Parte I. Problemas Propuestos

Transcripción

1 3 Prte I Problems Propuestos

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3 5 CAPÍTULO 1 Electrostátic 1. Cálculo de Cmpo/Potencil Eléctrico por Definición Z Problem 1.1 Csquete Semiesférico Un disco de rdio complet un csquete semiesférico de rdio. Ambs superficies tienen densidd de crg uniforme σ. Clcule el cmpo eléctrico en un punto 2 sobre el eje Z. s Hint: [ ] d r z cos(x) (z r cos x) sin x dx z 2 = r 2 2rz cos x + z 2 (r 2 sin 2 x + (z r cos x) 2 ) 3 2 Disco s Y X Problem 1.2 Q Un nillo de rdio 0 tiene un crg Q positiv, l cul está distribuid de mner uniforme sobre el nillo, como se ilustr en l figur. Considere un crg puntul de crg negtiv q (q < 0) y ms m, l cul es depositd en reposo sobre el eje centrl del nillo cerc del centro representdo por el punto A, demás l crg está soldd un resorte idel de constnte elástic k 0 y lrgo nturl cero con extremo fijo en el punto A. Clcule l frecuenci de oscilción prtícul puntul. Indicción: Considere que l prtícul se mueve sobre el eje centrl del nillo. 0 k 0 A q

4 6 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA Problem 1.3 Un densidd de crg linel λ está reprtid de form homogéne lo lrgo de un semicircunferenci BD centrd en C y de rdio. Un crg puntul q está ubicd en punto A como se indic en l Figur 1 (CA = ). ) Clcule el potencil eléctrico en el punto C, V (C). b) Por rgumentos de simetrí, determine l dirección del cmpo eléctrico E(C). Clcule E(C). c) Determine l relción entre λ y q tl que E(C) = 0 Problem 1.4 Se tienen dos nillos coxiles del mismo rdio,, contenidos en plnos prlelos y seprdos entre sí un distnci L. Uno de los nillos tiene densidd de crg uniforme +λ y el otro λ. ) Clcule el cmpo eléctrico en el eje común de los nillos, o se en el eje O O en l figur. b) Clcule l diferenci de potencil entre los centros O y O de los nillos. Profs. D. Es 12 de Septiembre d l P1. Se tienen dos nillos coxiles del mismo rdio, contenidos en plnos prlelos y seprdos entre sí un distnci L. Unodelosnillostienedensidddecrg uniforme λ yelotro λ. B) (4 puntos) C Clcule el cmpo D eléctrico en el e común de los nillos, o se el eje O O en l figu 1. L b) (2 puntos) Clcule l diferenci de potencil ent los centros A Oq y O de los nillos. } O O } + λ λ Problem 1.5 Un lmbre semi-infinito crgdo yce sobre el semieje positivo x. El lmbre posee un densidd linel homogéne λ 0. ) Determine el vlor del cmpo eléctrico en el punto A de l figur el cul está ubicdo sobre el eje y un distnci del origen. b) Determine el vlor del cmpo eléctrico en el punto B de l figur el cul está ubicdo sobre el eje x un distnci del origen. Problem 1.6 ( ) Considere un lmbre muy delgdo como el de l figur, éste est compuesto por dos rects infinits y un rco de circulo de 135. El lmbre tiene un densidd linel de crg λ constnte. Encuentre el cmpo producido en el punto P. B Figur 1: Pr y de nillos coxiles y prlelos, con crg opuests, del problem 1. A P2. Un densidd de crg ρ = Cr λ,dondeλ 0, ll n el espcio interior definido por un esfer de rdio centrd en el origen. ) (1 punto) Clcule l crg totl de l esfer Q. O l 0 b) (3 puntos) Clcule el cmpo eléctrico en todo el e pcio. l c) (2 puntos) Determine el potencil pr todo r, e función de l crg Q de l esfer. P3. Considere dos conductores esféricos concéntricos d rdio y b 135>. PElconductorexteriorestáconectdo tierr y el conductor interior está potencil V 0. x utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun

5 1. CÁLCULO DE CAMPO/POTENCIAL ELÉCTICO PO DEFINICIÓN 7 Problem 1.7 Considere un plno infinito con crg superficil σ > 0. El plno contiene un orificio circulr de rdio en su superficie. ) Clcule el cmpo eléctrico en culquier punto del eje z. b) A lo lrgo del eje del orificio se coloc un líne de crg de lrgo, densidd linel λ > 0 y cuyo punto más próximo se encuentr un distnci d del centro del orificio. Clcule l fuerz de repulsión que experiment l líne de crg. s d l z Problem 1.8 Clcule el cmpo eléctrico credo por un cono mcizo de ltur h y semi ángulo α, uniformemente crgdo un densidd volumétric de crg ρ 0 en su vértice. h r 0 Problem 1.9 L contminción por compuestos químicos de un lgo de form circulr h dejdo su densidd superficil de crg que, expresd en coordends polres se puede escribir como σ(r) = σ 0 3 (r ) 3 2 donde y σ 0 son constntes conocids. Aquí el origen de coordends es el centro del lgo. Se pide: ) Determine el cmpo eléctrico que fectrá l vid en el lgo. Supong que puede estimr el dño clculndo sólo l componente z del cmpo debid l densidd superficil de crg. b) Supong que debido est contminción, un pez dquiere un crg Q. Determine el trbjo electrostático que debe efectur el pez pr llegr l centro del lgo si se encontrb ndndo un distnci profundidd. Hint: [ ] d ( 2 + 2r 2 + z 2 ) dr ( 2 z 2 ) r = ( 2 + r 2 )(z 2 + r 2 ) (( 2 + r 2 )(z 2 + r 2 )) 3 2 s(r) z Versión β1.0 - Primver 2014 FCFM - UChile

6 8 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA V? Problem 1.10 ( ) Considere un cono de ltur h y rdio bsl h. L superficie (mnto) del cono está crgd uniformemente con un densidd σ 0. Clcule el potencil en el centro de l bse del cono. h h z s = s(q) Problem 1.11 Clculr el cmpo electrostático que gener un csquete esférico de centro O y rdio que port un densidd superficil de crg σ = σ 0 cos θ (en coordends esférics) en su mismo centro. O q x Problem 1.12 Dos distribuciones de crg uniformes lineles rects de lrgos AB = l 1 y CD = l 2 se encuentrn ubicds con sus extremos B y C distnci l. Cd un posee densidd de crg linel constnte λ 1 y λ 2 respectivmente. y ) Cuál es l fuerz de Coulomb entre ls dos distribuciones de crg?. b) Muestre que pr l l 1, l l 2 el resultdo nterior se reduce l fuerz entre dos crgs puntules. l 1 l 2 l 1 l l 2 x Problem 1.13 ( ) En un primer proximción, un montñ puede ser modeld como un cono de ltur h y semi ángulo α de ms totl M distribuid uniformemente. Geofísicos hn determindo que l grvedd en su cim tiene un vlor g 1 = g 1 ẑ l cul está un distnci h sobre el nivel suelo. Los mismos científicos sben que si l montñ no existiese el cmpo grvitcionl terrestre en el mismo punto serí g 0 = g 0 ẑ. Determine g = g 1 g 0. (Hint: Puede ser útil el Problem??) h z utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun

7 2. LEY DE GAUSS 9 2. Ley de Guss Problem 2.1 C Electromgneti Prof. M Auxilires: Dphne Tiemp Un distribución de crg esféric ρ se extiende desde PACS numbers: r = 0 r =, con ( ) ρ = ρ 0 1 r2 I. CABLE COAXIAL 2 Considere un cble coxil infinito y rectilíneo, el cu Clculr: est compuesto por un cilindro centrl y diferentes c ) L crg totl Q. quetes cilíndricos, de rdios 1, 2, 3 y 4 respect vmente, como se ilustr en l figur. Cd mteri b) El cmpo eléctrico en todo el espcio. tiene respectivmente un densidd de crg volumétric 1, 2, 3 y 4 (Ver figur). c) El potencil eléctrico en todo el espcio. Problem 2.2 Considere un cble coxil infinito y rectilíneo, el cul está compuesto por un cilindro centrl y diferentes csquetes cilíndricos, de rdios 1, 2, 3 y 4 respectivmente, como se ilustr en l figur. Cd mteril tiene respectivmente un densidd de crg volumétric ρ 1, ρ 2, ρ 3 y ρ 4 (Ver Figur). En el cso que el cilindro y segundo csquete cilíndrico (de rdio 3 ) tienen densidd de crg cero (ρ 1 = ρ 3 = 0). Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio ,ρ 4 2,ρ 2 3,ρ 3 =0 1,ρ 1 =0 FIG. 1: Cble coxil. Problem 2.3 En el cso que el cilindro y segundo csquete cilídric Se tiene un plc infinit no conductor de (de espesor rdio 3 ) tienen densidd de crg cero ( 1 = 3 desprecible l cul posee un densidd superficil 0), Encuentre de el cmpo eléctrico en todo el espcio. crg σ, y continu ell, un bloque infinito de espesor s D con un densidd de crg uniforme +ρ. Tods ls crgs están fijs. Clcule l dirección y l mgnitud del cmpo eléctrico: ) un distnci h encim de l plc crgd negtivmente. +r D b) dentro del bloque un distnci d debjo de l plc crgd negtivmente (d < D). c) un distnci H bjo fondo del bloque. FIG. 2: representción de átomo Versión β1.0 - Primver 2014 FCFM - UChile [1] Indicción Considere que l prtícul se mueve sobre el e centrl del nillo.

8 10 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA Problem 2.4 Considere l siguiente distribución de volumétric de crg en coordends esférics { nρ 0 < r < ρ(r) = ρ r b r nr b Donde ρ es un constnte y n es un entero no negtivo. Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio. Problem 2.5 Considere dos plcs prlels crgds con densiddes +σ y σ de ncho d como muestr en l figur. Se rroj un crg +q horizontlmente por el espcio entre ls plcs con un velocidd v x. Desprecindo efectos de borde, encuentre l tryectori seguid por l prtícul crgd y el ángulo que hce su vector de velocidd con l horizontl en el momento de slir. Asum que l seprción de ls plcs es suficiente pr que l crg pued slir de ells. s v x ˆx +s d z Problem 2.6 Considere un esfer mciz de rdio y crg Q. Determine el flujo de cmpo eléctrico sobre el cudrdo de ldo mostrdo en l Figur. y x Problem 2.7 Considere un esfer mciz de densidd de crg ρ 0 y rdio l cul posee un perforción esféric de rdio < 2 un distnci de d entre sus centros. Demuestre que el cmpo eléctrico es constnte en culquier punto dentro de l cvidd y determine su vlor. O ~d O 0 utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun

9 2. LEY DE GAUSS 11 Problem 2.8 ( ) () r y +r Considere dos cilindros infinitos de rdios 0 los cules poseen sus ejes prlelos l eje z (entrn y slen de l hoj de ppel). Los densiddes de crg volumétrics de los cilindros son ρ y ρ y sus ejes centrles psn por los puntos (x 0, 0) y ( x 0, 0), respectivmente.. x 0 x 0 0 x Considerndo que x 0 < 0, determine: ) El cmpo eléctrico en l zon de intersección. (b) y s(q) b) Si x 0 0, mbos cilindros quedn infinitesimlmente cerc, crendo un único cilindro equivlente de rdio 0 con un densidd de superficil de crg σ(θ). Encuentre el vlor de es densidd. Cilindro Equivlente (x 0 0 ) q x Problem 2.9 Dentro de un esfer de rdio centrd en el origen hy un cmpo eléctrico E(r ) = E ( 0 r ) 2 ˆr ɛ 0 Pr r > hy vcío. Se pide determinr ) L distribución de crg ρ(r) pr r. b) El cmpo E y el potencil eléctrico pr r > c) El potencil eléctrico V (r < ). r(r)? Problem 2.10 Un cilindro infinito de rdio tiene su eje coincidente con el eje z. El cilindro posee un densidd volumétric ρ(r) = r donde es un constnte positiv y r es l distnci desde el eje del cilindro. ) Clcule l crg contenid en un cilindro centrdo en el eje z, de rdio r y ltur h pr los csos r < y r >. b) Determinr el cmpo eléctrico E(r) en todo el espcio. c) Clculr el potencil eléctrico V (r) en todo el espcio. Tome como referenci V (r = 0) = 0. r(r)= r z d) Grfique E(r) y V (r) en función de r. Versión β1.0 - Primver 2014 FCFM - UChile

10 12 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA Problem 2.11 Considere un cble infinito crgdo con un densidd linel de crg λ 0 roded por un csquete cilíndrico infinito de rdio de densidd superficil homogéne σ 0. Si l densidd linel coincide con el eje del cilindro, determine: ) El cmpo eléctrico en todo el espcio, es continuo el cmpo eléctrico?. b) El potencil eléctrico en todo el espcio, es continuo el potencil eléctrico?. (Use como referenci V (r = ) = 0) s 0 l 0 c) Si el lmbre se desplzr un distnci δ del eje del cilindro, cómo determinrí el nuevo vlor del cmpo eléctrico?. Problem 2.12 Use el teorem de Guss pr encontrr el cmpo eléctrico debido un distribución de crg ρ = ρ 0 e k z con ρ 0 y k constntes positivs. ) Muestre que el cmpo es de l form E = (0, 0, E(z)), con E( z) = E(z) pr z > 0. b) Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio. z r(z) l Problem 2.13 ( ) Se tiene un fuente crgd que consiste en un rect infinit crgd, con densidd uniforme λ y un plno infinito crgdo con densidd de crg uniforme σ. L rect form un ángulo gudo 2α con el plno. Considere un punto P está un ltur h sobre el plno. Determine ) El cmpo eléctrico totl en un punto P sobre l rect que bisect l ángulo entre l rect y el plno. s Q () Vist Isométric P h b) El trbjo necesrio pr mover un crg puntul q 0 desde el punto P hst el punto Q el cul está ubicdo un distnci h 2 sobre el plno. Q h 2 P h s (b) Vist Frontl utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun

11 3. CONDUCTOES, CONDENSADOES Y ENEGÍA Conductores, Condensdores y Energí Problem 3.1 ) Clcule l fuerz eléctric que ctú sobre ls plcs de un condensdor de plcs plns, crgdo con crg Q. b) Considere que l crg Q sobre ls plcs del condensdor se mntiene y que su cpcidd es C. Clcule el trbjo que se reliz l llevr ls plcs l mitd de l distnci originl, mnteniendo l crg constnte. c) Este nuevo condensdor se conect en prlelo con otro condensdor inicilmente descrgdo e igul l condensdor de l prte (). Clcule l diferenci de potencil entre ls plcs del condensdor equivlente. Q +Q Problem 3.2 Se dese diseñr un condensdor esférico prtir de un csquete conductor esférico de rdio exterior, que se cpz de lmcenr l myor cntidd de energí posible, sujeto l restricción que el cmpo eléctrico en l superficie de l esfer conductor interior, concéntric con el csquete y de rdio b <, no pued exceder un vlor ddo E 0. Clcule, en función de E 0, y constntes, el vlor que debe tener el rdio b y l mgnitud de l energí que puede lmcenr el conductor. b l Problem 3.3 Un lmbre infinito tiene un distribución linel de crg λ > 0. El lmbre se encuentr ubicdo en el centro de un superficie cilíndric conductor infinit muy delgd de rdio conectd tierr como se muestr en l Figur. ) Encuentre l densidd de crg superficil inducid σ en l superficie interior conductor. b) Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio. c) Encuentre el potencil eléctrico en todo el espcio. Versión β1.0 - Primver 2014 FCFM - UChile

12 14 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA Problem 3.4 Se tienen dos esfers conductors de rdio 1 y 2 seprds entre si un distnci suficientemente grnde que segur que culquier crg sobre ells se distribuye uniformemente, sin que l presenci de un esfer fecte l otr. Se dese distribuir un crg Q entre ls dos esfer de mner que l energí potencil electrostátic del sistem de ls dos esfers se mínim. Clrmente, en un esfer hbrá Q q y en l otr q. Cuánto vle q, cuál es energí totl y cuál es el potencil de cd esfer cuándo se lcnz l condición de energí mínim?. 1 Muy Lejos 2 Problem 3.5 Un esfer metálic se encuentr inicilmente descrgd. Ahor imgine que un crg positiv q es colocd en lgún lugr (no necesrimente el centro) dentro de l esfer y sin tocr ls predes. ) Qué crg se induce en l pred interior y exterior de l esfer?. Indicr culittivmente l concentrción de densidd de crg inducid. b) Supong que se mueve l crg q dentro de l cvidd. Cmbi l distribución en l superficie exterior de l esfer?. q Conductor c) Ahor se coloc un crg q en contcto con l superficie interior de l esfer. Cómo qued l distribución de crg en l superficie interior y exterior?. d) Qué sucede si hor se cerc otr crg q cerc de l superficie exterior del conductor?. Problem 3.6 Un ión es celerdo desde el reposo hst un diferenci de potencil V 0 pr luego entrr en un región entre dos electrodos cilíndricos muy lrgos A y B, de rdios y b respectivmente ( < b). El ión recorre un medi circunferenci de rdio r 0 hciendo un tryectori circulr. Desprecindo efectos de borde y sumiendo que los cilindros son muy lrgos en comprción l espcio que los sepr, encuentre l diferenci de potencil V BA. B A V = 0 V = V O Fuente de Iones r 0 b utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun

13 3. CONDUCTOES, CONDENSADOES Y ENEGÍA 15 Problem 3.7 Uno de los primeros modelos de átomo, como un ente compuesto de prtes crgds, lo propuso el descubridor del electrón Joseph John Thomson en Este modelo, tmbién conocido como el modelo del pstel de fress, concibe l átomo como un esfer de crg positiv, en l cul están incrustdos los electrones. En el espíritu del modelo del pstel de fress, modelemos un átomo de hidrogeno (en equilibrio estático) como un esfer de rdio 1 de crg negtiv e uniformemente distribuid en su volumen (el electrón fres), roded de un esfer más grnde (concéntric l primer), de rdio 2 > 1, con crg positiv +e uniformemente distribuid en el volumen comprendido entre 1 y 2. Determine l energí de formción de este átomo (i.e. el trbjo necesrio pr formrlo tryendo ls crgs desde el infinito) Problem 3.8 ( ) Considere dos esfers conductors de rdios y b. Ls esfers están lo suficientemente lejos un de otr como pr desprecir su intercción, (i.e. el equilibrio electroestático de un esfer no se ve fectdo por el cmpo que gener l crg contenid en l otr). ) Supong que ls esfers tienen crgs Q 1 y Q 2, respectivmente. Ls esfers se ponen en contcto medinte un cble lo suficientemente lrgo, el cul posee un interruptor. Se conectn ls dos esfers y se esper hst que el sistem lcnce el equilibrio electroestático, pr luego desconectr el interruptor. Determine l crg que posee cd esfer luego que se desconect el interruptor. Qué esfer qued con myor crg?. b) Considere hor que ls esfers están descrgds y desconectds. Supong hor que l distnci que sepr ls esfers es d, b desde sus centros. Considerndo que dos conductores culesquier pueden formr un cpcitor, determine l cpcitnci de est configurción. Interruptor b Versión β1.0 - Primver 2014 FCFM - UChile

14 16 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA Problem 3.9 Considere un esfer mciz conductor de rdio se encuentr un potencil V 0 en tod su superficie con respecto l infinito. L esfer est recubiert por un csquete esférico conductor de rdio interno b y rdio externo c. ) Determine el cmpo eléctrico y el potencil eléctrico en todo el espcio. Además encuentre ls densiddes de crg inducids en los conductores. b) Si el csquete esférico se conect tierr, cómo cmbin sus respuests nteriores?. b c Problem 3.10 Un crg +Q se encuentr insert en un lmbre conductor de lrgo L y rdio 0 muy pequeño. Un cscrón cilíndrico conductor neutro de rdios interno 1 y externo 2 y lrgo L es ubicdo simétricmente lrededor del lmbre (ver figur). Tener en cuent que: 0 1, 2 L. Clcule: ) L densidd linel de crg λ del lmbre. b) L densidd superficil de crg en l cp intern y extern del cscrón; y l densidd volumétric de crg dentro del conductor. c) El cmpo eléctrico en todo el espcio. Ahor deposite un crg Q en el cscrón cilíndrico, clcule: d) Ls nuevs densiddes de crg superficiles en ls cps intern y extern del cscrón, y tmbién l densidd volumétric dentro de éste. e) El nuevo cmpo eléctrico en todo el espcio. f) L diferenci de potencil entre el cilindro y el lmbre V = V cilindro V lmbre. g) L cpcidd (o cpcitnci) del sistem. h) L energí lmcend en el sistem. i) L cpcidd C si hor el lmbre tiene crg +2Q y el cscrón tiene crg -2Q utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun

15 3. CONDUCTOES, CONDENSADOES Y ENEGÍA 17 A B Problem 3.11 Considere dos condensdores cilíndricos como se indicn en l figur. Los condensdores tienen rdios 1 y 2 (condensdor izquierdo) y el de l derech 3 y 4 (condensdor derecho), determine l cpcitnci equivlente en A y B. Considere que 1, 2, 3, 4 L L Problem 3.12 Un esfer mciz de rdio y crg Q uniformemente distribuid es blindd por un cp conductor de espesor uniforme. L crg net de l cp es nul. Clcule y grfique el potencil φ(r) en todo el espcio. Considere φ nulo infinitmente lejos de l esfer. Q 2 Problem 3.13 ( ) Un bloque mcizo infinito en sus coordends x e y, posee su espesor entre z = y z =. En el espcio existe un densidd de crg dd por ρ(z) = ( ρ 0 [exp z + δ ) 0 ( )] z > z + exp z δ z con ρ 0 y δ constntes positivs conocids. ) El cmpo eléctrico en todo el espcio. b) Si δ, determine nuevmente el cmpo eléctrico en el espcio qué tipo de comportmiento present el mteril?. Justifique su respuest. Dibuje ls línes de cmpo en l próximidd del mteril considerndo l proximción. r(z) z = z = y c) Usndo el cmpo eléctrico clculdo en b) determine el potencil electrostático en todo el espcio. Use como referenci V (z = ) = V 0. Dibuje clrmente ls superficies equipotenciles. Versión β1.0 - Primver 2014 FCFM - UChile

16 18 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA 4. Ecución de Lplce/Poisson y Método de ls Imágenes Problem 4.1 Un lámin no conductor coincide con el plno xy. Ls únics crgs en el sistem están sobre l lámin. Se sbe que en el semiespcio z > 0 el potencil es V (x, z) = V 0 e kz cos kx, donde V 0 y k son constntes. ) Verifique que este potencil stisfce l ecución de Lplce en el semiespcio z > 0. b) Encuentre l ecución pr ls línes de cmpo eléctrico z y c) Encuentre l distribución de crg sobre l lámin. x Problem 4.2 Considere l configurción mostrd en l Figur, l cul consiste en dos plnos infinitos conectdos tierr ubicdos en x = b y x = b, y bloque infinito con un densidd de crg volumétric constnte ρ que ocup el espcio entre x [, ]. Usndo l ecución de Lplce y Poisson, determine el potencil eléctrico entre ls dos plcs. b + +b r x Problem 4.3 Considere dos condensdores formdo por dos csquetes esféricos conductores concéntricos de rdios 1, 2,ρ 1,ρ 2 respectivmente. Cd conductor en su polo sur tiene un pequeñ perforción pr conectr el csquete inferior (ver figur). Si propidmente se conect cbles los csquetes exteriores y los interiores, como se ilustr en l figur, encuentre usndo l ecución de Lplce l cpcitnci del condensdor entre los puntos A y C. A 1 2 r 1 r 2 C utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun

17 4. ECUACIÓN DE LAPLACE/POISSON Y MÉTODO DE LAS IMÁGENES 19 Problem 4.4 Considere un plno conductor z = 0, conectdo tierr y frente l cul se h colocdo un crg q en el punto x = 0, y = 0, z = h. ) Clcule l densidd de crg sobre el plno. Exprese su resultdo en función de l distnci del origen un punto culquier sobre el plno. h Z q b) Clcule l crg encerrd en un disco de rdio d dibujdo sobre el plno conductor con centro en el origen. Pr qué vlor de d l crg encerrd pro el disco es q 2?. c) Clcule el trbjo que es necesrio relizr pr llevr un crg q desde x = 0, y = 0, z = h hst x = 0, y = 0, z = 2h, en presenci del plno conectdo tierr. X Y Problem 4.5 Considere un csquete esférico crgdo de rdio y con un densidd de crg superficil σ. Si el centro del csquete esférico se sitú un distnci horizontl y verticl b con respecto un plno conductor infinito dobldo en 90 o. Encuentre l densidd de crg σ x y σ y sobre los ejes y bosqueje su form proximd. b +s Problem 4.6 ( ) d Considere un crg puntul q, l cul es colocd en l bisectriz de dos conductores ideles plnos que formn un ángulo de 45 o grdos (ver figur). Si l crg tiene un un distnci d los conductores, encuentre l form del potencil electrostático entre los conductores. 45 d q Versión β1.0 - Primver 2014 FCFM - UChile

18 20 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA Q Problem 4.7 ( ) Un crg puntul q se h puesto un distnci d del centro de un esfer mciz metálic. Si l esfer posee un crg net Q, determine l fuerz que siente l crg q. d q Problem 4.8 ( ) En un túnel minero existe un cble que trvies tod su longitud, un distnci d del techo del túnel. El túnel puede ser modeldo como un cilindro infinito de rdio, de modo que el cble se mntiene siempre prlelo l eje imginrio del túnel. En cierto instnte, el cble dquiere un densidd de crg linel +λ en tod su extensión. d ) Encontrr un expresión pr el potencil V (r, θ) dentro del túnel, en términos de r y θ (coordends polres). q b) Determinr l densidd de crg σ(θ) en l pred del túnel. c) Cuál es l crg totl por unidd de longitud inducid en l pred del túnel? d) Cuál es l fuerz por unidd de lrgo que siente el cble? Problem 4.9 q Un crg puntul q se h puesto un distnci d del centro de un esfer mciz metálic. Si l esfer se encuentr conectd un bterí de potencil V 0, determine l fuerz que siente l crg q. V 0 + d utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun

19 4. ECUACIÓN DE LAPLACE/POISSON Y MÉTODO DE LAS IMÁGENES 21 Problem 4.10 Considere un guí de ond, l cul es un tuberí metálic de sección rectngulr de ncho y lto b. Ls plc inferior y lterles están conectds tierr, es decir, potencil cero. L plc metálic superior tiene un tensión periódic de período 2πn (donde n es un número entero), V (x, y = b) = V 0 cos( 2πn x), V 0 d cuent de l intensidd de l tensión. Encuentre l tensión l interior, V (x, y). y x 2p V = V 0 cos x b V = V 0 + Problem 4.11 Se tiene un guí rectngulr infinit de ldos y b, compuest por cutro lámins plns conductors. Dos de ells se conectn tierr, mientrs que en ls restntes existe un potencil contnte de vlor V 0, tl como se indic en ls Figurs. V = V 0 + ) Cuáles son ls condiciones de borde del problem? b b) Clcule un expresión generl pr el potencil entre ls plcs usndo el método de seprción de vribles. Muestre todos los csos posibles e indique el cso que cumplen ls CB. elice el cálculo considerndo que cd ldo ctú por si solo y finlmente superpong ls soluciones encontrds. V =0 V = V 0 V =0 V = V 0 Problem 4.12 Usndo el método de seprción de vribles, clculr el potencil V (x, y) en el interior de un recinto plno como el indicdo en l figur 1, con ls siguientes condiciones de borde: y b V (0, y) = 0; V (x, 0) = 0; V V x = 0; x= y = E 0 y=b x Versión β1.0 - Primver 2014 FCFM - UChile

20 22 CAPÍTULO 1. ELECTOSTÁTICA utor: rchi / grdecimientos: smrquez, lmtelun