CUADERNILLO DE TRABAJO DE LA MATERIA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO 2.- PROBABILIDAD

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1 CUADERNILLO DE TRABAJO DE LA MATERIA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO 2.- PROBABILIDAD SECCIÓN ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 1.- Se selecciona una muestra de tres calculadoras de una línea de fabricación y cada una de ellas se clasifica como defectuosa o aceptable. Si A, B y C denotan los eventos de que la primera, la segunda y la tercera calculadora esté defectuosa, respectivamente: a) Describir el espacio muestral para este experimento con un diagrama de árbol. b) Describir cada uno de los eventos siguientes: A, B, A B, y BUC. Solución: Si el evento D indica que la calculadora es defectuosa y el evento E indica que la calculadora es aceptable, entonces: a) S={DDD, DDE, DEE, DED, EDD, EDE, EEE, EED} b) A={DEE, DDD, DDE, DED} B={EDD, EDE, DDE, DDD} A B={DDE, DDD} BUC={EDE, EDD, EED, DDE, DDD, DED} 2.- Muestras de hule espuma de tres proveedores se clasifican de acuerdo a sí cumplen o no con las especificaciones. Los resultados de 100 muestras se resumen a continuación. SI CUMPLEN NO CUMPLEN PROVEEDOR PROVEEDOR PROVEEDOR Sea A el evento de que una muestra es del proveedor 1 y sea B el evento de que una muestra cumpla con las especificaciones. Determinar el número de muestras en: a) A' B, b) B', c) AUB, y d) A B. Solución: a) 67, b) 15, c) 87, d) 18. SECCIÓN INTERPRETACIÓN DE LA PROBABILIDAD 3.- Un espacio muestral contiene 20 resultados igualmente factibles. Si la probabilidad del evento A es 0.3 cuántos resultados hay en el evento A? Solución: Si es igualmente factible que el último dígito de la medición de un peso sea cualquiera de los dígitos del 0 al 9. a) Cuál es la probabilidad de que el último dígito sea cero? b) Cuál es la probabilidad de que el último dígito sea mayor o igual que cinco? Solución: a) 0.1, b) El 25 % de los técnicos de un laboratorio hace correctamente una preparación muestral para una medición química: 70 % la hace con un error secundario, y 5 % la hace con un error grave. a) Si se selecciona aleatoriamente a un técnico para hacer la preparación, cuál es la probabilidad de que la haga sin error?, b) cuál es la probabilidad de que la haga con un error secundario o con uno grave? 1

2 Solución: a) ¼, b) ¾. 6.- Muestras de una pieza de aluminio forjado se clasifican con base en el acabado de la superficie (en µpulgadas) y en las mediciones de la longitud. Los resultados de 100 piezas se resumen a continuación: Longitud excelente Longitud buena Acabado excelente 75 7 Acabado bueno 10 8 Sea A el evento de que una muestra tiene un acabado excelente en la superficie y B es el evento de que una muestra tiene una longitud excelente. Si se selecciona una pieza al azar, determinar las siguientes probabilidades: a) P(A), b) P(B), c) P(A'), d) P(A B), e) P(AUB), y f) P(A'UB). Solución: a) 0.82, b) 0.85, c) 0.18, d) 0.75, e) 0.92, f) 0.93 SECCIÓN REGLAS DE ADICIÓN 7.- Si A, B y C son eventos mutuamente excluyentes, es posible que P(A)=0.3, P(B)=0.4 y P(C)=0.5? Porqué sí o porqué no? 8.- Se analizan las placas circulares de policarbonato de un proveedor para la resistencia a las rayaduras y la resistencia a. Los resultados de 100 placas circulares se muestran a continuación: Resistencia Alta a las rayaduras Resistencia Baja a ras rayaduras Resistencia Alta a Resistencia Baja a a) Si se selecciona una placa circular al azar, cuál es la probabilidad de que su resistencia a las rayaduras sea alta y su resistencia a sea alta?, b) cúal es la probabilidad de que la placa seleccionada tenga alta resistencia a las rayaduras o que su resistencia a sea alta?, c) considérese el evento de que una placa circular tiene alta resistencia a las rayaduras y el evento de que otra placa circular tenga alta resistencia a, estos eventos son mutuamente excluyentes? Solución: a) 0.8, b) 0.95 SECCIÓN PROBABILIDAD CONDICIONAL 9.- El análisis de las flechas para un compresor se resumen a continuación: Si cumple la redondez No cumple la redondez si cumple la superficie no cumple la superficie 12 8 a) Si se sabe que una flecha cumple con los requerimientos de redondez, cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos del acabado de la superficie?, b) Si se sabe que una flecha no cumple con los requerimientos de redondez, cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos del acabado de la superficie? 2

3 Solución: a) 0.966, b) Un lote contiene 15 piezas fundidas de un proveedor local y 25 piezas fundidas de un proveedor del estado contiguo. Se seleccionan 2 piezas fundidas al azar, sin reemplazo, del lote de 40. Sea A el evento de que la primera pieza seleccionada es del proveedor local y B es el evento de que la segunda pieza fundida seleccionada sea del proveedor local. Determinar: a) P(A), b) P(B A), c) P(A B), y d) P(AUB). Solución: a) 15/40, b) 14/39, c) 7/52, d) Con los datos del ejercicio 2, suponer que se seleccionan 3 piezas fundidas al azar y sin reemplazo, del lote de 40. Además de las definiciones de los eventos A y B, sea que C denote el evento de que la tercera pieza seleccionada es del proveedor local. Determinar: a) P(A B C), b) P(A B C'). Solución: a) 0.046, b) Se clasifican muestras de aluminio fundido con base en el acabado de la superficie (en µpulgadas) y las mediciones de la longitud. Los resultados de 100 piezas se resumen a continuación: Longitud excelente Longitud buena Superficie excelente 75 7 Superficie buena 10 8 Si A denota el evento de que una muestra tiene acabado de la superficie excelente y sea B el evento de que una muestra tenga una longitud excelente. Determinar: a) P(A), b) P(B), c) P(A B), y d) P(B A). Solución: a) 0.82, b) 0.85, c) , d) En la tabla siguiente se muestra el análisis de muestras de acero galvanizado, por el peso del recubrimiento y la rugosidad de la superficie: Peso del recubrimiento Alto Peso del recubrimiento Bajo Rugosidad alta Rugosidad baja a) Si el recubrimiento de una muestra es alto, cuál es la probabilidad de que la rugosidad de la superficie sea alta? b) Si la rugosidad de la superficie de una muestra es alta, cuál es la probabilidad de que el peso del recubrimiento sea alto? c) Si la rugosidad de la superficie de una muestra es baja, cuál es la probabilidad de que el peso del recubrimiento sea bajo? Solución: a) 0.12, b) , c) Un lote de 100 chips semiconductores (circuitos integrados) contiene 20 que están defectuosos. Se seleccionan dos chips al azar y sin reemplazo. a) Cuál es la probabilidad de que el primero que se seleccione esté defectuoso? b) Cuál es la probabilidad de que el segundo que se seleccione esté defectuoso, dado que el primero estuvo defectuoso? c) Cómo cambia la respuesta de b) si los chips seleccionados se reemplazaron antes de la siguiente selección? Solución: a) 0.2, b) 19/99, c) 0.2 3

4 SECCIÓN REGLAS DE MULTIPLICACIÓN Y DE PROBABILIDAD TOTAL 15.- Suponer que P(A B)=0.4 y P(B)=0.5. Determinar las siguientes probabilidades: a) P(A B), b) P(A' B). Solución: a) 0.2 y b) La probabilidad de que un conector eléctrico que se mantenga seco falle durante el periodo de garantía de una computadora portátil es 1 %. Si el conector siempre está húmedo, la probabilidad de una falla durante el periodo de garantía es 5 %. Si 90 % de los conectores se mantienen secos y 10 % están húmedos, qué proporción de conectores fallará durante el periodo de garantía? Solución: En la fabricación de un adhesivo químico, 3 % de todas las corridas de producción tienen materias primas de dos lotes diferentes. Esto ocurre cuando se rellenan los tanques de almacenamiento y la porción restante de un lote es insuficiente para llenar los tanques. Sólo 5 % de las corridas con materias primas de un solo lote requieren reprocesamiento. Sin embargo, es más difícil controlar la viscosidad de las corridas en que se usan dos o más lotes de materia prima, y 40 % de las mismas requieren procesamiento adicional a fin de conseguir la viscosidad requerida. Sea A el evento de que una carga de producción esté constituida por 2 lotes diferentes y B es el evento de que un lote requiere procesamiento adicional. Determinar las siguientes probabilidades: a) P(A), b) P(A'), c) P(B A), d) P(B A'), e) P(A B), f) P(A B'), g) P(B) Solución: a) 0.03, b) 0.97, c) 0.4, d) , e) 0.012, f) 0.038, g) Muestras de cristal para laboratorio se colocan en paquetes pequeños y ligeros o en paquetes grandes y pesados. Suponer que 2 % y 1 % de las muestras enviadas en paquetes pequeños y grandes, respectivamente, se rompen durante la transportación. Si 60 % de las muestras se envían en paquetes grandes y 40 % se envían en paquetes pequeños, qué proporción de las muestras se rompe durante la transportación? Solución: Un lote de 100 chips semiconductores contiene 20 que están defectuosos. a) Se seleccionan dos chips al azar y sin reemplazo del lote. Usar la regla de probabilidad total para determinar la probabilidad de que el segundo chip seleccionado esté defectuoso. b) Se seleccionan tres chips del lote al azar y sin reemplazo. Usar la regla de probabilidad total para determinar la probabilidad de que el tercer chip seleccionado sea defectuoso. Solución: a) 0.2 y b) 0.2 SECCIÓN INDEPENDENCIA 20.- Se analizan las placas circulares de policarbonato de un proveedor para la resistencia a las rayaduras y la resistencia a. Los resultados de 100 placas circulares se muestran a continuación: Resistencia Alta a las rayaduras Resistencia Baja a ras rayaduras Resistencia Alta a Resistencia Baja a

5 Si A denota el evento de que una placa circular tiene alta resistencia a y B es el evento de que una placa tiene alta resistencia a las rayaduras. Los eventos A y B son independientes? (Demostrar la respuesta) Solución: No 21.- Muestras de hule espuma de dos proveedores se evalúan de acuerdo a si cumplen o no con ciertas especificaciones. Los resultados de 126 muestras se resumen a continuación: Si cumple con las especificaciones No cumple con las especificaciones Proveedor Proveedor Si A denota el evento de que una muestra es del proveedor 1 y B es el evento de que una muestra cumpla con las especificaciones. a) Son independientes A y B? (Demostrar la respuesta) b) Son independientes A' y B? (Demostrar la respuesta) Solución: a) Si, b) Si 22.- Un dispositivo de almacenamiento óptico utiliza un procedimiento de recuperación de errores que requiere una lectura satisfactoria inmediata de cualquier dato escrito. Si la lectura no tiene éxito después de tres operaciones de escritura, ese sector del disco se elimina como inaceptable para almacenamiento de datos. En una parte aceptable del disco, la probabilidad de una lectura satisfactoria es Suponer que las lecturas son independientes. Cuál es la probabilidad de que una parte aceptable del disco sea eliminada como inaceptable para almacenamiento de datos? Solución: SECCIÓN TEOREMA DE BAYES 23.- Existen dos métodos A y B para enseñar a los trabajadores cierta habilidad industrial. El porcentaje de fracasos es 20 % para A y 10 % para B. Sin embargo, B cuesta más y por esto se utiliza solamente en el 30 % de los casos (se utiliza A en el otro 70 %). Se entrenó a un trabajador según uno de los dos métodos, pero no logró aprenderlo correctamente. Cuál es la probabilidad de que haya recibido el entrenamiento con el método A? Solución: De los viajeros que llegan a un aeropuerto pequeño, 60 % utiliza aerolíneas importantes, 30 % viaja en aviones privados, y el resto usa aviones comerciales que no pertenecen a las aerolíneas importantes. De las personas que usan aerolíneas importantes, 50 % viaja por negocio, mientras que 60 % de los pasajeros de los aviones privados, y 90 % de los que usan otras aeronaves comerciales, también viaja por negocios. Supóngase que se selecciona al azar una persona que llega a este aeropuerto, cuál es la probabilidad de que la persona a) viaje por negocios? b) viaje por negocios en avión privado? c) haya viajado en avión privado, dado que lo hace por negocios? d) viaje por negocios, dado que usa un avión comercial? Solución: a) 0.57, b) 0.18, c) , d) 0.9 5