MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

Transcripción

1 Unversdad de Cádz Departamento de Matemátcas MATEMÁTICAS para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas Tema 13 Dstrbucones bdmensonales. Regresón y correlacón lneal Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesnos

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3 Índce 1. Varables estadístcas bdmensonales 1. Regresón lneal. Rectas de regresón 1.1. Recta de regresón de Y sobre X Determnacón de la recta de regresón: método de los mínmos cuadrados Cálculo abrevado de la recta de regresón de Y sobre X Recta de regresón de X sobre Y Correlacón lneal coefcente de correlacón lneal Varacón y estudo de las propedades del coefcente de correlacón Ejerccos propuestos 11

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5 Tema Varables estadístcas bdmensonales La consderacón smultánea de dos seres estadístcas que provenen de la medda de dos caracteres de una msma poblacón, o de dos poblacones dstntas, recbe el nombre de dstrbucón bdmensonal. Las dos seres estadístcas consderadas smultáneamente consttuyen una sere estadístca doble. Cada elemento de esta sere doble vene meddo o representado por dos caracteres (estatura, peso), (nota físca, nota matemátcas), (estatura padre, estatura hjo). La varacón smultánea de ambos caracteres consttuye una varable bdmensonal denotada por (x, y). Por ejemplo, supongamos que los alumnos de un curso de tercero de BUP son 0 y que han obtendo las sguentes puntuacones: Físca: 5, 4, 3, 7,, 9, 8, 6, 4, 6, 5, 4, 7, 3, 8,, 4, 7, 4, 8. Matemátcas: 4, 6, 5, 7,, 8, 5, 5, 7, 6, 6, 5, 4, 5, 7, 3, 6, 8, 3, 9. Son dos seres estadístcas undmensonales que, consderándolas smultáneamente, consttuyen la sere estadístca doble de varable bdmensonal (x,y) =(Físca,Matemátcas): (x,y) =(5,4), (4,6), (3,5), (7,7), (,), (9,8), (8,5), (6,5), (4,7), (6,6), (5,6), (4,5), (7,4), (3,5), (8,7), (,3)(4,6)(7,8), (4,3), (8,9). Podemos representar, en el plano, fjando un par de ejes cartesanos, cada pareja de valores correspondentes a las dos seres estadístcas, formándose así una nube de puntos. Así, la nube de puntos correspondente al ejemplo anteror sería Matemátcas Físca. Regresón lneal. Rectas de regresón El orgen de la palabra regresón es debdo al bólogo Galton al comparar, en sus nvestgacones sobre la herenca genétca, la estatura de los padre y de los hjos. Observó este autor que los de padres altos (que sobrepasaban la meda de la poblacón) eran tambén altos, pero menos. Es decr, esos hjos se acercaban (regresaban) a la meda. Análogamente ocurría con hjos de padres bajos, nferores a la meda.

6 Matemátcas para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas Y P j (x j,y j ) Q y = mx + n P P 1 Q j (x j,mx j + n) Q 1 α : tg α = m n O X Fgura 1.1. Recta de regresón de Y sobre X Supongamos una nube de puntos de una sere bdmensnal (fgura 1). Queremos buscar una recta y = mx+n sobre la cual stuar los puntos de la nube: P Q. Cometeremos un error de estmacón o cálculo que vamos a precsar. Proyectemos, paralelamente al eje de ordenadas OY, todos los puntos P (x,y ) de la nube sobre la recta y = mx+n (fgura 1). Obtendremos los nuevos puntos Q (x,mx + n). Tenemos así dos seres de puntos: Las coordenadas antguas, P (x,y ), correspondentes a los valores expermentales (reales) de las dos seres estadístcas, cuyo estudo smultáneo consttuye la sere estadístca bdmensonal (x,y ). Las nuevas coordenadas Q (x,mx + n) que son tales que: Las abscsas x son los msmos valores reales de la prmera sere. Las ordenadas mx +n son los valores estmados ( regresados ). Se calculan por la ecuacón y = mx + n. Los valores mx + n de esta sere son dstntos, en general, de los de la sere real y. Las dferencas y (mx +n) entre los valores reales y los estmados medante la recta de regresón de y sobre x, y = mx + n, se conocen con el nombre de desvacones respecto de esa recta. Son errores de cálculo o estmacón, denomnados tambén resduos. Parece natural que al elegr la recta de regresón de y sobre x se proceda de tal forma que el error cometdo, al susttur los valores y por mx + n, sea lo más pequeño posble. Es decr, que las desvacones o resduos sean mínmos. Tratar de encontrar la recta anteror con las condcones mpuestas se conoce por ajustar una recta de dstrbucón bdmensonal dada... Determnacón de la recta de regresón: método de los mínmos cuadrados La recta que mejor se ajusta a los datos es aquella para la cual la suma de los cuadrados de los errores o resduos (dstancas de P a Q ) es mínma.

7 Tema 13 3 Conoceremos dcha recta cuando determnemos los parámetros m y n cuyo cálculo consttuye el ajuste de una recta a una dstrbucón dada. Como ya se vo anterormente, los errores cometdos venen dados por d(p,q ) = y mx n, de manera que d(p,q ) = (y mx n). El método enuncado de los mínmos cuadrados dce N d(p,q ) = Para que se verfque (1) ha de ser N N N x y = m x + n x, n (y mx n) ha de ser mínma. (1) N N y = m x + nn, denomnadas ecuacones normales de la recta de regresón de y sobre x. A partr de las ecuacones () se deducen rápdamente los valores de m y n que determnan la recta. Ejemplo.1 Las notas de dez alumnos de una lsta de tercero de BUP en Matemátcas y Físca han sdo las sguentes: Matemátcas: x = 7, 4, 3, 5, 8, 6, 9, 4, 6, 8. Físca: y = 6, 3, 5, 4, 6, 7, 7, 5, 6, 7. Calculemos la recta de regresón de y sobre x. Para llegar a las ecuacones (), es convenente dsponer los cálculos en forma de tabla: x y x y x y = 60 = 56 = 354 = 396 = 330 Tabla 1 Susttuyendo estos valores en las ecuacones () se tene que } 354 = 396m + 60n, 56 = 60m + 10n. Despejando n en la segunda ecuacón, n = 5 6 6m, y susttuyendo en la prmera, 354 = 396m + 60(5 6 6m) = 36m + 336, de donde 36m = = 18 = m = = 1. ()

8 4 Matemátcas para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas Por lo tanto, n = = 6 = Luego la recta de regresón vene dada por y = 1 x Cálculo abrevado de la recta de regresón de Y sobre X Consderemos la nube de puntos de la sere estadístca bdmensonal (x,y) referda al sstema de referenca (O;x,y). Efectuemos una traslacón de ejes al nuevo orgen (O ; x,ȳ), sendo las coordenadas de O las medas artmétcas de las respectvas seres: x = 1 N N x, ȳ = 1 N N y. Llamaremos X e Y a los nuevos ejes. Para todo punto P se tene la sguente relacón vectoral: Y Y { (xj,y P j ) j (x j,y j ) y = mx y ȳ = m(x x) Q j O ( x,ȳ) X n O X Fgura OP = OO + O P = O P = OP { OO x = = x x, y = y ȳ, que consttuyen dos nuevas seres cuyos valores son las desvacones de las dos seres x e y respecto de sus medas respectvas: x = d x = x x, y = d y = y ȳ. (3) El punto O ( x,ȳ) es el centro de gravedad de la dstrbucón, y las rectas de regresón (véase la fgura ) van a pasar por dcho punto.

9 Tema 13 5 La recta de regresón de y sobre x será y = mx + n. Para determnar los parámetros m y n procedemos por el método de los mínmos cuadrados: N N N x y =m (x ) + n x, (4) N N y =m x + nn. Pero sabemos que la suma de las desvacones de cualquer sere respecto de su meda es cero: x = (x x) = x N x = x x N N = 0. Análogamente y = 0. De esta forma, las ecuacones (4) quedan reducdas a x y = m (x } ) o ben, 0=nN, x n = 0, m = y (x ) = (x x)(y ȳ) (x x), (5) donde m recbe el nombre de coefcente de regresón de y respecto de x. Susttuyendo m y n de (5) en la recta y = mx + n queda x y = y (x ) x, recta que pasa por O ( x,ȳ). Volvendo a los ejes (X,Y ), tenendo en cuenta (3), resulta (x x)(y ȳ) y ȳ = (x x) (x x). (6) Ejemplo. Consderemos de nuevo el ejemplo.1. Para calcular la recta de regresón de y sobre x por el método abrevado, dsponemos los cálculos de la sguente manera: x y x = x x y = y ȳ (x x) (y ȳ) (x x)(y ȳ) x = 6 ȳ = 5 6 = 0 = 0 = 36 = 16 4 = 18 Susttuyendo los valores hallados en (6), tenemos Tabla y 5 6 = (x 6) y 5 6 = 1 (x 6), que es la msma recta que se obtuvo por el procedmento anteror.

10 6 Matemátcas para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas.4. Recta de regresón de X sobre Y La recta tendrá por ecuacón x = m y + n. Para su obtencón se procede de forma totalmente análoga a la anteror: proyectamos, paralelamente al eje de abscsas OX, todos los puntos P(x,y ) de la nube sobre la recta x = m y + n, obtenendo los nuevos puntos Q (m y + n,y ). Las ecuacones normales serán en este caso N N N x y = m y + n y, N x = m N y + n N. A partr de las ecuacones normales reducdas se llega a que x n = 0, m = y (y ) = (x x)(y ȳ) (y ȳ), donde m se denomna coefcente de regresón de x sobre y. La recta de regresón es ahora (x x)(y ȳ) x x = (y ȳ) (y ȳ). Ejemplo.3 Calcular la recta de regresón de x sobre y para la sere bdmensonal consderada en el ejemplo anteror. Aprovechando los cálculos de las tablas 1 y y susttuyéndolos en cualquera de las expresones para la recta se tene que x 6 = (y 5 6). 3. Correlacón lneal El sgnfcado de la palabra correlacón es el de relacón mutua. El térmno estadístco correlacón nos ndca, por tanto, la mutua dependenca que exste entre dos o más seres estadístcas. Así, la correlacón estadístca es la nterdependenca (la relacón de dependenca) exstente entre sus respectvas varables aleatoras coefcente de correlacón lneal Defncón 3.1 Llamamos coefcente de correlacón lneal entre dos seres estadístcas, x e y, a la meda geométrca de los dos coefcentes de regresón, m y m, correspondentes a las dos rectas de regresón; esto es, r = m m. Partendo de los valores m y m hallados en la seccón anteror por el método abrevado, tenemos que r = m m ( x = y ) ( x y ) x ( (x ) )( (y ) ) = y ( (x ) )( (y ) ) = (x x)(y ȳ) = ( (x x) ) ( (y ȳ) ). Ejemplo 3.1 Calculemos el coefcente de correlacón del ejemplo dado en la seccón anteror: (x x)(y ȳ) r = ( (x x) )( (y ȳ) ) = 0 74.

11 Tema Varacón y estudo de las propedades del coefcente de correlacón Dada la sera estadístca bdmensonal (x,y ), recordemos que la varanza de los valores x e y venen dadas por σx (x x) (x = = ) N N, σ y = (y ȳ) N = (y ) N. Defnmos la covaranza de la sere como σ xy = (x x)(y ȳ) N = x y N. Se deduce fáclmente que r = (x x)(y ȳ) Nσ x σ y = σ xy σ x σ y = mσ x σ y = m σ y σ x. Operando, se obtene como suma de los cuadrados de los resduos: P Q = Nσ y (1 r ). (7) Como el prmer membro de esta gualdad es mayor o gual que cero, el segundo membro tambén lo será; al ser N,σy > 0, tendremos que 1 r 0 1 r 1, es decr, el coefcente correlacón lneal es un número comprenddo entre 1 y 1. La varacón de r en el ntervalo [ 1,1] nos permte un estudo sencllo de la dependenca de las dos seres estadístcas de una dstrbucón bdmensonal. (El coefcente de correlacón es el valor más empleado, por su sencllez y rápda nterpretacón en socología, pscología, etc. Así, por ejemplo, gracas a dcho coefcente podemos verfcar el grado de fabldad y veracdad de un test de ntelgenca, etc.) Podemos dstngur varos casos: (1) S r = 1, dremos que se produce una correlacón total, completa o perfecta. Llevando este valor a (7), nos queda P Q = Nσ y (1 1) = 0 = P = Q,. Los valores reales P y los estmados Q sobre las rectas de regresón concden. Al ser nulos los resduos o errores, P Q, todos los puntos de la nube están en una recta, por lo que la dependenca entre las varables aleatoras es funconal y las dos rectas de regresón concden. () S r = 0 nos encontramos ante una correlacón nula, y la expresón (7) admte su valor máxmo: P Q = Nσ y (1 0) = Nσy, lo cual ndca que los puntos P están separados lo máxmo posble de Q (dspersón completa). Los errores P Q son máxmos: se trata de la llamada ndependenca aleatora. En este caso los coefcentes de regresón venen dados por m = r σ y σ x, m = r σ x σ y.

12 8 Matemátcas para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas Y Y O ( x,ȳ) X O X Fgura 3: r = 1. Luego las rectas de regresón serán y ȳ = r σ y σ x (x x), x x = r σ x σ y (y ȳ). Al ser r = 0, se deduce que m = m = 0, quedando y = ȳ, x = x. Las dos rectas regresón son paralelas a los ejes coordenados, formando, por tanto, un ángulo de 90 (véase fgura 4): Y x = x O ( x,ȳ) y = ȳ O X Fgura 4: r = 0. (3) S 0 < r < 1 nos encontramos ante una dependenca aleatora. Este caso comprende todos los numerosos fenómenos de la vda real que se encuentran entre los dos casos límtes anterores. (3.1) S r se aproxma a 1, entonces la dependenca aleatora se aproxma a la funconal; P estaría próxmo a Q y el ángulo que forman las dos rectas tende a cero.

13 Tema 13 9 (3.) S r tene un valor próxmo a cero, entonces P y Q están muy separados, con lo que la dependenca aleatora es pequeña (tende a la ndependenca aleatora) y el ángulo entre las dos rectas de regresón tende a 90. Ejemplo 3. S r = 0 9 entonces la correlacón o dependenca entre las dos seres es alta y las rectas de regresón cas concden (fgura 5). S r = 0 5, la correlacón es baja y el ángulo entre las dos rectas de regresón se aproxma al ángulo recto (fgura 6). Y Y Y Y O ( x,ȳ) X O ( x,ȳ) X O X Fgura 5: r = 0 9. Fgura 6: r = 0 5. O X (4) S r > 0 dremos que se produce una correlacón drecta o postva. En este caso las pendentes de las rectas de regresón, m = r σ y y m = r σ x, son ambas postvas, pues las desvacones típcas σ x σ y son sempre postvas. Al crecer x, tambén crece y. (5) S r < 0 dremos que se produce una correlacón nversa o negatva. Razonando de forma análoga al caso anteror, se tene que m,m < 0, esto es, las pendentes de las rectas de regresón son negatvas, y al crecer x dsmnuye y. En resumen, el coefcente de correlacón r mde la dependenca aleatora de dos seres estadístcas: r 0 0 < r < 1 1 Correlacón nula Correlacón perfecta Dependenca Dep. aleatora Indep. aleatora Dep. funconal Vamos a consderar un ejemplo que nos ayude en la resolucón de otros ejerccos. Supongamos las dos seres estadístcas sguentes: Se pde: a) Representacón del dagrama de dspersón. b) Rectas de regresón. c) Coefcente de correlacón. x :7,4,8,6,9,5,,4,9, 8, 6, 7. y :6,5,7,6,8,7,1,3,8, 7, 8, 6. d) Valores estmados en la recta de regresón de y sobre x. e) Errores cometdos en esta estmacón.

14 10 Matemátcas para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas Nota 3.1 S nos pderan la dependenca estadístca, el únco dato que necestaríamos sería el coefcente de correlacón. Por ser dos muestras pequeñas no agrupamos los datos repetdos. a) La sguente fgura representa la nube de puntos: y x b) Dspongamos los datos necesaros en la sguente tabla: x y x y (x ) (y ) x y x = 6 5 ȳ = 6 = 0 = 0 (x ) = 5 5 (y ) = 50 x y = 43 La recta de regresón de y sobre x será y la de x sobre y vendrá dada por x y ȳ = y 43 (x ) (x x) y 6 = 5 5 (x 6 5), x x x = y (y ) (y ȳ) x 6 5 = 43 (y 6). 50 c) El coefcente de correlacón será (x x)(y ȳ) r = ( (x x) ) ( (y ȳ) ) = =

15 Tema d) Para calcular los valores estmados y los errores debemos tener en cuenta la recta de regresón de y sobre x: y 6 = (x 6 5). En la sguente tabla se presentan las estmacones y los errores cometdos: x y y Errores Para hallar, por ejemplo, el sexto valor de la sere bdmensonal, (5,7), hacemos lo sguente: x 6 = 5 = y 6 6 = (5 6 5) = y 6 = (5 6 5) + 6 = El error de estmacón cometdo será = Ejerccos propuestos (1) Las notas obtendas por un grupo de alumnos de tercero de BUP en Matemátcas y Físca son las sguentes: Matemátcas: x : 4,6,8,3,7,5,3,3, 7,8. Físca: y : 5,4,7,5,9,6,4,3, 6, 6. a) Calcúlense las dos rectas de regresón. b) Estímense los valores de y cuando x vale 4 y 9. c) Estímense los valores de x cuando y vale 3 y 8. () Se ha aplcado una batería de tests de ntelgenca a un grupo de ses estudantes, y al msmo tempo, se ha anotado su rendmento académco según la tabla adjunta: Halla las dos rectas de regresón. Intelgenca Rendmento (3) En un hosptal se ha aplcado un medcamento, A, a 100 enfermos, y en otro hosptal se aplcado otro medcamento, B, a otros 100 enfermos. El número de curados cada día durante los dez prmeros días es el sguente: a) Hállense las rectas de regresón. X: Medcamento A Y : Medcamento B b) Estímense los valores de y en la prmera recta, y los valores de x en la segunda. c) Hállense los resduos o errores de estmacón. (4) Calcula el coefcente de correlacón de las sguentes seres estadístcas bdmensonales: a) { x : 3,5,7,9 y : 5,7,8,9,

16 1 Matemátcas para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas b) c) { x : 1,9,7,6,8,7 y : 1,7,4,5,7,4, { x : 4,7,3,9,6,5,3, y : 8,8,5,3,8,1,9,5. Interprétense los resultados. (5) Al aplcar dos tests de memora a un grupo de alumnos, se han obtendo los sguentes resultados: x : 3,5,7,4,9,8,7,6,5,3,9, 3. y : 4,6,8,5,7,7,8,7,6,4,8, 5. Indca la dependenca y la correlacón entre los dos tests. (6) El cambo de la moneda de dos nacones no europeas respecto al euro ha sufrdo las sguentes fluctuacones: { 1 3, 5, 1,1 1,0 9; 1 1, 3, 0 9,1 0,0 8. Indca la dependenca comercal y económca de esas dos nacones medante el coefcente de correlacón.