Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos

Transcripción

1 . Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas Afines: Son los que tratan de incidencias ( pertenece un punto a una recta? o está esta recta contenida en este plano?), paralelismo, posición relativa de dos o más elementos en el espacio e intersecciones. : Son aquellas situaciones en las que intervienen distancias entre los diferentes elementos del espacio o intervienen ángulos. Por ejemplo, la perpendicularidad es una cuestión métrica. Antes de afrontar los diferentes problemas métricos de este tema, es necesario recordar algunos aspectos afines acerca de rectas, planos y vectores en el espacio. a) Vector normal a un plano Si un plano viene dado por su ecuación implícita ax + by + cz = d, el vector n(a,b,c) es un vector normal al plano, es decir, es ortogonal a todos los vectores contenidos en ese plano. n(a,b,c) ax + by + cz = d De esta forma resulta muy sencillo determinar la ecuación de un plano que pasa por un punto y es perpendicular a un vector dado. Hallemos la ecuación del plano que pasa por el punto (2,0, ) y es perpendicular al vector (, 2, 4). Para ello consideramos un punto genérico del plano (x,y,z) y el vector determinado por ese punto y el que me dan: (x 2,y,z+). Como este vector pertenece al plano y sabemos que (2,,4) es un vector perpendicular al plano, se tiene que 2(x 2) + y + 4(z + ) = 0 y desarrollando resulta la ecuación 2x + y + 4z = 0. b) Vector director de una recta Cuando una recta viene dada por sus ecuaciones paramétricas o continuas es muy sencillo determinar un vector director de la misma.

2 x = 2 3λ r : y = 2 z = + λ u = ( 3,0,) s : x 3 5 = y = z v = (5, 2, 4) 4 En el caso en que la recta venga dada por su forma implícita (como intersección de dos planos), un vector director de la recta se obtenía como el producto vectorial de los vectores normales a cada uno de los planos: r : { 2x + y 3z = 4 x y + 2z = 0 (2,, 3) (,,2) es un vector director de r c) Plano paralelo a dos rectas Dadas dos rectas r y r con vectores directores u y u, podemos determinar un vector normal al plano paralelo a estas dos rectas. El vector u u es normal al plano paralelo a estas dos rectas. 2. Ángulos entre rectas y planos Para poder estudiar el ángulo que forman dos rectas, dos planos o un plano y una recta es necesario disponer de un vector que determine la dirección de estos elementos. En la recta tenemos el vector director y en el plano el vector normal nos indica su dirección por que sólo hay una dirección perpendicular al plano. Para medir un ángulo entre vectores hace falta recordar la fórmula que vimos anteriormente: u v cos α = u v El valor absoluto del numerador nos da el menor de los dos ángulos que forman esos dos vectores. A partir de aquí vamos a estudiar los distintos ángulos que se forman entre rectas y planos. a) b) Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman las rectas r y r cuyos vectores directores son d y d respectivamente viene dado por Ángulo entre dos planos cos α = d d d d El ángulo que forman dos planos π y π cuyos vectores normales son n y n coincide con el que forman esos dos vectores normales: cos α = n n n n 2

3 c) Ángulo entre una recta y un plano El ángulo que determina una recta con un plano coincide con el que forma la recta con su proyección sobre el plano. Este ángulo es complementario con el ángulo que forma la recta con el vector normal del plano. Denotando por d al vector director de la recta y por n al vector normal al plano, si α es el ángulo que forman la recta y el plano, se cumple que cos(90 o α) = d n d n Si queremos calcular el ángulo que forma la recta r : x 3 3 = y 2 = z + con el plano π : 2x 3y+z = 2, debemos determinar primero el vector director de la recta d = (3,2,) y el vector normal al plano n = (2, 3,). Aplicando la anterior fórmula resulta: cos(90 o α) = ( 3) ( 3) 2 + = = Así pues tenemos que 90 o α = 85,903 o de donde α = 4,077 o. 3. Distancias en el espacio Vamos a comenzar esta sección sobre el cálculo de distancias en el espacio con la definición de distancia entre dos puntos del espacio, que no es más que una generalización de la dada en el plano. 3.. Distancia entre dos puntos Dados los puntos A(x,y,z ) y B(x 2,y 2,z 2 ) se define la distancia entre ellos como el módulo del vector que determinan. dist(a,b) = AB = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta se define como la menor de las distancias del punto a los puntos de la recta. Esta distancia coincide con la longitud del segmento perpendicular que une el punto con la recta. r P P 3

4 Si P es el punto proyección del punto P sobre la recta r, la distancia del punto P a la recta r coincide con la distancia entre los puntos P y P. dist(p,r) = dist(p,p ) La propia definición de distancia de un punto a una recta nos da una idea de su cálculo. Podemos calcular el segmento perpendicular a la recta que pasa por el punto P y determinar su longitud. Este es el llamado Método constructivo: a) Hallamos el plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto P. b) Hallamos el punto de corte de ese plano con la recta r. c) Este punto de corte es el punto P que materializa la distancia del punto P a la recta r. Otra posibilidad es tomar un punto genérico de la recta r, dada la misma por sus ecuaciones paramétricas e imponer que el vector formado por ese punto y el punto que nos dan sean ortogonales. Este procedimiento recibe el nombre de Método del punto genérico. Veamos un ejemplo. Queremos calcular la distancia del punto P(0, 2,4) a la recta r : x = 2 + 3λ y = + 2λ z = λ Un punto cualquiera de r es ( 2+3λ,+2λ,λ). El vector determinado por este punto y el punto P es el vector ( 2+3λ,3+2λ, 4+λ). Ahora imponemos que este vector sea perpendicular al vector director de la recta (3,2,) y hallamos el valor de λ: 3 ( 2 + 3λ) + 2 (3 + 2λ) + ( 4 + λ) = λ λ 4 + λ = 0 4λ = 4 λ = 4 4 Luego el punto P de la recta se obtiene sustituyendo este valor de λ en la recta. La distancia entre los puntos P y P es la distancia del punto P a la recta r. El llamado Método analítico se basa en el estudio de la función distancia y en el cálculo del mínimo de esa función. Si tenemos el punto P(2,, ) y queremos hallar su distancia a la recta x 2 = y = z 2 lo primero que vamos a hacer es obtener las ecuaciones paramétricas de la recta x = + 2λ r : y = 0 + λ z = 2 + λ La distancia del punto P a un punto de la recta viene dado por (2λ )2 + (λ ) 2 + (λ + 3) 2 que puede ser considerada una función de λ. Si determinamos el mínimo de esa función, hallamos el punto que materializa la distancia del punto P a la recta. 4

5 El método más rápido de todos es el Método del producto vectorial que se basa en la relación que existe entre el módulo del producto vectorial y el área del paralelogramo que determinan estos dos vectores. P h R d r dist(p,r) = h = Área base = RP d d 3.3. Distancia de un punto a un plano De forma análoga a la distancia de un punto a una recta, la distancia de un punto a un plano se define como la menor de las distancias del punto a los puntos del plano. Esta distancia coincide con la distancia del punto P a su proyección sobre el plano, P : P P dist(p,π) = dist(p,p ) π Al igual que ocurría con el caso anterior, el cálculo del punto P se puede realizar por un Método constructivo: a) Hallamos la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto P. b) Hallamos el punto de corte de esta recta con el plano π. c) Este punto de corte es el punto P que materializa la distancia del punto P al plano π. Todo este trabajo puede ahorrarse sin más que aplicar la siguiente fórmula: dist(p,π) = dist((x 0,y 0,z 0 ),ax + by + cz + d = 0) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a2 + b 2 + c Distancia de una recta a un plano Si la recta corta al plano esta distancia es cero. En caso contrario, si la recta es paralela al plano, la distancia de la recta al plano se calcula como la distancia de cualquier punto de la recta a este plano. Esta distancia se puede calcular con la fórmula anterior. 5

6 3.5. Distancia entre dos planos De forma análoga a la distancia entre una recta y un plano, podemos decir que la distancia entre dos planos sólo es no nula en el caso en que sean paralelos. Tomando cualquier punto de uno de los planos, calculamos la distancia entre este punto y el otro plano. Esta es la distancia entre los dos planos. Por ejemplo, vamos a considerar los dos planos π : 2x 3y + z = y σ : 4x 6y + 2z = 0. Como los coeficientes son proporcionales ambos planos son paralelos. Tomando un punto del plano π, P(,,2) vamos a calcular su distancia al plano σ. Esta es la distancia entre ambos planos: dist(π,σ) = dist(p,σ) = = Distancia entre dos rectas Para estudiar la distancia entre dos rectas, podemos distinguir distintos casos: Si las rectas se cortan o coinciden, la distancia entre ellas es cero. Si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas coincide con la distancia entre un punto de una de ellas y la otra recta. El caso más interesante es cuando las rectas se cruzan. Existen diversos métodos para hallar esta distancia: Método del vector variable Consideramos puntos genéricos de ambas rectas, para lo cual es conveniente tener las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. Se halla el vector que determinan ambos puntos e imponemos las condiciones de que este vector sea ortogonal a las dos rectas. Obtenemos así dos ecuaciones con dos incógnitas cuya resolución nos dará los puntos que materializan la distancia entre ambas rectas. Método del producto mixto Tomando P y u un punto y un vector de la recta r y Q y v un punto y un vector de la recta s, la distancia entre estas dos rectas es y = 2 z = 8 + 5λ dist(r,s) = Vamos a hallar la distancia entre las rectas x = 3 + 2λ r : s : [ u, v, PQ] u v x = 6 y = 6 + µ z = 9 Tomamos un punto genérico de la recta r, P(3+2λ,2,8+5λ) y otro punto genérico de la recta s, Q(6,6 + µ, 9). El vector que determinan es PQ(7 + 2λ, 4 µ,7 + 5λ) Vamos a imponer que este vector sea ortogonal a ambas rectas: PQ r 2 (7 + 2λ) + 5 (7 + 5λ) = 0 6

7 PQ s ( 4 µ) = 0 De estas ecuaciones obtenemos λ = y µ = 4, con lo cual los puntos P(,2,3) y Q(6,2, 9) cumplen que dist(r,s) = dist(p,q) = (6 ) 2 + (2 2) 2 + ( 9 3) 2 = = 3 4. Medida de áreas y volúmenes A partir del producto vectorial, hallábamos el área del paralelogramo determinado por los vectores u y v: v u v u 4.. Área de un triángulo dado por sus vértices Como el área de un triángulo se obtiene dividiendo por dos el área del paralelogramo, obtenemos la siguiente fórmula para determinar el área del triángulo de vértices A, B y C. Área del triángulo ABC = 2 AB AC 4.2. Volumen de un tetraedro dado por sus vértices A partir del volumen del paralelepípedo determinado por tres vectores ( [ u, v, w] ) se calcula el volumen del tetraedro formado por esos vectores como la sexta parte de este paralelepípedo. Si los vértices del tetraedro son los puntos A, B, C y D, su volumen viene dado por: Volumen del tetraedro = 6 [ AB, AC, AD] Recordando que el producto mixto se calculaba mediante un determinante, podemos dar la fórmula anterior a partir de las coordenadas de los vectores: 6 [ x y z AB, AC, AD] = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z 4 7