Tema 1: Tensiones. Tema 1 : TENSIONES F 1 S. n S S O F 4 F 2. Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SAL.)

Transcripción

1 Tema 1: Tensones Tema 1 : TENINE u F n F Prof.: Jame anto Domngo antllana E.P..-Zamora (U.AL.)

2 Tema 1: Tensones CNCEPT DE TENIÓN Consderemos un sóldo sometdo a un sstema de fueras:, F, F 3,..,F n que esté en equlbro estátco (no se mueve) en equlbro elástco (a está deformado). F 3 F 5 F n F Fg. 1.1.a Debdo a las fueras eterores aparecen en el nteror del sóldo las fueras nterores, que se oponen a la accón de las eterores tratan de llevar al sóldo a la poscón que tenía ncalmente de reposo. Para ponerlas de manfesto secconemos el sóldo por la superfce. F 3 F F F F 5 F n Fg. 1.1.b Fg. 1.1.c Las dos partes en que ha quedado dvddo el sóldo no estarían ahora en equlbro. Para reproducr dcho equlbro se tendría que restablecer las accones que cada parte del sóldo ejercía sobre la otra. Estas accones son las fueras nterores ( F), fueras que las partículas de un lado de la superfce ejercían sobre las del otro lado e denomna: Tensón meda en el punto : med = F Tensón en el punto : F = lm (1.1) 0

3 eccón 1.: Tensones normales cortantes 1..- TENINE NRMALE Y CRTANTE u F n F Tensón en el punto : = lm 0 Fg. 1. F es un vector de la msma dreccón sentdo que dvddo por ) F pero de menor módulo (va Tensón normal ( ) : es la componente de la tensón sobre la dreccón normal a la superfce. e obtendrá: =.u =.u (1.) sendo u el vector untaro normal a la superfce Tensón cortante ( ) : es la componente de la tensón sobre la propa superfce e cumplrá que: con lo cual: + = = = + = (1.3) (1.4) ETAD DE TENINE EN UN PUNT se hubese secconado el sóldo por dferentes superfces que pasen por el punto se hubesen obtendo dferentes valores de la tensón en dcho punto, puesto que las accones que se estaban ejercendo sobre el punto por parte de los que le rodean no serían las msmas F 3 F 3 1 F 5 4 n F n Fg

4 Tema 1: Tensones Al conjunto de todos los valores de las tensones en un punto, correspondentes a todas las superfces que pasen por él, se le denomna: ETAD DE TENINE DEL PUNT Así, según se ve en (Fg. 1.4.a b), s secconásemos por la superfce 1 actuaría la tensón 1, s secconásemos por la superfce n actuaría la tensón n, etc..luego cada tensón va asocada a una uperfce 1 n F 1 F n Fg. 1.4.a Fg. 1.4.b CMPNENTE DEL ETAD DE TENINE EN UN PUNT De todas las tensones que puede haber en un punto, se verá cómo, s selecconamos 6 de ellas, a las que denomnaremos Componentes del estado de tensones en un punto, a partr de ellas, se podrán conocer todas las demás. ea un punto del sóldo cuo Estado de tensones se quere conocer. Aslemos un elemento de volumen dferencal, en forma de paralelepípedo recto, con vértce en, orgen de un sstema de ejes coordenados:,,, concdentes con las arstas del paralelepípedo. Al r reducendo las dmensones del paralelepípedo, mantenéndole semejante a sí msmo, en el límte, el paralelepípedo tende al punto todas sus caras pasan por, con lo cual se podrá consderar las tensones sobre sus caras como tensones en el punto. F 3 F F 5 F n Fg

5 eccón 1.3: Estado de tensones en un punto Amplemos el paralelepípedo por lo vsto en 1.., sobre cada una de las caras de dcho paralelepípedo habrá una tensón normal una tensón cortante. descomponemos ésta a su ve, en sus dos componentes sobre las dreccones de los ejes respectvos, se tendrán 3 tensones en cada una de las caras por tanto 18 tensones sobre el paralelepípedo completo. d d d Nomenclatura utlada Fg. 1.6 Para las tensones normales: el subíndce, ndca que esta tensón está sobre una superfce normal al eje X Para las tensones cortantes: el prmer subíndce, ndca que está sobre una superfce normal al eje X el segundo subíndce, ndca que lleva la dreccón del eje Y bservacón: en las caras del paralelepípedo paralelas a las que contenen a los ejes coordenados, las tensones se las dstngue con un prma en la parte superor:, Convenos de sgnos para las tensones Para las tensones normales: se consderan postvas, ( > 0), cuando van drgdas en el msmo sentdo que la normal salente a la superfce donde está aplcada. ( se observa en (Fg. 1.6), todas las tensones normales dbujadas en las dferentes caras del paralelepípedo serían postvas). Para las tensones cortantes: se consderan postvas, ( > 0), cuando las que están aplcadas sobre las caras del paralelepípedo que pasan por llevan sentdo contraro al de los ejes postvos las que están aplcadas en las caras que no pasan por llevan el msmo sentdo que los ejes postvos. ( se observa en (Fg. 1.6), todas las tensones cortantes dbujadas en las dferentes caras del paralelepípedo serían postvas). 5

6 Tema 1: Tensones Las tensones en las tres caras del paralelepípedo que no pasan por (,,,,, ) se podrían epresar matemátcamente en funcón de las tensones en las otras tres caras que pasan por (,,,,, ) por desarrollo de Tlor: = +. d = +. d = +. d = +. d = +. d = + = +. d = +. d = +. d. d (1.5) reducésemos las dmensones del paralelepípedo, mantenéndose semejante a sí msmo, el paralelepípedo tendería al punto en el límte todas sus caras pasarían por, con lo cual se podría consderar que: = = = = = = (1.6) = = = Así pues, en este caso, serán sólo 9 las tensones dstntas que actúan sobre las caras de dcho paralelepípedo: 3 tensones normales 6 tensones cortantes. Por últmo s establecemos las ecuacones de equlbro del paralelepípedo:σ F = 0, Σ M = 0, se obtendría que: = = = (1.7) Conclusón: erán sólo 6 las tensones dstntas que actúan sobre las caras del paralelepípedo, que serán: a estas 6 tensones se las denomna:componentes del estado de tensones del punto 6

7 eccón 1.3: Estado de tensones en un punto TENR DE TENINE upuestamente conocdas las 6 componentes del estado de tensones en un punto cualquera:,,,,,, vamos a desarrollar una fórmula que permta conocer las tensones sobre cualquer superfce que pase por. Para ello tracemos una superfce que cortará al paralelepípedo dferencal en un plano de área d aslemos del cuerpo el elemento de volumen dferencal que en forma de tetraedro con vértce en se nos ha formado. F 3 F d F 4 F 5 Fg. 1.7 F n Amplando dcho tetraedro stuando las tensones sobre las caras del msmo será: d u n sendo en general : =. +. j +. k estando la superfce d defnda por : u ( cos α,cos β,cosγ ) Fg. 1.8 Establecendo las ecuacones de equlbro del tetraedro: F = 0. ds =. ds.cos α +. ds.cos β +. ds.cosγ dvdendo por ds : =.cos α +.cos β +.cosγ hacendo lo msmo en los otros ejes : F = 0 =.cos α +.cos β +.cosγ F = 0 =.cos α +.cos β +.cosγ F = 0 =.cos α +.cos β +.cosγ ecuacones que epresadas en forma matrcal quedará: (1.8) 7

8 Tema 1: Tensones = cosα. cos β cos γ (1.9) en forma abrevada: = T. u (1.10) sendo: T = " Tensor de Tensones" (1.11) Conclusón: Conocdas las componentes del Estado de Tensones en un punto:,,,,, dada una superfce cualquera que pase por dcho punto, defnda por su vector normal untaro: u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuacón obtenda (1.9) la tensón sobre dcha superfce. Una ve conocda la tensón, se podrá obtener por las ecuacones (1.) (1.3): =. u = =. u = (1.1) Caso Partcular: TENINE PLANA: e consdera que un estado de tensones es plano cuando se cumpla: = 0, = 0, = 0 (Este es un caso que se presenta con mucha frecuenca) La ecuacón matrcal (1.9) sería: = cosα 0. cos β 0 cos γ o lo que es lo msmo: = cosα. cos β (1.13) = 0 8

9 eccón 1.4: Tensones Prncpales TENINE PRINCIPALE De las nfntas Tensones que puede haber en un punto de un sóldo, relatvas a las nfntas superfces que pasen por él, habrá unas que tengan los valores mámo mínmo, a las que se denomnará: TENINE PRINCIPALE. A las superfces correspondentes se las denomnará : UPERFICIE PRINCIPALE a las dreccones de los vectores normales a dchas superfces se las denomnará: DIRECCINE PRINCIPALE. Para su cálculo se tendrá en cuenta, aunque no se demostrará, que en las uperfces Prncpales se cumplrá: = 0 con lo cual : = Estrán pues muchas superfces, como la d 1, (Fg.1.9 a), en las cuales habrá tensones normales ( 1 ) cortantes ( 1 ) habrá algunas, como la d, (Fg.1.9 b), en las que no habrá tensones cortantes por tanto sólo habrá tensones normales ( ), con lo cual, en estos casos, la tensón total ( ) concdrá con la tensón normal F d 1 u F5 F 3 F d u = = 0 F5 F 3 Fg. 1.9.a Fg. 1.9.b d 1 : uperfce cualquera d : uperfce Prncpal CÁLCUL DE LA TENINE PRINCIPALE upongamos conocdas las 6 componentes del Estado de Tensones en un punto :,,,,, sea una uperfce Prncpal que pasa por, defnda por su vector normal untaro: u (cosα, cosβ, cosγ ). En funcón de lo dcho antes, se deberá cumplr: =.u con lo cual: =. cosα =.cos β =. cosγ (1.14) llevando estas epresones a la ecuacón (1.8) que da el valor de, quedará: 9

10 Tema 1: Tensones operando: =.cos α +.cos β +.cos γ = ( por1.14) =.cosα =.cos α +.cos β +.cos γ = ( por1.14) =.cos β =.cos α +.cos β +.cos γ = ( por1.14) =.cosγ ( ).cosα +.cos β +.cos γ = 0.cosα + ( ).cos β +.cos γ = 0.cosα +.cos β + ( ).cos γ = 0 (1.15) Y para que este sstema de ecuacones homogéneo, tenga solucón no nula, tendrá que verfcarse que el determnante formado por los coefcentes sea nulo, es decr: = 0 (1.16) Resolvendo este determnante, que da lugar a una ecuacón de tercer grado, se obtendrán las Tensones Prncpales : 1,, 3 se cumplrá: 1 = 1, =, 3 = 3 CÁLCUL DE LA DIRECCINE PRINCIPALE Una ve obtendas las tensones prncpales: 1,, 3, para conocer las dreccones en las que éstas aparecen: dreccones prncpales, se resolverá el sstema de ecuacones (1.15) obtendo anterormente, susttuendo en él la tensón, para cada uno de los valores obtendos de las tensones prncpales. Así será: ( ).cosα +.cos β +.cos γ = 0.cosα + ( ).cos β +.cos γ = 0.cosα +.cos β + ( ).cos γ = 0 ( a) para que la dreccón obtenda se eprese como un vector untaro: se aulará con la euacón: u = 1 cos α + cos β + cos γ = 1 ( b) Las dreccones prncpales se obtendrán pues resolvendo el sstema de ecuacones formado por (1.17.a) (1.17.b): para = cos α, cos β, cosγ para = cos α, cos β, cosγ para = cos α, cos β, cosγ

11 eccón 1.4: Tensones Prncpales CA PARTICULAR: TENINE PLANA Para el caso de tensones planas: = 0, = 0, = 0, le ecuacón (1.16) que da el cálculo de las tensones prncpales se verá reducda a la ecuacón sguente: = 0 (1.18) Resolvendo este determnante, que da lugar a una ecuacón de segundo grado, se obtendrán las Tensones Prncpales : 1, se cumplrá: 1 = 1, = Desarrollando el determnante:.( + ) + (. ) = 0 sendo las raíces de esta ecuacón: = 1 ( + ) + ( + ) 4.(. ) = ( + ) ( + ) 4.(. ) operando: = 1 = +. ( ) = =. ( ) 4. (1.19) Por su parte las dreccones prncpales se obtendrán a partr de las ecuacones (1.17.a) (1.17.b) elmnando los térmnos representatvos de la tercera dmensón se verán reducdas a las epresones: ( ).cosα +.cos β = 0.cosα + ( ).cos β + = 0 ( 1.0. a) cos α cos β = 1 + ( 1.0. b) Las dreccones prncpales se obtendrán pues resolvendo el sstema de ecuacones formado por (1.0.a) (1.0.b): para = cos α, cos β para = cos α, cos β 11

12 Tema 1: Tensones REPREENTACIÓN DE MHR En los apartados anterores se ha vsto un método de cálculo analítco para el cálculo de Tensones. En este apartado se verá un método gráfco. CA PARTICULAR: TENINE PLANA El método gráfco se va a desarrollar en prmer lugar para el caso de Tensones Planas, pues es el que mas se utlará debdo a su senclle de aplcacón la gran auda de su aportacón gráfca. upongamos conocdas las tres componentes del estado de tensones plano en un punto :,, (Fg.1.10 a). Al no estr tensones en la tercera dmensón (), se podrá smplfcar el dbujo representar tan sólo la proeccón del ele mento dferencal de volumen sobre el plano. (Fg.1.10 b) u α Fg.1.10.a Fg.1.10.b e desea conocer las tensones correspondentes a una superfce cualquera, que pasa por defnda por su vector normal untaro:u (cosα, cosβ, 0). Empleando las ecuacones analítcas (1.13) (1.1) para cada superfce se obtendrán los valores de las tensones correspondentes. Así: para α = α superfce, para α = α superfce,... para α = α superfce, n n n n representásemos estos valores obtendos en unos ejes coordenados, en los que en el eje de abcsas llevásemos las tensones normales en el de ordenadas, las cortantes unésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrco de los msmos es una crcunferenca, a la que denomnaremos Crcunferenca de Mohr (, ) ( 1, 1 ) ( n, n ) Fg

13 eccón 1.5: Representacón de Mohr e demuestra, aunque no se hará, que la crcunferenca de Mohr obtenda al unr todos los puntos: ( 1 1 ), ( ), ( n n ), es una crcunferenca que tene por Centro Rado los sguentes valores: + Centro :,0 Rado : + (1.1) sendo:,,, las tres componentes del estado de tensones planas en el punto. Crteros de sgnos para las tensones, al utlar el método gráfco de Mohr Tensones normales (): se consderan postvas las tensones normales cuo sentdo es salente de la superfce, es decr en el sentdo de la normal eteror a la superfce. Negatvas en caso contraro n et > 0 < 0 n et Fg.1.1.a Fg.1.1.b Tensones cortantes (): se consderan postvas cuando su sentdo deja a la derecha a la superfce. Dcho de otro modo, cuando su sentdo de crculacón (en sentdo fgurado), alrededor del elemento es horaro. En la (Fg a) se representan las dferentes poscones de > 0, con respecto a la superfce. Las poscones de < 0, caso contraro, se ndcan en la (Fg.1.13.b) > 0 < 0 Fg.1.13.a Fg.1.13.b bservacón: Los crteros de sgnos utlados para las tensones cortantes, en la representacón gráfca de Mohr, no concden con los dados en 1.3. para la resolucón analítca. Este hecho habrá de tenerse sempre en cuenta en la resolucón de los problemas. 13

14 Tema 1: Tensones Construccón de la crcunferenca de Mohr: upónganse conocdas las componentes del estado de tensones plano en un punto :,, (Fg.1.14.a) tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcsas llevaremos las tensones normales () en el de ordenadas las tensones cortantes (). (Fg.1.14.b). La construccón de la Crcunferenca de Mohr relatva a dcho estado de tensones se hará de la sguente forma: La superfce A ( >0, <0, por crteros de sgnos de Mohr), vendrá representada en los ejes coordenados por el punto A. A su ve, la superfce B ( >0, >0, por crteros de sgnos de Mohr), vendrá representada en los ejes coordenados por el punto B. unmos, con una recta, los puntos A B, la nterseccón de ésta con el eje de abcsas (punto C), será el centro de la crcunferenca de Mohr. (Fg.1.14.b) B A B A B E C D A Fg.1.14.a Fg.1.14.b Efectvamente con la construccón realada, el centro será: C = D + E + = el rado será: CA = ( CD) + ( DA) = + epresones que concden con las epresadas anterormente en (1.1). 14

15 eccón 1.5: Representacón de Mohr Cálculo de las tensones en una superfce cualquera: A partr de las componentes del estado de tensones plano en un punto :,,, se dbujará en un sstema de ejes coordenados: (, ), la crcunferenca de Mohr tal como se ha ndcado en el apartado anteror, obtenendo su centro su rado Indquemos a contnuacón cómo poder conocer gráfcamente las tensones correspondentes a una superfce cualquera que pase por, defnda por su vector normal untaro: u s (cosα, cosβ, 0).(Ver Fg.1.15.a) B u β A α u A B C H β D α A Fg.1.15.a Fg.1.15.b El procedmento será el sguente: Para pasar de la superfce A (defnda por u A ), a la superfce (defnda por u ), se deberá grar, en sentdo anthoraro, el ángulo α. Pues ben, para pasar en la crcunferenca de Mohr, del punto A, (representatvo del estado de tensones de la superfce A ), al punto, (que representará el estado de tensones de la superfce ), se tendrá que grar, gualmente en sentdo anthoraro, el ángulo α ( el doble del anteror ). (Ver Fg.1.15.b) Medante este procedmento las tensones en la superfce serán pues: tensón normal: = H = C + CH = C + C.cos β tensón cortante: = H = C. sen β (los valores de C centro C rado se han obtendo anterormente de la crcunferenca de Mohr) bservacón: Como consecuenca del procedmento anteror resultará, que dos superfces perpendculares que pasen por, estarán representadas gráfcamente en la crcunferenca de Mohr por dos puntos dametralmente opuestos de dcha crcunferenca. Véase por ejemplo el caso de las superfces A B representadas en los puntos dametralmente opuestos A B de la crcunferenca de Mohr. (Fg.1.15.a 1.15.b) 15

16 Tema 1: Tensones Cálculo de las tensones prncpales: e sabe, por lo vsto en (1.4) que las tensones prncpales son las tensones máma mínma que en las superfces donde aparecen, no ha tensones cortantes. Es decr, se cumple: =, = 0. 90º B B N = mn u M M 1 = ma u A A ϕ 1 M N C D 1 ϕ 1 A Fg.1.16.a Fg.1.16.b De la crcunferenca de Mohr, (Fg.1.16.b), se observa que los puntos M N de dcha crcunferenca cumplen dchas condcones. Así pues las tensones prncpales serán: + 1 = 1 = ma = M = C + CM = Centro + Rado = = = mn = N = C CN = Centro Rado = + (son las msmas ecuacones (1.19) obtendas analítcamente) Las dreccones prncpales tambén se podrán obtener a partr de la crcunferenca de Mohr. e observa (Fg.1.16.b), para pasar del punto A del crculo (representatvo del estado de tensones de la superfce A ), al punto M, que es donde se dará la tensón prncpal: 1 = ma, ha que grar en sentdo anthoraro el ángulo ϕ 1. Así pues para obtener la superfce prncpal: M, sobre la que se dará dcha tensón prncpal, se deberá grar la uperfce A, en el msmo sentdo (es decr anthoraro), el ángulo ϕ 1. (Fg.1.16.a). AD tag ϕ1 1 sendo: = CD = ϕ (1.3) La otra dreccón prncpal, la correspondente al punto N, donde se dará la tensón prncpal mínma: = mn, se obtendrá grando la anterormente hallada otros 90º. (ver Fg.1.16.a), es decr en la dreccón: ϕ = ϕ 1 ± 90º (los puntos M N están a 180º en la crcunferenca). 16 (1.)

17 eccón 1.5: Representacón de Mohr Cálculo de la tensón cortante máma: Los puntos del círculo de Mohr donde la tensón cortante es máma, son los puntos F, los de máma ordenada. (Fg.1.17). B M N C D 1 ϕ 1 El valor de la tensón cortante máma será pues: F ma ma A Fg.1.17 ma = CF = Rado = ( por ecuacón 1.1) = + (1.4) o ben: ma Dámetro M N = = = = 1 Rado (1.5) Las superfces F, donde se darán las ma, estarán a ± 45º de las superfces prncpales M N, pues los puntos F de la crcunferenca se encuentran a 90º de los puntos M N. (Fg.1.17). CA DE TENINE TRIAXIALE e dce que un elemento de materal se encuentra en un estado de tensones traal cuando está sometdo a tensones en los tres ejes coordenados. upongamos un punto, un paralelepípedo dferencal alrededor de él sean los ejes 1, 3, los ejes prncpales Fg

18 Tema 1: Tensones se corta por una superfce nclnada, paralela al eje 3, las tensones sobre dcha superfce las podremos obtener del círculo de Mohr (A), (ver fg. 1.0), correspondente a las tensones 1, smlar a un estado de tensones plano (pues las tensones 3 no afectarían a dcha superfce). n 1 3 θ Fg.1.19 La msma conclusón general es válda s cortásemos por una superfce paralela al eje (en este caso las tensones sobre dcha superfce las podríamos obtener del círculo de Mohr (B), (ver fg.1.0), correspondente a las tensones 1 3, smlar a un estado de tensones plano (pues las tensones no afectarían a dcha superfce) o s cortásemos por una superfce paralela al eje 1 (en este caso las tensones sobre dcha superfce las podríamos obtener del círculo de Mohr (C), (ver fg.1.0), correspondente a las tensones 3 ). e ha supuesto en la construccón de los círculos que: 1 > > 3 B C MAX A 3 1 Fg.1.0 En cada uno de los círculos podremos hallar la ma correspondente, sendo la MAX absoluta la correspondente al círculo de Mohr maor (B) valdría: 1 3 MAX = En el análss anteror hemos consderado el cálculo de las tensones sobre superfces paralelas a uno de los ejes prncpales. se quseran calcular sobre otras superfces cualquera, (no paralelas a nngún eje prncpal), el análss sería algo más complejo no se verá en este apartado, aunque se sabe que los valores correspondentes de darán puntos stuados sobre el área lmtada por las tres crcunferencas de Mohr 18

19 eccón 1.6: Formas de trabajo de una seccón. Relacones entre tensones solctacones FRMA DE TRABAJ DE UNA ECCIÓN. RELACINE ENTRE TENINE Y LICITACINE FRMA DE TRABAJ DE UNA ECCIÓN Consderemos un sóldo sometdo a un sstema de fueras eterores que se encuentra en equlbro estátco elástco. F 3 F 5 F n F Fg. 1.1.a egún lo vsto en el apartado 1.1, s se desea conocer las Fueras Internas o Tensones que aparecen en una superfce determnada, secconamos el sóldo por dcha superfce nos quedamos con una de las dos partes del msmo F F Fg. 1.1.b El troo de sóldo secconado no estará en equlbro, a no ser que se restablecan las accones que el otro troo ejercía sobre él. Estas accones son precsamente las Fueras Internas o Tensones que aparecerían sobre los puntos de la superfce secconada. Pues ben, para saber algo de ellas, hagamos lo sguente: F Fg. 1.1.c Tomemos un sstema de ejes coordenados con orgen en (centro de gravedad de la seccón ), sendo el eje X perpendcular a la superfce con sentdo postvo salente de la msma los ejes Y Z los ejes prncpales de la seccón, con sus sentdos postvos de tal forma que formen un tredro drecto 19

20 Tema 1: Tensones La accón de las Fueras Eterores, actuando sobre este troo del sóldo, en el punto, vendrán dadas por: R et M et R et M et R et = Resultante de las Fueras Eterores M et = Momento resultante de las Fueras Eterores respecto de F Fg. 1.1.d Para que este troo de sóldo secconado esté en equlbro, el sstema de Fueras Interores etenddo a lo largo de la superfce, (fueras que las partículas del otro lado de la superfce que hemos apartado, estaban actuando sobre las partículas de la superfce del lado del sóldo que nos hemos quedado), producrán una accón en dada por: R nt M nt se tendrá que cumplr que: R nt = - R et M nt = - M et R et M et F M nt R nt Fg. 1.1.e Por últmo, s proectamos R nt M nt sobre los tres ejes de referenca XYZ, nos darán 6 componentes: R, R, R, M, M, M, M R M R M F M nt R R nt 0 Fg. 1.1.f

21 eccón 1.6: Formas de trabajo de una seccón. Relacones entre tensones solctacones Cada una de esas componentes nos ndca una Forma de Trabajo o de olctacón de la seccón : R (fuera normal) N (TRACCIÓN CMPREIÓN) R (fuera cortante) V (CRTADURA en eje Y) R (fuera cortante) V (CRTADURA en eje Z) Ejemplos: M (momento torsor) T (TRIÓN) M (momento flector) M (FLEXIÓN en plano XZ, alrededor del eje Y) M (momento flector) M (FLEXIÓN en plano XY, alrededor del eje Z) N TRACCIÓN CMPREIÓN F F F F F CRTADURA en eje Y F F V F V T CRTADURA en eje Z F TRIÓN M F F M FLEXIÓN en plano XZ (alrededor eje ) F F M Fg.1. FLEXIÓN en el plano XY (alrededor eje Z) F 1

22 Tema 1: Tensones RELACINE ENTRE TENINE Y LICITACINE Cada una de estas olctacones así obtendas serán resultado de las Tensones (o Fueras Internas) dstrbudas a lo largo de la seccón. Unas otras estarán relaconadas de la sguente manera: F d M V M V T N Fg. 1.3.a eccón Fg.1.3.b N T = = (.. ). d M =.. d M =. d V =. d V =. d.. d (1.6) Estas ecuacones se utlarán para calcular las Tensones o Fueras nternas en cada uno de los puntos de una seccón, una ve conocdas las olctacones (Resultante Momento resultante de las Fueras nterores: N, V, V, T, M, M ).