PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Juio, Ejercicio 4, Opció B Reserva 1, Ejercicio 4, Opció B Reserva, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció B Reserva 3, Ejercicio 4, Opció A Reserva 4, Ejercicio 4, Opció A Reserva 4, Ejercicio 4, Opció B Septiembre, Ejercicio 4, Opció B

2 Se quiere estimar la proporció de hembras etre los peces de ua piscifactoría; para ello se ha tomado ua muestra aleatoria de 500 peces, y e ella hay 175 hembras. a) Calcule u itervalo de cofiaza para la proporció de hembras e esta població de peces, co u ivel de cofiaza del 94%. b) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiecia para coseguir u itervalo de cofiaza co el mismo ivel y u error máximo de 0.0, cuál es el tamaño míimo que debe teer la ueva muestra?. SOCIALES II. 013 JUNIO. EJERCICIO 4 OPCIÓN A a) El itervalo de cofiaza para la proporció viee dado por: p (1 p) p (1 p) I. C. p z, p z Co los datos del problema calculamos: 175 p 0' '94 0'97 1'88 z Luego, sustituyedo, teemos: 0'35 0'65 0'35 0'65 IC.. 0'35 1'88, 0'35 1'88 (0'3099;0'3901) b) Aplicado la fórmula, teemos: 0'35 0'65 1'88 0'35 0'65 E 0'0 1'88 010' '0

3 El tiempo que los españoles dedica a ver la televisió los domigos es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 75 miutos. Elegida ua muestra aleatoria de españoles se ha obteido, para la media de esa distribució, el itervalo de cofiaza (188 18, 08 8), co u ivel del 99%. a) Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra. b) Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado ua muestra de 500 y u ivel de cofiaza del 96%. SOCIALES II. 013 JUNIO. EJERCICIO 4 OPCIÓN B a) 1 0'99 0'995 '575 z Calculamos la media: 188'18 08'8 198'5 Aplicado la fórmula, teemos: E 08'8 198'5 10'3 ' ' 351 b) 1 0'96 0'98 '055 z 75 E '055 6'89 500

4 E ua població próxima a u puerto deportivo se quiere estimar la proporció de habitates que avega al meos ua vez a la semaa. Se toma ua muestra, al azar, de 400 habitates de la població, de los que 160 afirma avegar al meos ua vez e semaa. a) Halle el itervalo de cofiaza del 90% para la proporció de habitates que avega al meos ua vez e semaa. b) A la vista del resultado, se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota del error de 0 1 co el mismo ivel de cofiaza del apartado aterior. Cuátos idividuos debe teer al meos la muestra? SOCIALES II. 013 RESERVA 1. EJERCICIO 4 OPCIÓN B a) El itervalo de cofiaza para la proporció viee dado por: p (1 p) p (1 p) I. C. p z, p z Co los datos del problema calculamos: 160 p 0' '90 0'95 1'645 z Luego, sustituyedo, teemos: 0'4 0'6 0'4 0'6 IC.. 0'4 1'645, 0'4 1'645 (0'3598;0'440) b) Aplicado la fórmula, teemos: 0'4 0'6 1'645 0'4 0'6 E 0'1 1'645 64' '1

5 Queremos estudiar la proporció de persoas de ua població que accede a iteret a través de teléfoo móvil. Para ello hacemos ua ecuesta a ua muestra aleatoria de 400 persoas de esa població, y obteemos que 40 de ellas accede a iteret a través del móvil. a) Determie u itervalo de cofiaza, al 98.5%, para la proporció de persoas de esa població que accede a iteret a través del teléfoo móvil. b) Razoe el efecto que tedría sobre la amplitud del itervalo de cofiaza el aumeto o dismiució del tamaño de la muestra, supoiedo que se matuviera la misma proporció muestral y el mismo ivel de cofiaza. SOCIALES II. 013 RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A a) 40 p 0' '985 0'995 z '43 Aplicado la fórmula, teemos: 0'6 0'4 IC.. 0'6 '43 0'6 0'0595 0'5405;0' b) Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, meor será la amplitud del itervalo. Cuato meor sea el tamaño de la muestra, mayor será la amplitud de itervalo.

6 a) Ua població de 6000 persoas se ha dividido e 3 estratos, uo co 1000 persoas, otro co 3500 y otro co E esa població se ha realizado u muestreo estratificado co afijació proporcioal, e el que se ha elegido al azar 15 persoas del tercer estrato. Determie el tamaño de la muestra total obteida co este muestreo y su composició. 1,4,7, costruya todas las muestras posibles de tamaño que pueda b) Dada la població formarse mediate muestreo aleatorio simple, y halle la variaza de las medias muestrales de todas esas muestras. SOCIALES II. 013 RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B a) Vamos a calcular el tamaño de la muestra: x x persoas tiee la muestra Calculamos la composició de la muestra: x x persoas del primer estrato x x x x persoas del segudo estrato persoas del tercer estrato b) Escribimos todas las muestras posibles de tamaño. (1,1) (1,4) (1,7) (4,1) (4,4) (4,7) (7,1) (7,4) (7,7) Costruimos la tabla para las medias muestrales: x f x f x f Media = xf i i 36 4 f 9 i x i fi 171 Variaza = x 4 3 f 9 i

7 El peso de los sobres de café que fabrica ua empresa sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 0.3 g. Se quiere costruir u itervalo de cofiaza para estimar dicha media, co u ivel de cofiaza del 98%, y para ello se toma ua muestra de 9 sobres. a) Qué amplitud tedrá dicho itervalo? b) Cómo afectaría a dicha amplitud u aumeto del tamaño de la muestra, mateiedo el mismo ivel de cofiaza? c) Obtega el itervalo de cofiaza sabiedo que los pesos, e gramos, de los sobres de la muestra so: 7, 7.1, 7, 6.93,7.0,7, 7.01, 6.5, 7.1 SOCIALES II. 013 RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN A a) Como el ivel de cofiaza es del 98%, podemos calcular Aplicado la fórmula, teemos: z z 1 0'98 0'99 '33 0'3 IC.. ( '33 ) ( 0'33 ; 0'33) 9 Luego la amplitud del itervalo es: 0'33 0'466 b) Como el tamaño de la muestra está e el deomiador, si aumetamos el tamaño de la muestra, la amplitud del itervalo será meor. c) Calculamos la media: Aplicado la fórmula, teemos: 7 7'1 7 6'93 7'0 7 7'01 6'5 7'1 6'96 9 0'3 IC.. (6'96 '33 ) (6'96 0'33 ; 6'96 0'33) (6,77 ; 7,193) 9

8 Se cooce que la acidez de ua solució es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica 0.. Se ha tomado ua muestra aleatoria de cico solucioes y se ha obteido las siguietes medidas R E de S la O acidez: L U C I Ó N 7.9, 7.95, 7.91, 7.9, a) Halle el itervalo de cofiaza, al 99%, para la media poblacioal. b) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? c) Para el mismo ivel de cofiaza, calcule el tamaño míimo muestral que permita reducir el error aterior a la mitad. SOCIALES II. 013 RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A a) Calculamos la media: 7'9 7'95 7'91 7'9 7'94 7'94 5 Como el ivel de cofiaza es del 99%, podemos calcular Aplicado la fórmula, teemos: b) El error que hemos cometido es: c) Aplicado la fórmula, teemos: z z 1 0'99 0'995 '575 0' IC.. (7'94 '575 ) (7'6937 ; 8'1543) 5 0' E '575 0' '303 0' '5750' E ' '303

9 a) Se cosidera la població,4,6. Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas mediate muestreo aleatorio simple y determie la desviació típica de las medias muestrales. b) E ua ciudad se seleccioó ua muestra aleatoria de 500 alumos de Bachillerato a los que se les pregutó si poseía ua determiada marca de teléfoo móvil, resultado que 80 de ellos cotestaro afirmativamete. Obtega u itervalo de cofiaza, al 9%, para estimar la proporció de estudiates de Bachillerato que posee esa marca de teléfoo móvil. SOCIALES II. 013 RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B a) Escribimos todas las muestras posibles de tamaño. (,) (,4) (,6) (4,) (4,4) (4,6) (6,) (6,4) (6,6) Costruimos la tabla para las medias muestrales: x f x f x f Media = xf i i 36 4 f 9 i Desviació típica = x f i i x f i '15 9 b) Co los datos del problema calculamos: 80 p 0' '9 0'96 1'76 z Luego, sustituyedo, teemos: 0'16 0'84 0'16 0'84 IC.. 0'16 1'76, 0'16 1'76 (0'131;0'1888)

10 El gasto mesual de las familias de u muicipio se distribuye segú ua variable Normal co desviació típica igual a 180 euros. Seleccioadas 30 familias al azar, ha teido u gasto medio mesual de 900 euros. a) Calcule u itervalo de cofiaza para el gasto medio mesual de las familias de ese muicipio co u ivel de cofiaza del 98%. b) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el medio mesual de las familias co u error o superior a 60 euros, co el mismo ivel de cofiaza. SOCIALES II. 013 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4 OPCIÓN B a) 1 0'98 0'99 '33 z Aplicado la fórmula, teemos: 180 IC.. (900 '33 ) (83'49 ; 976'571) 30 b) 180 E 60 '33 48'86 49