CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 10. Cálculo vectorial.

Transcripción

1 ÁLULO ngeniería ndustrial. urso Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de evilla. Lección 10. álculo vectorial. Resumen de la lección ntegrales de línea. ntegral de línea de un campo escalar. ea una curva parametrizada regular a trozos en el plano con parametrización c (t) con t [a, b]. ea el campo escalar f : U R 2 R de forma que U y f es continuo en. Laintegral de línea de f (respecto de la longitud de arco) a lo largo de la curva se define como el número b fd = f (c (t)) kc 0 (t)k dt. a Otras notaciones alternativas para la integral de línea del campo escalar f en son fds y fdr. El valor de la integral de línea es totalmente independiente de la parametrización tomada para. i es una curva cerrada entonces se denota la integral de línea como fd. gualmente se puede definir para campos escalares de tres variables. Propiedades de la integral de línea para campos escalares. ean dos campos escalares f,g : U R 2 R continuos en U y U una curva parametrizada regular a trozos. 1. i α, β R entonces (αf + βg) d = α fd + β gd. 2. i para todo (x, y) se verifica que f (x, y) g (x, y) entonces fd gd. 3. i = 1 2 entonces fd = fd + 1 fd. 2

2 4. La longitud de la curva se calcula como la integral de línea a lo largo de del campo escalar constante igual a 1, esto es long () = d. ntegral de línea de un campo vectorial. ea una curva parametrizada regular a trozos en el plano con parametrización c (t) con t [a, b]. ea el campo vectorial F : U R 2 R 2 de forma que U y F =(P, Q) es continuo en. La integral de línea de F (o circulación de F ) a lo largo de la curva se define como el número b F d = Pdx+ Qdy = F (c (t)) c 0 (t) dt. El valor de la integral de línea depende de la orientación de la parametrización tomada para, es decir, es independiente salvo por la orientación. gualmente se puede definir para campos vectoriales en el espacio. i es una curva cerrada entonces se denota la integral de línea como F d. Propiedades de la integral de línea para campos vectoriales. ean dos campos vectoriales F, G : U R 2 R 2 continuos en U y U una curva parametrizada regular a trozos. 1. i α, β R entonces (αf + βg) d = α F d + β G d. 2. i representa la misma curva parametrizada con orientación opuesta a la dada inicialmente entonces F d = F d. 3. i = 1 2, con las orientaciones dadas por, entonces F d = F d + 1 F d. 2 a ampos conservativos. onjunto conexo y conjunto convexo. Un conjunto U R 2 se dice conexo si para cualquier par de puntos suyos existe un camino (curva parametrizada regular a trozos) interior a U que los une. e dice que el conjunto U es convexo si el segmento que une a cualquier par de puntos de U está contenido en U. Evidentemente, si U es convexo entonces U es conexo. 2

3 ampo vectorial conservativo. ea F : U R 2 R 2 un campo vectorial continuo en un conjunto U conexo. e dice que F es conservativo en U si para todo par de puntos A, B U las integrales de línea a lo largo de todos los caminos contenidos en U que tienen a A como punto inicial y a B como punto final dan B el mismo resultado. En ese caso puede escribirse, F d = F d. Potencial de un campo vectorial. ea F : U R 2 R 2 un campo vectorial continuo en un conjunto U conexoyabierto.edicequef deriva de un potencial en U si existe un campo escalar f : U R 2 R (potencial de F en U) declase 1 ycon f = F en U. Regla de Barrow para integrales de línea. ea F : U R 2 R 2 un campo vectorialcontinuoenunconjuntou conexo y abierto. i F deriva de un potencial en U entonces F es conservativo en U yademás B A F d = f (B) f (A) para todo potencial f suyo. Teorema fundamental de la integal de línea. ea F : U R 2 R 2 un campo vectorial continuo en un conjunto U conexo y abierto. i F es conservativo en U entonces F deriva de un potencial en U yademáselcampo f (x, y) = (x,y) A F d es un potencial suyo. ondiciones equivalentes de campo conservativo. ea F : U R 2 R 2 un campo vectorial continuo en un conjunto U conexo y abierto. on equivalentes: 1. F es conservativo en U. A 2. F deriva de un potencial en U. 3. Para todo camino cerrado contenido en U ocurre que F d =0. ondición necesaria de campo conservativo. ea F : U R 2 R 2 un campo vectorial de clase 1 en un conjunto U conexo y abierto. i F es conservativo en U entonces F es irrotacional en U (rot (F )=0en todo U). ondición equivalente de campo conservativo para regiones convexas. ea F : U R 2 R 2 un campo vectorial de clase 1 en un conjunto U convexo yabierto.elcampof es conservativo en U si, y sólo si, F es irrotacional en U (rot (F )=0en todo U). 3

4 Nota. Todos los conceptos y resultados anteriores son aplicables a campos vectoriales en el espacio Teoremas vectoriales en el plano. Región simplemente conexa. e dice que la región U R 2 es simplemente conexa si es conexa y la región encerrada por cualquier curva de Jordan trazada en U está también contenida en U. i una región conexa no es simplemente conexa se denomina múltiplemente conexa. Teorema de Green para regiones simplemente conexas. ea una curva de Jordan y D la región encerrada por ella. i F : U R 2 R 2 es un campo vectorial plano de clase 1 en el abierto U de forma que D U entonces rot (F ) dxdy = F d, D + donde + representalacurvadejordanorientadapositivamente.if =(P, Q) la igualdad anterior la podemos escribir también como (Q x P y ) dxdy = Pdx+ Qdy. D + ondición equivalente de campo conservativo para regiones simplemente conexas. ea F : U R 2 R 2 un campo vectorial de clase 1 en unconjunto U simplemente conexo y abierto. El campo F es conservativo en U si, y sólo si, F es irrotacional en U (rot (F )=0en todo U). Región simplemente conexa Región multiplemente conexa Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas. ean, 1,..., p curvas de Jordan de forma que 1,..., p verifican las siguientes condiciones: 1. todas están contenidas en la región encerrada por, 2. son disjuntas dos a dos, 4

5 3. ninguna está contenida en la región encerrada por otra de ellas. ea D la región encerrada por la curva que es exterior a las curvas 1,..., p. i F : U R 2 R 2 es un campo vectorial de clase 1 en el abierto U de forma que D U entonces nx rot (F ) dxdy = F d F d, D + donde +, 1 +,..., p + representan la curvas de Jordan orientadas positivamente ntegrales de superficie. uperficies parametrizadas orientables. Una superficie es orientable cuandotienedoscaras,esdecircuandonoesposiblepasardeunladoalotrodela superficie(salvoentodocasoatravesandoelborde).i (u, v) con (u, v) D es una superficie orientable parametrizada regular a trozos entonces todos los vectores normales parten de la misma cara, a este sentido de los vectores normales le denominamos orientación de la superficie parametrizada. Por ello cuando se toma una parametrización de una superficie orientable queda determinada su orientación y se dice que está orientada. En lo que sigue se supondrán siempre superficiesorientablesaunquenoseindique. ntegral de superficie de un campo escalar. ea una curva parametrizada regular a trozos con parametrización (u, v) con (u, v) D. ea f : U R 3 R un campo escalar de forma que U y f es continuo en. Laintegral de superficie de f sobre la superficie se define como el número fd = f ( (u, v)) k u v k dudv. D Elvalordelaintegraldesuperficie es totalmente independiente de la parametrización tomada para. Propiedades de las integrales de superficie para campos escalares. ean f,g : U R 3 R dos campos escalares continuos en U y U una superficie parametrizada regular a trozos. 1. i α, β R entonces k=1 (αf + βg) d = α + k fd + β 2. i para todo (x, y) se verifica que f (x, y) g (x, y) entonces fd gd. 3. i = 1 2 disjuntas salvo quizás puntos del borde, entonces fd = fd + fd gd.

6 4. El área de la superficie coincide con la integral de superficie sobre del campo escalar constante igual a 1, esto es área () = d. ntegral de superficiedeuncampovectorial.ea una superficie parametrizadaregularatrozosconparametrización (u, v) con (u, v) D. ea F : U R 3 R 3 un campo vectorial de forma que U y F es continuo en. Laintegral de superficie de F (o flujo) sobre se define como el número F d = F ( (u, v)) ( u v ) dudv. D El valor de la integral de superficie depende de la orientación de la parametrización tomada para, es decir es independiente salvo por la orientación. Propiedades de las integrales de superficie para campos vectoriales. ean F, G : U R 3 R 3 dos campos vectoriales continuos en U y U una superficie parametrizada regular a trozos. 1. i α, β R entonces (αf + βg) d = α F d + β G d. 2. i representa la misma superficie pero parametrizada con orientación opuesta a la dada inicialmente entonces F d = F d. 3. i = 1 2, con las orientaciones dadas por, entonces F d = F d + F d Teoremas vectoriales en el espacio. Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera. ea una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde es una curva parametrizada regular a trozos. e dice que las parametrizaciones de y tienen orientaciones compatibles si el movimiento en la curva y los vectores normales a la superficie siguen la regla del sacacorchos. Teorema de tokes. ea una superficie parametrizada regular a trozos con parametrización (u, v) con (u, v) D ydemaneraqued sealaregiónencerrada por una curva de Jordan. upóngase que el borde de la superficie es una curva 6

7 parametrizadaregularatrozos. i F : U R 3 R 3 es un campo vectorial de clase 1 en el abierto U de forma que U entonces rot (F ) d = F d, donde y tienen parametrizaciones con orientaciones compatibles. Teorema de tokes Teorema de Gauss Teorema de tokes para superficies con un agujero. ea una superficie parametrizada regular a trozos con parametrización (u, v) con (u, v) D yde manera que D sea la región encerrada entre dos curvas de Jordan, una contenida en la región encerrada por la otra. upóngase que los bordes de la superficie son las curvas parametrizadas regulares a trozos 1 y 2. i F : U R 3 R 3 es un campo vectorial de clase 1 en el abierto U de forma que U entonces rot (F ) d = F d + F d, 1 2 donde las curvas 1, 2 tienen parametrizaciones con orientaciones compatibles con la superficie. uperficie cerrada: orientación. Una superficie parametrizada se dice cerrada cuando encierra un volumen. e dice que una superficie parametrizada cerrada tiene orientación interior cuando todos los vectores normales de la superficie apuntan hacia el interior del volumen encerrado. En caso contrario se dice que tiene orientación exterior. TeoremadeGaussodeladivergencia.ea una superficie parametrizada regular a trozos cerrada. ea V el volumen encerrado por. if : U R 3 R 3 es un campo vectorial de clase 1 en el abierto U de forma que V U entonces F d = div (F ) dxdydz, + V donde + representa la superficie tomada con orientación exterior. 7

8 Ejercicios de la lección. Ejercicio 1. alcula las siguientes integrales de línea para campos escalares. 1. x 2 yd,donde es la circunferencia unidad. 2. (x + y) d, donde es el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). 3. 2xy d, donde es la curva cerrada formada por las curvas y = x 2 y x = y 2. ½ ¾ x 4. (ye z + xz) d, donde 2 + y 2 + z 2 =1. y =0 5. zd, donde es el tramo de la hélice cónica (t cos t, t sen t, t) con t [0, 6π]. Ejercicio 2.alcula las siguientes integrales de línea para campos vectoriales. 1. ( y, x) d, donde es el tramo de la circuferencia unidad con y 0 y punto inicial en el (1, 0). 2. 2xy dx +(y 2 x 2 ) dy, donde es la cardioide r =1+cosθ orientada negativamente. 3. (x 2 2xy, y 2 2xy) d, donde es el arco de parábola y = x 2 que parte de ( 1, 1) y termina en (1, 1). ½ x + y =2 4. ydx+zdy+xdz, donde es la curva de ecuaciones x 2 + y 2 + z 2 =2(x + y) orientada negativamente cuando se observa desde el origen. ½ ¾ xy = z 5. ydx + zdy + xdz, donde es la curva de ecuaciones x 2 + y 2 =1 orientada positivamente cuando se observa desde el (0, 0, 1). ¾ Ejercicio 3. ea el campo vectorial µ y F (x, y) = x 2 + y, x. 2 x 2 + y 2 8

9 1. Encuentra el máximo abierto U donde F es de clase Demuestra que F es irrotacional en U. 3. alcula la integral de línea de F en la circunferencia unidad orientada positivamente. 4. Es F conservativo en U? Ejercicio 4. uáles de los siguientes campos son conservativos en todo su dominio? Encuentra, para aquéllos que lo sean, un potencial. 1. F (x, y) =(y, x). 2. F (x, y) =(3x 2 y, x 3 ). 3. F (x, y) =(2xy, x 2 +1). 4. F (x, y) =(x +seny y sen x, y +cosx + x cos y). 5. F (x, y, z) =(x + z, y z, x y). 6. F (x, y, z) =(2xyz + z 2 2y 2 +1,x 2 z 4xy, x 2 y +2xz 2). Ejercicio 5. ea el campo plano µ F (x, y) = sen (xy)+xy cos (xy)+by, x 2 cos (xy)+ con a, b R. x 0 e at2 dt 1. Encuentra a, b R para que F sea conservativo en todo su dominio. 2. Para los casos en que sea posible determina un potencial del campo. 3.alculalaintegraldelínea conservativo. (π,1) (0,0) F d para los casos en los que F sea Ejercicio 6. (egundo Parcial 04-05) ea F (x, y, z) =(2xyz, x 2 z,x 2 y) un campo vectorial. 1. Prueba que F es conservativo y halla un potencial suyo en R onstruye el campo escalar G (x, y, z) que determina la circulación de F desde el origen al punto (x, y, z). 9

10 3. alcula el punto de la curva, intersección del cilindro x 2 + y 2 = y con el plano z + y =1, donde G alcanza el valor máximo. Ejercicio 7. omprobar el teorema de Green para los siguientes casos: 1. Para F (x, y) =( y, x) con la elipse de semiejes a, b > 0 centrada en el origen. 2. Para F (x, y) =(y 2, 3xy) con la frontera de la región encerrada entre las circunferencia x 2 + y 2 =1y x 2 + y 2 =4en el primer cuadrante. Ejercicio 8. ea F (x, y) =(x 2 + y 2 y, 2xy) ylaregiónplana D = (x, y) R 2 :1 x 2 + y 2 2, 0 y 1,x 0 ª. Determina la integral doble rot (F ) dxdy de las siguientes formas: 1. directamente, 2. usando el teorema de Green. D Ejercicio 9. alcular las siguientes integrales de línea usando el teorema de Green. 1. (e x cos y + xy 2 ) dx (e x sen y + x 2 y) dy donde es el arco de lemniscata r 2 =cos(2θ) en el primer cuadrante con punto finalelorigendecoordenadas. 2. y2 2y + 9+x 3 dx+³5x + e dy donde es la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 =4orientada positivamente. Ejercicio 10. Prueba que si D es una región plana encerrada por una curva de Jordan entonces área (D) = ydx + xdy. Aplica la fórmula anterior para calcular el área encerrada por la elipse x2 a 2 +y2 b =1. 2 Ejercicio 11. (egundo Parcial 05-06) ea el campo vectorial ³ F (x, y) = cos (2xy) 2xy sen (2xy)+2xye x2y, 2x 2 sen (2xy)+x 2 e x2 y. ea la curva de Jordan = 1 2 orientada positivamente con 1 = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 =1,y 0 ª ¾ y 2 = ½(x, y) R 2 : x 2 + y2 4 =1,y 0. 10

11 1. Es F conservativo en R 2?Encasoafirmativo, halla una función potencial de F en R alcula directamente la integral donde G (x, y) =(x 2 + y 2 +1,y). (F + G) d 3. Halla la integral anterior usando el teorema de Green. Ejercicio 12. alcula las siguientes integrales de superficie paracamposes- calares. 1. (x 2 + y 2 + z 2 ) d donde es la porción de esfera x 2 + y 2 + z 2 =2z con z x 2 z 2 d donde es la porción de cilindro x 2 + y 2 =1con z (x 4 y 4 + y 2 z 2 z 2 x 2 +1)d donde = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2,z 0,x 2 + y 2 2x ª. Ejercicio 13. alcula las siguientes integrales de superficie para campos vectoriales. 1. (x, z, 0) d donde es la superficie cerrada con orientación exterior = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z,z 1 ª (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1,z =1 ª (x 2,y 2, 2z 2 ) d donde es la superficie del cubo [0, 1] [0, 1] [0, 1] con orientación exterior. (x, y, 0) d donde es la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 =1con z 0 y vectores normales alejándose del origen. Ejercicio 14. alcula directamente y usando el teorema de tokes las siguientes integrales. 11

12 3. ½ ¾ z = x 1. 3yz 2 dx+xz 2 dy+4xyzdz donde es la curva de ecuaciones 2 + y 2 y = x 2 + y 2 orientada positivamente si se observa desde el punto (0, 0, 1). 2. ydx +2xdy + zdz donde = 1 2 es la curva orientada negativamente ½ si se observa desde ¾ el origen½ formada en el primer ¾ octante por x 2 + y 2 + z 2 =1 x 1 (x 1) 2 + y 2 = z 2 y y 2 + z 2 =1. y =0 y 2 dx + dy + zdz donde es el borde de la porción del cono de ecuación (z 1) 2 = x 2 +y 2 en el primer octante orientada negativamente vista desde el origen. ½ ¾ x 4. xz 2 dx+(x 2y) dy+x 2 zdz donde es el tramo de 2 +(y 1) 2 =1 x 2 + y 2 + z 2 =4 con z 0 orientada positivamente vista desde el origen. 5. xdx + ydy + z 2 dz donde es el corte de la superficie = (x, y, z) R 3 :4x 2 +4y 2 = z 2,z [0, 4] ª con el plano y =1orientada positivamente. 6. ydx + x 2 dy + zdz donde es el borde de la porción de elipsoide de ecuación x 2 + y2 4 + z2 =1del primer octante con orientación negativa si se observa desde el origen. Ejercicio 15. (egundo Parcial 04-05) ea la superficie 1 = (x, y, z) R 3 : z 1= x 2 + y 2,z x 2 +(y 1) 2ª, orientada de forma que los vectores normales se alejan del origen. ea el campo vectorial F (x, y, z) =(xy, z 2,z). 1. alcula la integral rot (F ) d directamente Determina la integral anterior usando el teorema de tokes. 3. ea V el volumen V = (x, y, z) R 3 : z 1 x 2 + y 2,z x 2 +(y 1) 2ª. Hallalaintegral [rot (F ) +(x, y, z)] d mediante el teorema de Gauss donde es la frontera de V con orientación exterior. 12

13 Ejercicio 16. alcula directamente y usando el teorema de Gauss las siguientes integrales. 1. (x 2,y 2,z 2 ) d donde es la porción del cono x 2 + y 2 = z 2 para z [0, 1] con vectores normales sobre la cara que no mira al eje O. 2. (xz, yz, 1) d donde es la frontera del volumen interior a la esfera x 2 + y 2 + z 2 =25con z 3 usando orientación exterior. 3. (x 3,y 3,z) d donde es la porción de x 2 + y 2 =1para 0 z x +2 convectoresnormalessobrelacaraquenomiraalejeo. 4. (1 2y, 2y 2, 1+x 2 ) d donde es la porción de esfera x 2 +y 2 +z 2 =4 con z 0 usando orientación exterior. Ejercicio 17. omprueba el teorema de Gauss en las siguientes situaciones. 1. Para el campo vectorial F (x, y, z) =(z,y, x) yelvolumen V = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 2y, y 1 ª (x, y, z) R 3 : x 2 + z 2 1, 1 y 3 z ª. 2. Para el campo vectorial F (x, y, z) =(y, x, z 2 ) yelvolumen V = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 4,z 2 y ª. 3. Para el campo vectorial F (x, y, z) =(0,y,0) yelvolumen V = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z y ª. Ejercicio 18. ea F (x, y, z) =(1 y, 2y 2, 1+x 2 ) y = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 =1 z,z 0 ª. alcula la integral rot (F ) d, indicando la orientación escogida, de las siguientes formas: 1. directamente, 2. usando el teorema de tokes, 13

14 3. usando el teorema de Gauss. Ejercicio 19. (Junio 03-04) ean el campo vectorial F (x, y, z) =(x 1,x,z 2) ylasuperficie = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z,z 2x ª. 1. alcula directamente F d donde es el borde de con orientación positiva vista desde el punto (0, 0, 2). 2. Determina la integral anterior mediante el teorema de tokes. 3. Halla F d mediante el teorema de la divergencia. Ejercicio 20. (Junio 05-06) ea el campo vectorial F (x, y, z) =(xy,z,y). 1. alcula directamente F d donde es la curva intersección entre el paraboloide z = x2 2 + y2 4 y el cilindro x2 + y2 =1orientada positivamente 4 si se mira desde el origen. 2. Halla la integral anterior usando el teorema de tokes. 3. alcula F d mediante el teorema de la divergencia, donde es la frontera del volumen V = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1,x 2 + z 2 1 ª orientada exteriormente. 14