) = Ej :. log + log (8) = 7 ³ = + log log ² + log (8) = ³ = 7 log ( ². 8 ) = 7 = ( +) = +7 log (8 ³) = = +7 ³ = 8 ³ Prof. Celia R. Sánchez 8

9 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial = 9 = ³ 8 = / =, Ejercicio : Resolver las siguientes ecuaciones: a) 0 log(² ) = 0 b). log 7 log 7 (+6) =.log 7 c) log + log 9 (+) = ½.log d) 0. e) f).8 Ejercicio : Resolver las siguientes ecuaciones y verificar los resultados obtenidos: a) log 7 b) log log = c) log ( +) = d) log (8.) + log (.²) = 8 e) log log 7 = 0 f) log (+) log (+) = g) log 8 ( ) = 0 h) log ( 8) + log ( ) = log ( 8 ) i) log =.log j). log = + log ( 0,9) k). log log = log l) log (+) log ( ) = log m) log ( ) + log(+) = log 6 n) log ( ) = 6 log (+) o) log 6 ( ) = log 6 (+) FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es toda función del tipo: y = log a ( Se lee: logaritmo en base a, de ) a es la base Es un n real positivo es el Argumento Es un n real positivo Definición de Logaritmo: log a b = c a c = b Ej: log 8 = porque ³ = 8 Encontrar el logaritmo de un n es encontrar el eponente al que se debe elevar la base, para obtener el argumento Prof. Celia R. Sánchez 9

10 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial Ej: log 8 = porque ³ = 8 / log 9 = porque ² = 9 Observaciones: - El logaritmo, en cualquier base, de un n negativo no eiste - El logaritmo, en cualquier base, de 0, no eiste - El logaritmo, en cualquier base, de, es 0 - El logaritmo mas usado es el de base 0, y no colocamos la base cuando lo escribimos. Es el único logaritmo que puede realizarse con calculadora. Ej: log 00 = (verificalo) Consideremos la función: y = log ¼ ½ 8 y = log - Dominio: R - Imagen: R - Ceros: Corta al eje en (;0) - Ordenada al origen: no tiene - Asíntota Vertical = 0 ( es decir el eje y) Qué observas con respecto a la función eponencial y =?.... Consideremos, en un mismo gráfico, las siguientes funciones ⅓ ½ y = log y = log y = log y = log Características comunes: - Dominio :.. - Imagen:. - Cortan el eje en el punto ( ;.) - No tienen ordenada al origen - Tienen una asíntota que es el eje. Qué diferencias observás?.... Prof. Celia R. Sánchez 0

11 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial Consideremos ahora las siguientes funciones logarítmicas: ⅓ ½ y = log y = log ( ) y = log (+) - Imagen:.. - Ceros:. - Ordenada al origen: - Dominio: - Asíntota:... Conclusiones: - La Función Logarítmica es la inversa de la Función Eponencial - Si a >, la función es creciente. Si a <, la función es decreciente. - Si las bases son recíprocas, los gráficos son simétricos con respecto al eje. - Si sumamos o restamos un n al argumento, la curva se desplaza en forma horizontal Ejercicio : Graficar y analizar las siguientes funciones logarítmicas: f() = log g() = log ( ) h() = log( +) EJERCICIOS DE REPASO: ) ln ² + ln ( R: e) ) log log ( ) = 0 (R: ) ) log log 8 = (R: 8 ) ) log ² log = 8 0 (R: ) ) log(+) = log 0 + log ( 8) (R: 9) 6) logₓ6 + logₓ 6 = (R: 6) X 7). log = + log ( 0,9) (R: 9 y ) 8) (R: 0,76) 9). log log = log (/) (R: ) 0) log (+) log ( ) = log (R: ) log ) log( ) (R: y /9 ) ) e (R:,69) Prof. Celia R. Sánchez

12 A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial ) log ( 6) + = (R: 7/) ).log ² 8 = (R: ) ) log (² + ) = (R: y ) 6) log (² ) + (R: ) 7) =,., ² (R:,8) 8) 0 7 9) log + log 9 log 7 (R: 9) 0) ln ( ) + ln (+) = ln (²+) (R: ) ) log +.log = (R: ) ) logₓ + logₓ 6 logₓ = (R: ) ) ln ln + ln ² = ½ (R:,) ) log log ³ log 8 ) log(+) + log(-) = log.(²+) (R: /) Prof. Celia R. Sánchez