II Concurso de Resolución de Problemas Curso

Transcripción

1 II Concurso de Resolución de Problemas Curso Solución Solución del Problema de la distancia mínima. Hagamos una precisión preliminar sobre la distancia de un punto a una recta: En el plano, dados un punto Q y una recta t, la proyección ortogonal de Q sobre t (que denotaremos por Q t ) es el punto de corte entre la recta t y su perpendicular por Q. La distancia d(q, Q t ) es la menor entre las distancias d(q, X) para puntos X de t (o sea, es la distancia entre el punto Q y la recta t ), pues se tiene un triángulo rectángulo en el que el lado QQ t es un cateto y el lado QX es la hipotenusa. En el caso muy particular del problema en el que las rectas r y s son paralelas, el sumando d(p, s) vale lo mismo para cualquier punto P de r (la distancia constante entre las dos rectas paralelas) y por tanto se trata de encontrar el punto P de r que minimice el otro sumando d(a, P ), por lo que basta con tomar P = A r. En la interpretación de la carretera, en algunos casos la persona tendría que volver sobre sus pasos tras cortar el tendido eléctrico (cuando A esté por debajo de r, en el dibujo), pero esto no influye en la elección del punto P.

2 En otro caso las rectas r y s se cortarán en un único punto que llamaremos O. El siguiente dibujo permite intuir que la naturaleza de la solución será distinta según la posición del punto de partida: Desde A parece razonable ir directamente en perpendicular hacia s, pues en ese camino se pasa por r. Desde A parece mejor ir directamente a la intersección O. Por último, desde A ninguna de las dos opciones anteriores parece mejor que la dibujada. La idea usada con A valdrá cuando el segmento AA s corte a la recta r. Si denotamos por s a la recta perpendicular a s por O, estos puntos son los que están en las regiones de ángulo agudo determinadas por r y s. Para entender cuándo y cómo funciona la idea usada con A podemos considerar la recta ŝ que es simétrica de s con respecto a r, de modo que r es una bisectriz de s y ŝ. Entonces los puntos de r equidistan de s y de ŝ, luego la suma que queremos minimizar es también d(a, P ) + d(p, ŝ), por lo que podemos trabajar con ŝ en vez de con s. Formalicemos todo esto distinguiendo los casos que han quedado sugeridos y usando la notación establecida (también llamaremos ŝ a la perpendicular a ŝ por O): CASO 1: Si el segmento AA s corta a r, o sea si A está en las regiones de ángulo agudo determinadas por r y s, sombreadas en el dibujo. En este caso se debe tomar P como el punto de corte entre el segmento AA s y r: Para ver que en efecto la suma de distancias es mínima para esta elección de P, notemos que se tiene A s = P s, pues

3 la perpendicular a s por A y por P es la misma. Entonces para cualquier punto X de r distinto de P se tiene d(a, P ) + d(p, s) = d(a, P ) + d(p, A s ) pues d(p, s) = d(p, P s ) y P s = A s = d(a, A s ) porque P está en el segmento AA s < d(a, X s ) porque AA s es un cateto y AX s la hipotenusa d(a, X) + d(x, X s ) por la desigualdad triangular = d(a, X) + d(x, s) pues d(x, s) = d(x, X s ) En la interpretación de la carretera, resulta que en este caso el camino más corto entre A y la carretera pasa por el tendido eléctrico, por lo que la persona simplemente recorrerá ese camino y cortará el tendido cuando lo cruce. CASO 2: Si el segmento AAŝ corta a r, o sea si A está en las regiones de ángulo agudo determinadas por r y ŝ (simétricas de las anteriores con respecto a r). En este caso se debe tomar P como el punto de corte entre el segmento AAŝ y r, pues ya hemos observado que podemos trabajar con ŝ en vez de con s. En la interpretación de la carretera, la persona va en perpendicular a ŝ hasta que corta el cable, y después sigue en prependicular a s.

4 CASO 3: Si A está fuera de las regiones anteriores se debe tomar P = O. Para verlo formalmente tomamos un X en r distinto de O y observamos que, por la situación de A, el ángulo ÂOX s es obtuso (y si no, lo es ÂOXŝ y ya sabemos que podemos trabajar con s o con ŝ según nos convenga). Esto implica que d(a, O) < d(a, X s ), y usando la desigualdad triangular, se tiene d(a, O)+d(O, s) = d(a, O) < d(a, X s ) d(a, X)+d(X, X s ) = d(a, X)+d(X, s) Solución alternativa (analítica) Planteamos una solución con coordenadas en la que buscamos expresamente la función que da la suma de distancias para poder derivarla y buscar así su mínimo. Asuminos que las rectas no son paralelas (caso resuelto antes con facilidad) ni perpendiculares (en este caso la solución es claramente el punto de corte O para cualquier A). Podemos situar el origen de coordenadas en el punto de corte de las rectas (aquí se usa que no son paralelas), y el eje horizontal en la recta r. Entonces los puntos de r tienen la forma (x, 0) y la recta s tiene una ecuación del tipo y = mx para cierto m (aquí se usa que no son perpendiculares). Por su parte, el punto tiene coordenadas arbitrarias A = (a, b). Asumiremos que b 0 (lo que evitará dividir por 0) porque en este caso A estaría en r y la solución es obviamente P = A. También asumiremos que m > 0 y que a > 0, pues otros casos son análogos. Y al asumir que a > 0 es claro que podemos limitarnos a estudiar los puntos (x, 0) con x > 0, pues para los otros el origen da claramente una suma de distancias menor. En general, la distancia de un punto (x, y) a una recta de ecuación ax + by + c = 0 es el valor absoluto del cociente (ax + by + c)/ a 2 + b 2. Así, para nuestros puntos A = (a, b) y P = (x, 0) y nuestra recta mx y = 0, la suma de distancias que queremos minimizar la podemos expresar como la función de x f(x) = d(a, P ) + d(p, s) = (x a) 2 + b 2 + mx m2 + 1

5 (olvidamos el valor absoluto pues suponemos que m y x son positivos). Su derivada es f x a (x) = (x a)2 + b + m 2 m2 + 1 y podemos por tanto asumir que x < a, porque para x > a la función es creciente (derivada positiva) y no va a alcanzar un mínimo. Los puntos críticos de f son pues los que verifican la igualdad m2 + 1 (a x) = m (x a) 2 + b 2 que, al tener sólo factores positivos, equivale a la igualdad entre los cuadrados (m 2 + 1)(a x) 2 = m 2 [ (a x) 2 + b 2] Desarrollando y simplificando m 2 (a x) 2 se llega a (a x) 2 = m 2 b 2, o sea a x = ±mb y por tanto x = a ± mb. Para ver cuál de las dos opciones es válida, si es que lo es alguna, distinguimos dos casos. CASO 1, b > 0. La condición x < a nos lleva a elegir x = a mb (para la otra elección se verificaría la igualdad entre los cuadrados pero no la igualdad que da los puntos críticos). Pero esto sólo sirve si x = a mb > 0, o sea si a mb. Obsérvese que en este caso ŝ tiene ecuación y = mx, y por tanto ŝ tiene ecuación x = my, de modo que la condición a mb significa que el punto A esté a la derecha de ŝ, y la solución P = (a mb, 0) es el punto de corte con r de la recta perpendicular a ŝ por A. En otro caso (si A está a la izquierda de ŝ ) la derivada no se anula en el intervalo [0, a] y, como es continua y es positiva en x = a, resulta que f es creciente (y positiva) en ese intervalo, por lo que alcanza su mínimo a la izquierda del intervalo, o sea en x = 0. Por tanto, en este caso la solución es P = (0, 0). CASO 2, b < 0. Ahora x < a nos lleva a elegir x = a + mb, que sólo sirve si x = a + mb > 0, o sea si a mb. Como s tiene ecuación x = my, la condición a mb significa que A esté a la derecha de s, y la solución P = (a + mb, 0) es el punto de corte con r de la recta perpendicular a s por A. En otro caso (si A está a la izquierda de s ) un argumento como el anterior nos dice que la solución es P = (0, 0).