ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS.
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- Rocío Aguirre Santos
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1 ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1
2 Definición: Polinomio Sea K (Q, R ó C), n N {0}, y sean a 0, a 1,..., a n K. Se llama función polinomial o polinomio con coeficientes a 0, a 1,..., a n a la función p : K K que a cada x K le asigna el valor: p(x) = n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, i=0 El grado de un polinomio es el mayor valor n tal que a n 0. Se escribe gr(p) = n. Se denota por P(K) al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K. Por ejemplo, P(Q), P(R) ó P(C). 2
3 Observaciones y notaciones: a n se llama coeficiente principal y a 0 se llama término libre o independiente. Si a n = 1, el polinomio p se llama polinomio mónico. Si n = 0 y a 0 0, entonces p(x) = a 0 se llama polinomio constante y tiene grado cero. Se define el polinomio constante nulo, θ, por: θ(x) = 0 para todo x K. Se conviene que el polinomio nulo no tiene grado. Se define el polinomio constante unidad, 1, por: 1(x) = 1, para todo x K. 3
4 Igualdad de Polinomios: entonces Si p(x) = n a i x i y q(x) = i=0 m b i x i, i=0 p = q [gr(p) = gr(q) i = 0,..., n, a i = b i ]. 4
5 Definición : suma y multiplicación de polinomios. n m Sean p(x) = a i x i y q(x) = b i x i dos polinomios i=0 cualesquiera en P(K). Se definen las siguientes operaciones: i=0 Suma donde r =max{m, n}. p(x) + q(x) = r (a i + b i )x i, i=0 Multiplicación p(x) q(x) = m+n i=0 d i x i, con d i = i a k b (i k), i = 0, 1,..., m + n; gr(p q) = gr(p) + gr(q). k=0 5
6 Propiedades de la suma y el producto en P(K). p, q, r P(K) se tiene: S1). (p + q) + r = p + (q + r). S2). p + q = q + p. S3). θ P(K) : p + θ = p S4). p P(K) : p + ( p) = θ M1). (p q) r = p (q r) M2). p q = q p M3). 1 P(K) : p 1 = p N). p q = θ = p = θ q = θ D). p (q + r) = p q + p r Estas propiedades corresponden a una estructura de Anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero. 6
7 Observación: Como vemos, el conjunto de los polinomios tiene algunas propiedades en común con el conjunto de los números enteros. Además de las anteriores, veremos que: Si p, q P(K), entonces p q NO es un polinomio. se llama función racional y en general La división de polinomios es similar a la división de números enteros. También existe la noción de divisibilidad. Es posible extraer Mínimo Común Múltiplo y las funciones racionales se suman de manera similar a las fracciones. 7
8 Teorema. Si p, d P(K), gr(p) gr(d) y d θ, entonces existen únicos polinomios q, r P(K) llamados respectivamente cuociente y resto, tales que: p = qd + r, y (r = θ o gr(r) < gr(d)). Observaciones: Del teorema se tiene que p d = q + r d. Si r = θ, entonces decimos que q divide a p y que p es divisible por d. 8
9 Ejemplo Si p(x) = 6x + 4x 3 + 5x 4 x 2 y d(x) = x 2 + 1, se obtiene: q(x) = 5x 2 + 4x 6 y r(x) = 2x + 6. Regla de Ruffini. Si dividimos el polinomio p(x) = cuociente n a k x k por (x c), obtenemos un k=0 q(x) = q n 1 x n 1 + q n 2 x n q 1 x + q 0 de grado igual a n 1 y cuyo coeficiente principal es igual al coeficiente principal de p: q n 1 = a n. Además, el resto que se obtiene es un polinomio de grado 0 (e.d., constante). 9
10 Definición. Sean p P(K) y c K, se dice que c es una raíz o cero de p si p(c) = 0. Es decir, si: p(c) = n a i c i = a 0 + a 1 c + a 2 c a n c n = 0. i=0 10
11 Teorema del resto. El resto de dividir p P(K) por (x c) es p(c). Teorema del factor. es decir, c es raíz de p p es divisible por (x c), p(c) = 0 q P(K), x K, p(x) = q(x)(x c). 11
12 Definición. Sea k N el mayor natural tal que (x c) k divide a p. Es decir existe q P(K) no divisible por (x c) tal que x K, p(x) = q(x)(x c) k. En tal caso decimos que c es una raíz de multiplicidad k. Si k = 1 se dice que c es una raíz simple. La suma de las multiplicidades de todas las raíces de p es menor o igual que gr(p). Un polinomio p tiene a lo más gr(p) raíces distintas. Si un polinomio p(x) de grado n con coeficientes complejos es igual a cero para más de n valores de x distintos, entonces el polinomio es idénticamente nulo. Si dos polinomios p y q de grado n coinciden en n + 1 puntos distintos, entonces p = q. 12
13 Definición. Polinomios reducibles e irreducibles. Un polinomio p se dice reducible en P(K) si existen dos polinomios q, s P(K), con gr(q) 1, gr(s) 1, tales que p = qs. En caso contrario se dice que p es irreducible o primo en P(K). Por ejemplo, p(x) = x es reducible en P(C) y es irreducible en P(R) y en P(Q). Los polinomios de grado 1, p(x) = a 0 + a 1 x, son todos irreducibles en P(K). 13
14 Teorema. Sea p P(C) con coeficientes complejos reales, y z = a + bi C (con a, b R y b 0). Si p(z) = 0, entonces p(z) = 0 y existe q P(R) tal que p(x) = [(x a) 2 + b 2 ]q(x), x R. 14
15 Localización de raíces. Si p P(R) tiene grado impar, entonces p tiene al menos una raíz. Si a + b es raíz de p P(R), con coeficientes racionales, a, b Q y b es irracional, entonces a b también es raíz de p. Regla de Descartes. El número de raíces reales positivas (negativas) de un polinomio p P(C), con coeficientes complejos reales es menor o igual que el número de cambios de signo de los coeficientes de p(x) ( de p( x)) y difiere de él en un número par. Ejemplo. p(x) = x 4 x 3 2x 1 tiene una raíz real positiva, una negativa y dos complejas conjugadas. 15
16 Observaciones. Dado p P(K), y a K, los polinomios p y ap tienen las mismas raíces. Si p P(Q) y a es múltiplo común de los denominadores de los coeficientes de p, entonces ap tiene coeficientes enteros. Teorema. Raíces racionales. n Sea p(x) = a i x i un polinomio con coeficientes en Z y sea a una raíz b i=0 de p con a, b Z primos relativos, entonces a divide a a 0 y b divide a a n. Corolario. Si p es mónico, entonces sus raíces racionales son enteros divisores de a 0. 16
17 Ejemplo Descomponer en factores irreducibles en P(R) y en P(C), p(x) = x 6 1. Solución p(x) = x 6 1 = (x 3 1)(x 3 + 1) = (x 1)(x 2 + x + 1)(x + 1)(x 2 x + 1). Como x 2 + x + 1 y x 2 x + 1 tienen raíces complejas. Así p(x) = (x 1)(x 2 + x + 1)(x + 1)(x 2 x + 1) está descompuesto en factores irreducibles en P(R) y p(x) = (x 1) x 1 +! 3i 2 x 1! 3i (x+1) x 1 +! 3i 2 2 x 1! 3i 2 está descompuesto en factores irreducibles en P(C). 17
18 Ejemplo Encuentre todas las raíces de p(x) = x x x x3 33 x x 2 Solución Para poder encontrar las raíces racionales es necesario que el polinomio sea a coeficientes enteros, entonces multiplicamos por 8 y buscamos las raíces de q(x) = 8 x 6 12 x 5 90 x x x x 16. q tiene 5 cambios de signo, luego tiene una, tres o 5 raíces positivas y tiene exactamente una raíz negativa. { Las posibles raíces racionales son ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ± 1 } 2, ±1 4, ±
19 Hacemos la división sintética de q por (x + 4): De aquí x = 4 es la raíz negativa y como q(x) = (x + 4)(8 x 5 44 x x 3 73 x x 4) las posibles raíces racionales restantes son: { 1, 2, 4, 8, 16, 1 2, 1 4, 1 }. 8 Repitiendo el proceso se obtiene que las raíces positivas son: x = 2 con multiplicidad 2 y x = 1 2 con multiplicidad 3. 19
20 Descomposición en Suma de Fracciones Parciales. Si p, q P(R), con gr(p) < gr(q) y q θ. Entonces la función racional p puede descomponerse en sumas de fracciones cuyos denominadores q son polinomios obtenidos de la factorización de q en polinomios irreducibles en P(R), de la siguiente forma: I) por cada factor lineal con potencia n, (ax + b) n, se obtienen los sumandos: A 1 (ax + b) + A 2 (ax + b) A n (ax + b) n. 20
21 II) por cada factor cuadrático irreducible en P(R), con potencia m, (ax 2 + bx + c) m, se obtienen los sumandos: A 1 x + B 1 (ax 2 + bx + c) + A 2 x + B 2 (ax 2 + bx + c) A mx + B m (ax 2 + bx + c) m. Si p, q P(R), con gr(p) gr(q) y q θ. el cuociente Q y el resto R de la división p q Entonces podemos calcular, tales que: p q = Q + R q, gr(r) < gr(q), y aplicar el procedimiento anterior a R q. 21
22 Ejemplo 1. Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales Solución 3x + 6 (x 2)(x + 4) Los factores del denominador son lineales diferentes De aquí A = 2 y B = 1, es decir, 3x + 6 (x 2)(x + 4) = A x 2 + B x + 4 3x + 6 (x 2)(x + 4) = 2 x x
23 Ejemplo 2. Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales 6x 2 14x 27 (x + 2)(x 3) 2 Solución El denominador tiene el primer factor lineal no repetido y el segundo lineal repetido 6x 2 14x 27 (x + 2)(x 3) 2 = A x B x 3 + C (x 3) 2. De aquí A = 1, B = 5 y C = 3, es decir, 6x 2 14x 27 (x + 2)(x 3) 2 = 1 x x 3 3 (x 3) 2 23
24 Ejemplo 3. Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales Solución 5x 2 8x + 5 (x 2)(x 2 x + 1) El denominador tiene el primer factor del denominador lineal y el segundo, es irreducible en los números reales 5x 2 8x + 5 (x 2)(x 2 x + 1) = A x 2 + Bx + C x 2 x + 1. De aquí A = 3, B = 2 y C = 1, es decir, 5x 2 8x + 5 (x 2)(x 2 x + 1) = 3 x 2 + 2x 1 x 2 x
25 Ejemplo 4. Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales x 3 4x 2 + 9x 5 (x 2 2x + 3) 2 Solución x 3 4x 2 + 9x 5 (x 2 2x + 3) 2 = Ax + B x 2 2x De aquí A = 1, B = 2, C = 2 y D = 1, es decir, Cx + D (x 2 2x + 3) 2 x 3 4x 2 + 9x 5 (x 2 2x + 3) 2 = x 2 x 2 2x x + 1 (x 2 2x + 3) 2 25
26 Ejemplo 5. Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales x 3 7x x 17 x 2 5x + 6 Solución x 3 7x x 17 x 2 5x + 6 = x 2 + x 5 x 2 5x + 6 y Luego x 5 x 2 5x + 6 = x 5 (x 2)(x 3) = 3 x 2 2 x 3. x 3 7x x 17 x 2 5x + 6 = (x 2) + 3 x 2 2 x 3. 26
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