Si los cerdos de otro granjero tienen los siguientes pesos: 165, 182, 185, 168, 170, 173, 180, 177. Entonces el diagrama de puntos está dado por:

Transcripción

1 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 65 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Meddas de Dspersó Además de obteer la formacó que reúe las meddas de tedeca cetral es muy coveete teer coocmeto sobre el grado de dspersó o varabldad que preseta los datos. Las meddas de dspersó dca s los valores está relatvamete cercaos uo del otro o s se ecuetra dspersos. Esta dea se lustra e las sguetes fguras. Recuérdese que e el ejemplo de los pesos de los cerdos teemos los sguetes datos: 7, 77, 78, 73, 77, 74, 76, 73. El dagrama de putos para esos valores es: los cerdos de otro grajero tee los sguetes pesos: 65, 8, 85, 68, 70, 73, 80, 77. Etoces el dagrama de putos está dado por: Obsérvese que ambos grupos de datos posee la msma meda artmétca y la msma medaa, Md x 75 Kg. Además, també se puede advertr como las observacoes e el prmer gráfco tee valores relatvamete más cercaos etre sí e comparacó co los pesos del segudo grupo de cerdos. Por cosguete, además de las meddas de tedeca cetral, sempre es mportate cotar co dcadores que mda la dspersó de los datos. Ua medda de tedeca cetral, cas uca es sufcete por sí sola, para resumr adecuadamete las característcas de u cojuto de datos. Por lo geeral, es ecesaro, adcoalmete, ua medda de la dspersó de los datos. E geeral, se puede clasfcar las meddas de dspersó e absolutas y relatvas. Las meddas de dspersó absolutas so aquellas que vee expresadas e las msmas udades que los datos. Las meddas de dspersó relatvas o vee expresadas e las udades de los datos so e porcetaje. A pesar de que exste dferetes meddas de dspersó, sólo se va a cosderar las más usadas: Meddas de dspersó absolutas: Rago o recorrdo Desvacó Estádar Varaza Basadas e Percetles Medda de dspersó relatva: Coefcete de Varacó

2 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 66 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Todas estas meddas, excepto el rago, toma la meda como puto de refereca. E cada caso u valor cero dca que o hay dspersó, metras que la dspersó aumeta a medda que se cremeta el valor del dcador (varaza, coefcete de varacó, etc.). Rago o recorrdo Esta es la medda más seclla de calcular y compreder. e cocetra e el valor máxmo y mímo de la coleccó de datos y vee dada por: R Valor máxmo - Valor mímo E el caso de dstrbucoes de frecuecas, el rago se obtee restádole al límte superor de la últma clase el límte feror de la prmera clase: E los ejemplos aterores para los dos grupos de cerdos se tee que el recorrdo para el grupo es R Kg., y para el grupo es R Kg. La vetaja de utlzar el rago como medda de dspersó, es la secllez de su cálculo, au cuado se trate de u cojuto bastate grade de datos. Además, el sgfcado de esta medda es fácl de compreder. La prcpal lmtacó del rago es que cosdera solamete los valores extremos de los datos, y o proporcoa formacó respecto a los demás valores. E el sguete ejemplo se preseta tres cojutos de datos bastate dferetes, que posee el msmo rago. 3 Rago Nótese como e el prmer grupo de datos, los valores se dstrbuye e forma uforme, y esta medda cumple co su objetvo. E el segudo cojuto, los datos se ecuetra más agrupados y acá el rago mde de ua "forma cruda" la dspersó. embargo, la tercera coleccó demuestra cómo se puede flur fáclmete e el rago medate uos cuatos valores extremos

3 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 67 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela (o valores atípcos), y presetar formacó bastate egañosa respecto a la dspersó de ua coleccó de datos. Debdo a estos problemas, el rago tee ua lmtada utldad ya que o resulta ua medda de dspersó cofable.. Varaza upógase que x, x,...,x so las observacoes ua muestra aleatora, cuya meda es x. Dado que se está teresado e aalzar la dspersó de estos valores, será atural fjarse e sus dstacas co respecto a la meda, esto es, e las dferecas: x x x x,, x x, L Puesto que alguos valores de la muestra so mayores que la meda y otros so meores, alguas de estas dferecas será postvas y otras egatvas. Es más, las dferecas está equlbradas, e el setdo de que su suma es 0 (por propedad. de la meda artmétca, ver Pág.50) embargo, para aalzar la dspersó de los datos, o teresa el sgo de las dferecas, Así se tratará ua dfereca egatva exactamete gual que ua dfereca postva de la msma catdad. Por ejemplo, u salaro que esté bolívares por debajo de la meda deberá ser tratado exactamete gual que uo que esté bolívares por ecma de la meda. Ua forma de cosegur este objetvo cosste e fjarse, o e las dferecas, so e sus cuadrados: x x, x x, L x x ( ) ( ) ( ), El promedo de los cuadrados de las dferecas proporcoa ua medda de la dspersó que se cooce co el ombre de varaza. Este es u dcador que mde la dspersó de los datos co respecto a su meda artmétca y se deota por. Dada ua coleccó de datos x, x,...,x, cuya meda artmétca es x, se defe la varaza de esos datos como el promedo de las dferecas elevadas al cuadrado de cada uo de esos valores co respecto a su meda. Es decr: ( x x ) Nota De la fórmula ateror se deduce que:. Metras más alejados esté los valores de su meda mayor será el valor de la varaza y metras más cocetrados se ecuetre alrededor de su meda, meor será el valor de la varaza... La varaza uca es egatva, ya que se está sumado catdades elevadas al cuadrado. El valor mímo que puede tomar es cero, el cual se logra cuado todos los valores so guales etre sí, es decr, que o exste varabldad etre ellos.

4 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 68 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela v. se desarrolla la fórmula ateror, se obtee otra expresó equvalete de la varaza, más cómoda de calcular y además reduce los errores de redodeo: x ( x ) Los datos de los pesos de los cerdos so: 7, 77, 78, 73, 77, 74, 76, 73 y la meda es 75 Kg. Calcular la varaza. ( 7 75) + ( 77 75) + ( 78 75) + ( 73 75) + ( 77 75) + ( 74 75) + ( 76 75) + ( 73 75) 4,5 Kg Por la otra fórmula: ,5 Kg Nótese que la varaza vee expresada e las udades de los datos pero elevadas al cuadrado. Por esta razó, la varaza resulta dfícl de terpretar. Para solucoar esta stuacó se defe la desvacó estádar. 3. Desvacó Estádar (Desvacó Típca): La desvacó estádar o desvacó típca de ua coleccó de datos, deotada por, se defe como: + La cual vee dada e las msmas udades de los datos. Tomado el ejemplo ateror se tee que: 4,5 Kg, Kg Para dstrbucoes de frecuecas Para el caso de datos agrupados e dstrbucoes de frecuecas, las expresoes para la varaza y la desvacó estádar so:

5 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 69 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela k k ( m x ) f m f ( x ) y fm dode, x Calcular la varaza y la desvacó estádar para las dstrbucoes de frecuecas de las varables peso, úmero de hermaos, estatura, greso mesual del hogar, úmero de vstas a la dscoteca y úmero de vstas al ce. Propedades de la varaza y la desvacó estádar ea x, x,...,x ua coleccó de datos, cuya meda, varaza y desvacó estádar so x, respectvamete.. y so o egatvas, es decr 0 y 0 para cualquer cojuto de datos. y. cada uo de los datos x, x,...,x es gual a u msmo valor fjo o costate c, etoces la varaza y la desvacó estádar so guales a cero.. v. E el dagrama de putos que se muestra e la pága 5 se puede observar esta stuacó. a cada uo de los datos orgales se le suma u msmo úmero real c, postvo o egatvo, etoces la ueva coleccó de datos que se orga x +c, x +c,...,x +c tee la msma y que los datos orgales. Obsérvese el gráfco correspodete a la propedad v de la meda artmétca e la pága 5. Nótese como la dspersó se matee varate al sumar o restar ua costate. cada uo de los datos se multplca por u msmo úmero real cualquera c, la varaza y la desvacó estádar de los "uevos datos" x c, x c,...,x c vee dadas por c y c respectvamete. Esto se lustra e los gráfcos que correspode a la propedad v de la meda artmétca e la pága 5. Obsérvese como se produce ua alteracó e la dspersó de los uevos datos, ya sea dsmuyedo o aumetado depededo del valor de c. E u estudo realzado e u hosptal se determó que se gastaba e medcas u promedo de Bs semaalmete por pacete co ua desvacó estádar de Bs a. se produce u aumeto del 00% e el preco de las medcas, cuato será el gasto promedo por pacete y cuato será la varaza. b. Cuato será el gasto promedo por pacete y cuato será la desvacó estádar s el aumeto es del 0%.

6 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 70 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Varaza muestral y varaza poblacoal Al defr la varaza se ha estado supoedo que la coleccó de datos x, x,...,x costtuye ua muestra de tamaño de ua poblacó y que x es la meda de esa muestra. La varaza poblacoal, deotada por, de ua poblacó de N elemetos cuya meda poblacoal es µ, se defe por: N ( ) x µ x σ µ N N N y la desvacó estádar poblacoal es: σ + σ Nota: La varaza muestral també puede defrse como: ( x x ) e utlza co la faldad de, además de teer fes descrptvos, realzar ferecas sobre ua poblacó usado y o por cuato se demuestra que es u mejor estmador de la varaza poblacoal que como se verá e el tema de estmacó. Coefcete de varacó La medda de dspersó relatva más coocda es el coefcete de varacó. E alguas ocasoes es de terés comparar la dspersó de dos coleccoes de datos. los datos está meddos e las msmas udades y las respectvas medas artmétcas so guales o muy parecdas es posble utlzar la desvacó estádar. esto o se cumple, o se puede utlzar la desvacó estádar para comparar las dspersoes de los dos grupos de datos. Ua medda de dspersó que permte la comparacó de la dspersó e cualquer stuacó, que o vee expresada e gua udad es el coefcete de varacó. El coefcete de varacó se defe como: 00% El coefcete de varacó es la proporcó o porcetaje de la meda que represeta la desvacó estádar. Obsérvese como la fórmula ateror provee de ua regla de tres smple: x 00%? por ejemplo el CV0%, sgfca que la desvacó estádar represeta el 0% del valor de la meda artmétca.

7 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 7 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela upógase que se desea comparar las dspersoes de los sueldos de los empleados de las empresas "Cervecería El Códor" y "Aguardete Tropcal". Los sueldos promedo para estas empresas so Bs y Bs. 500 respectvamete; las desvacoes estádar correspodetes so Bs y Bs E ua ecuesta sobre bees raíces e la Urbazacó ata Cecla de ua cudad, se obtee etre otras cosas, formacó sobre el valor actual de la casa y el tamaño del lote de terreo. e está teresado e determar s el valor de avalúo tee mayor varabldad que el tamaño del lote. De la mecoada ecuesta se cosgue lo sguete: Valor de la casa Tamaño del terreo x Bs. x 650 mts Bs. 350 mts Percetles, Decles y Cuartles Además de las meddas de tedeca cetral, dspersó y forma, també exste alguas meddas teresates de poscó que se utlza al resumr y aalzar las característcas o propedades de grades coleccoes de datos.. Percetles Los percetles so aquellos valores que dvde a los datos ordeados de forma crecete, e ce partes guales. Exste oveta y ueve percetles que se deota por P, P,..., P 99. Etre dos percetles cosecutvos se ecuetra el % de los datos. Así, por ejemplo, etre los percetles P 0 y P 0 se ecuetra 0% de los datos. Para deotar u percetl cualquera usamos P h, dode h,, 3,..., 99. Así, la defcó formal de percetl es la sguete: El percetl P h de ua coleccó de datos que prevamete ha sdo ordeados (de forma crecete), es u valor tal que como máxmo el h% de los datos so meores que él, y també como máxmo u (00-h)% de los datos so mayores que él. Como e el caso de la medaa, s dos valores cosecutvos del cojuto de datos cumple co la defcó ateror, se covee e tomar como percetl al promedo de ellos dos. upoga que los pesos de ocho persoas (e Kg) so: 5, 97, 08, 63, 90, 74, 86, 73. Hallar lo percetles: P 0, P 50 y P 80. E prmer lugar se debe ordear de forma crecete los datos:

8 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 7 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela El P 0 es el valor tal que el 0% de los datos, es decr el 0% de 8,6 datos como máxmo so meores que él, y també como máxmo el 80% de 8 6,4 datos so mayores que él. Observe que el valor 63 cumple co estas codcoes. Por tato, P 0 63 Kg. Ahora, e el cálculo de P 50 se observa que exste dos valores 74 y 86, que cumple co la defcó. De esta maera, P 50 ( ) / 80 Kg. Para estos datos, P 80 tee como máxmo 6,4 datos por debajo de él y a lo sumo,6 datos por ecma. El valor 97 satsface esto, así P Kg. Nótese que el valor cumple co las codcoes. Por ejemplo, el valor 90 tee cco datos por debajo que cumple co lo que se exge pero por ecma tee a dos datos (el 5% de los datos), lo que o satsface los requermetos para ser percetl 80.. Decles Los Decles so los valores que dvde a los datos ordeados (de forma crecete) e dez partes guales. Exste ueve decles que se deotará por D, D,..., D 9. Etre dos decles cosecutvos se ecuetra u 0% de los datos. 3. Cuartles Los cuartles so los valores que dvde a ua coleccó de datos que prevamete ha sdo ordeados e forma crecete, e cuatro partes guales. De esta maera, exste tres cuartles que se deota Q, Q y Q 3. Nótese que etre dos cuartles cosecutvos se ecuetra u 5% de los datos. Además, por debajo de Q, se ecuetra u 5% de los datos y por ecma u 75%; metras por debajo del cuartl tres, se ecuetra u 75% de los datos y por ecma de él exste u 5% de los datos. 5% 5% 5% 5% Q Q Q 3 Nótese que el segudo cuartl, Q, es gual a la medaa. Además, puede dejarse ver las sguetes relacoes etre los cuartles decles y percetles: Q P 5 Q D 5 P 50 Md Q 3 P 75 D P 0 D P 0 M D 9 P 90

9 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 73 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Nota: A los cuartles, decles y percetles e geeral se les deoma cuatles Para los datos o agrupados de estatura, calcular e terpretar: los cuartles, el decl tres y el percetl dez. Cálculo de Percetles e dstrbucoes de frecuecas. E el caso de dstrbucoes de frecuecas cuyas clases so tervalos, los percetles, de la msma maera como se hzo co la medaa, se puede calcular medate u método de terpolacó tato de forma algebraca como gráfca. Algebracamete, para el cálculo del percetl h-ésmo, P h, se sgue el sguete procedmeto: a) e ubca la clase del percetl h, que es aquella que cotee la frecueca acumulada h 00. b) Ua vez ubcada la clase del percetl h, medate u proceso de terpolacó se puede obteer la sguete fórmula para el cálculo de los percetles: h Fap 00 P LI + C f p h p p e dode, LI p : Límte feror de la clase del percetl h. : No. total de observacoes o datos F ap : Frecueca acumulada ateror a la clase del percetl h. f p : Frecueca absoluta de la clase del percetl h. C p : Ampltud de la clase del percetl h. Como se vo ates co la medaa, se puede obteer gráfcamete los percetles utlzado la ojva:

10 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 74 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela % Ojva F Ojva 00 h% h LI L L L 3 L 4 L 5 L 6 L 7 L 8 LI L L L 3 L 4 L 5 L 6 L 7 L 8 P h P h Nótese que por el msmo método de terpolacó gráfco de la ojva para dstrbucoes de frecuecas co tervalos; s se cooce algú valor de los datos, dgamos P h, etoces puede ser ecotrada la proporcó (o porcetaje) de datos, h, que so meores (o puede ser, mayores o guales) que el valor P h. mplemete, despejado h de la fórmula para calcular percetles e dstrbucoes de frecuecas. Así de ese despeje queda que: f h ( P LI ) + F p h p ap C p 00 Ejercco:. Obtega la fórmula ateror: a. Despejádola de la fórmula para el cálculo de los percetles. b. Deducédola medate el método gráfco de terpolacó, co la ojva.. Del ejercco para la ojva de la pága 44, obtega las respuestas de los ítems a 4, usado la últma fórmula.. las clases de la dstrbucó de frecuecas so valores dvduales de la varable e estudo, se procede smlarmete a como se hzo co la medaa. E este caso, o hace falta hacer algua terpolacó. e puede ecotrar cualquer percetl medate la defcó. Ejercco: Calcular los cuartles Q y Q 3, el decíl D 9 y el percetl P 90 e las dstrbucoes de frecuecas de las varables peso y estatura usado el método algebraco y el método gráfco. Ejercco: Calcular los percetles P 5 y P 80 para las dstrbucoes de frecuecas correspodetes a las varables úmero de hermaos y úmero de vstas al ce usado el método algebraco y el método gráfco. Los percetles també so utlzados como dcadores de la dspersó de los datos. Co ellos se costruye alguas meddas de dspersó. Veamos alguas de ellas:

11 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 75 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Recorrdo Itercuartl El recorrdo tercuartl, vee dado por: RQ Q 3 - Q Esta medda refleja la dspersó de la parte cetral de la dstrbucó ya que toma e cueta al 50% de los datos del cetro de la dstrbucó: 5% 5% 5% 5% Q Q Q 3 50% Desvacó Cuartl ó Recorrdo em-itercuartl La desvacó cuartl se obtee medate la sguete expresó: se calcula: Q Q Q 3 Md ± Q se obtee u tervalo que cotee aproxmadamete el 50% de los datos. Fáclmete puede otarse que las dos meddas aterores o toma e cueta a todos los datos, lo cual puede represetar ua sera desvetaja ya que es posble que por debajo de Q o por ecma de Q 3, los datos se ecuetre muy cocetrados o muy dspersos y el efecto sobre RQ y Q será el msmo. Auque por otro lado, y por la msma razó, el recorrdo tercuartl y la desvacó cuartl o so afectados por valores atípcos. Recorrdo Percetl Es ua medda basada e la msma dea que el RQ, la cual vee dada por: RP P 90 - P 0. Este dcador refleja el 80% de los datos ubcados e la parte cetral de la dstrbucó

12 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 76 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Ejercco: Para las dstrbucoes de frecueca correspodetes a las varables peso e greso hallar: a) RQ b) RP c) El tervalo que cotee aproxmadamete el 50% de los datos de la parte cetral de la dstrbucó. Meddas de Forma E ua seccó ateror se examó la forma e que se dstrbuye los datos aalzado el respectvo gráfco. e observó la smetría (o asmetría) que preseta los datos y també se podía percbr el grado de aputameto (o achatameto) del gráfco que represeta la dstrbucó de los datos. Exste dcadores que cuatfca la asmetría y el aputameto de ua dstrbucó, los cuales so de utldad cuado o se dspoe del gráfco o para cofrmar las coclusoes obtedas gráfcamete. Tato las meddas de asmetría como las de aputameto so dcadores relatvos ya que o vee expresados e algua udad de medda.. Meddas de Asmetría Los resultados que se dscutrá se refere a dstrbucoes umodales: a. Coefcete de Asmetría de Pearso Este dcador se basa e la relacó exstete etre la meda y la medaa: 3( x Md) AP Obsérvese que s la dstrbucó es: métrca > AP 0, ya que e este caso x Md Asmétrca por la derecha > AP > 0, debdo a que x > Md Asmétrca por la zquerda > AP < 0, porque x < Md El coefcete de asmetría de Pearso toma valores e el tervalo (-3, 3)

13 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 77 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela b. Coefcete de Asmetría de Fsher e deota por γ y vee dado por la sguete fórmula: Datos o agrupados: ( ) 3 3 x x γ Datos agrupados: 3 ( ) 3 k m x f γ El coefcete γ está basado e la meda artmétca e dca de que lado las dferecas respecto de éstas so mayores. u terpretacó es smlar a la del coefcete de Asmetría de Pearso Leptocúrtca Mesocúrtca Platcúrtca

14 Aputes de Métodos Estadístcos I Prof. Gudberto J. Leó R. I- 78 Uversdad de los Ades Escuela de Estadístca. Mérda -Veezuela Ejercco: Calcule e terprete los coefcetes de asmetría AP y γ para las dstrbucoes de frecuecas correspodetes a las varables peso, estatura, greso y úmero de hermaos.. Meddas de Aputameto o Curtoss Estas meddas dca el grado de aputameto o achatameto del gráfco. La medcó del aputameto de u gráfco se hace tomado como refereca la curva ormal (curva de campaa o curva de Gauss). Por tato, el gráfco al que se le desee medr el aputameto, debe ser al meos aproxmadamete smétrco. A la curva ormal se le llama mesocúrtca, s es más putaguda se le llama leptocúrtca y s es más achatada platcúrtca. Nótese que los dcadores de curtoss, mde el vel de cocetracó de datos e la regó cetral. Coefcete de Pearso El coefcete β de Pearso es el más utlzado de las meddas de aputameto y vee dado por: Datos o agrupados: Datos agrupados: β β ( x x) 4 k 4 ( m x ) f 4 4 la curva es ormal (mesocúrtca), β 3 la curva es leptocúrtca, β > 3 la curva es platcúrtca, β < 3 Ejercco: Calcule e terprete el coefcete de Pearso para las dstrbucoes de frecueca correspodetes a las varables peso, estatura y úmero de hermaos.