Formulario y Tablas de Probabilidad para el Curso de Estadística II

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1 Formulario y Tablas de Probabilidad para el Curso de Estadística II Ernesto Barrios Zamudio 1 José Ángel García Pérez2 Departamento Académico de Estadística Instituto Tecnológico Autónomo de México Octubre 2009 Versión 1.00 Índice 1. Formulario Algunas distribuciones de probabilidad Estimación Puntual Algunos estadísticos y su distribución de muestreo Pruebas no paramétricas Tablas de Probabilidad Distribución Binomial Distribución Poisson Distribución Normal Estándar Distribución t de Student Distribución χ 2 Ji-Cuadrada Distribución F Distribución del estadístico ρ s de Spearman Distribución del estadístico U de Mann-Whitney Tabla de Números Aleatorios Números Seudoaleatorios Material tomado de los documentos de trabajo DE-A09.1 y DE-A09.5, de los mismos autores. 1 ebarrios@itam.mx 2 ja.garciap0@gmail.com 1

2 Estadística II 2 1. Formulario 1.1. Algunas distribuciones de probabilidad Distribución Notación Soporte R X Función de Probabilidad E(X) Var(X) Uniforme discreta unif{x 1,..., x K} x {x 1,..., x K} 1 K 1 K KX i=1 x i 1 K KX (x i E(X)) 2 i=1 Bernoulli Be(p) x {0, 1} p x (1 p) 1 x p p(1 p) Binomial Bin(n, p) x {0, 1,..., n}! n x p x (1 p) n x np np(1 p) Poisson Po(λ) x {0, 1, 2,...} λ x e λ x! λ λ Uniforme continua unif(a, b) a x b Normal N(µ, σ 2 ) < x < 1 b a j 1 σ 2π exp 1 2 x µ 2 ff σ a + b 2 (b a) 2 12 µ σ 2 Exponencial Exp(θ) 0 x < 1 θ exp{ x θ } θ θ Estimación Puntual Parámetro Estimador Sesgo B(ˆθ) = E(ˆθ θ) 1 P Media X = Xi n Error de Estimación ˆθ θ P Varianza S 2 (Xi = X) 2 n 1 Error Cuadrático Medio ECM(ˆθ) = E (ˆθ θ) 2 Correlación P r = SXY (Xi, S XY = X)(Y i Ȳ ) S XS Y n 1 = Var(ˆθ) + B(ˆθ) 2

3 Estadística II Algunos estadísticos y su distribución de muestreo Poblaciones con distribución Normal Estadístico Distribución n( X µ) Z = σ Z N(0,1) n( X µ) τ = S τ t n 1 Z = ( X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) σ1 2 + σ2 2 n 1 n 2 Z N(0,1) S 2 p = (n 1 1)S (n 2 1)S 2 2 (n 1 + n 2 2) (n 1 + n 2 2)S 2 p σ 2 χ 2 n 1+n 2 2 τ = ( X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) ( ) τ t (n1+n 2 2) 1 S 2 p n n 2 J = (n 1)S2 σ 2 J χ 2 n 1 F = S2 1/σ 2 1 S 2 2 /σ2 2 F F (n1 1,n 2 1) τ = n( D µd ) S D, D = X 1 X 2 τ t n 1 τ = r n 2 1 r 2, r = S XY S X S Y τ t n 2

4 Estadística II 4 Poblaciones con Distribución Bernoulli Estadístico Distribución Y = nˆp Y Bin(n,p) Z = ˆp p p(1 p)/n Z N(0,1), para n grande Z = (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) ˆp1 (1 ˆp 1 )/n 1 + ˆp 2 (1 ˆp 2 )/n 2 Z N(0,1), para n 1,n 2 grandes Si p 1 = p 2, Z = (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) ( 1 ˆp(1 ˆp) + 1 ) Z N(0,1), para n 1,n 2 grandes n 1 n 2 con ˆp = n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 n 1 + n Pruebas no paramétricas Prueba Estadístico Propiedades Signos M = # de signos positivos E(M) = np, Var(M) = np(1 p) Mann-Whitney T x = R(X i ) n(n + 1) 2 E(T x ) = nm 2, Var(T x) = nm(n + m + 1) 12 Correlación de Spearman r s = 1 6 P d 2 i n 3 n r s (n 1) N(0,1), para n grande Ji cuadrada (χ 2 ) J = rc i=1 (Obs i Esp i ) 2 Esp i J χ 2 (r 1)(c 1), r = # renglones c = # columnas

5 Estadística II 5 2. Tablas de Probabilidad 2.1. Distribución Binomial X Binom(n,θ) p = P(X x) = x k=0 ( ) n θ k (1 θ) n k = 1 α k p α 0 x n Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 5,6,7,8,9). θ x n = n = n = n = n =

6 Estadística II 6 Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 10,11,12,13,14). θ x n = n = n = n = n =

7 Estadística II 7 Tabla 2C. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 15,16,17,18). θ x n = n = n = n =

8 Estadística II 8 Tabla 2D. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 19,20,21). θ x n = n = n =

9 Estadística II 9 Tabla 2E. Probabilidades acumuladas de la distribución binomial (n = 22,23). θ x n = n =

10 Estadística II 10 Tabla 2F. Probabilidades acumuladas de la distribución binomial (n = 24,25). θ x n = n =

11 Estadística II Distribución Poisson X Poisson(λ) x λ k e λ p = P(X x) = k! k=0 = 1 α p α 0 x Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson. λ x Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson. λ x

12 Estadística II Distribución Normal Estándar Z N(0,1) p = P(Z z) = z φ Z (u)du = 1 α donde φ Z (u) = 1 p α e 1 2 u2 2π 0 z Nota: Si X N(µ,σ 2 ), entonces Z = (X µ)/σ N(0,1). Luego, ( P(X x) = P Z x µ ) σ Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar. z

13 Estadística II 13 Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar. z Distribución t de Student T t ν siendo ν los grados de libertad. p = P(T t) = t φ T (u)du = 1 α donde φ T (u) = 1 Γ ( ) ν+1 2 νπ Γ ( ) ν 2 ) ν+1 (1 + u2 2 ν p 0 α

14 Estadística II 14 Tabla 2. Valores críticos t (α;ν) de la distribución t de Student. p α ν

15 Estadística II Distribución χ 2 Ji-Cuadrada Y χ 2 ν siendo ν los grados de libertad. donde p = P(Y y) = φ χ 2(u) = y 0 φ χ 2(u)du = 1 α 1 2 ν/2 Γ(ν/2) uν/2 1 e u/2 0 x p α Tabla 2. Valores críticos χ 2 (α;ν) de la distribución χ2 ν Ji-Cuadrada. p α ν

16 Estadística II Distribución F F F ν1,ν 2 siendo ν 1 y ν 2 los grados de libertad. donde φ F (u) = Γ( ν 1+ν 2 2 p = P(F f) = f 0 ) ν ν 1/2 1 ν ν2/2 2 Γ(ν 1 /2)Γ(ν 2 /2) φ F (u)du = 1 α u (ν1/2) 1 (ν 2 + ν 1 u) (ν1+ν2)/2 0 f p α Nota: Si F F ν1,ν 2, entonces, p = P(F F (1 α;ν1,ν 2)) = P ( F 1 F (α;ν2,ν 1) ) = 1 α

17 Tabla 2A. Valores críticos F (α;ν1,ν 2) de la distribución F. p = 0.90 α = 0.10 ν 1 ν Estadística II 17

18 Tabla 2B. Valores críticos F (α;ν1,ν 2) de la distribución F. p = 0.95 α = 0.05 ν 1 ν Estadística II 18

19 Tabla 2C. Valores críticos F (α;ν1,ν 2) de la distribución F. p = α = ν 1 ν Estadística II 19

20 Tabla 2D. Valores críticos F (α;ν1,ν 2) de la distribución F. p = 0.99 α = 0.01 ν 1 ν Estadística II 20