Jesús Eduardo Pulido Guatire, marzo Medidas de Tendencia Central.

Transcripción

1 Jesús Eduardo Pulido Guatire, marzo 2010 Medidas de Tendencia Central. Hasta el momento el análisis de datos estadísticos se ha centrado en distribuciones de frecuencias y representación gráfica; este análisis es insuficiente cuando las variables en estudio tienen un nivel de medición igual o superior al de intervalo, en estos casos se necesita, por lo menos, una medida que permita ampliar la descripción de la distribución, como por ejemplo, un valor que sea representativo dentro del conjunto de datos en estudio; un valor que en la distribución se comporte como punto de de equilibrio o centro de gravedad; cualquier medida que cumpla con este propósito se denomina de tendencia central o sencillamente promedio. Entre los promedios más comunes está la media aritmética, la moda, la mediana, la media ponderada, la geométrica y la media armónica. Los cuatro primeros promedios son los de uso más frecuente, razón por la cual se exponen en esta unidad. Media aritmética. Esta medida de tendencia central según autores como (Hamdan-Gonzá, 1994; Levin, 1979; Weinberg y Goldberg, 1982, entre otros) es el promedio que mayormente se utiliza para describir el comportamiento de los valores que toman las variables discretas y continuas. El común del pueblo tiende a magnificar la importancia que tiene el promedio mientras que el profesional de la estadística está consciente de sus limitaciones. El no conocedor de la estadística piensa que en la media aritmética se concentra toda la información recopilada, que es una especie de valor mágico, que se desempeña de manera maravillosa y estupenda en una serie de datos. Esta manera de entender el promedio por algunas personas me remite a lo que sostienen algunos usuarios de la estadística, por lo general, aspirantes a un cargo gerencial en una entidad pública, en momentos dramáticos de su campaña, todos afirman soy el virtual ganador, mi porcentaje de votos está por encima del promedio, esta afirmación pareciera estar asociada con una expresión desleal, si yo me como dos pollos y tú no comes ninguno, hemos comido un promedio de un pollo cada uno. Indudablemente que para el estadístico la media es de suma importancia, porque permite 1

2 evaluar gran cantidad de información cuantitativa una vez que se ordena y sintetiza, ya que ésta es una de las misiones de la estadística: ordenar y resumir la información recolectada; pero para el estadístico profesional el promedio sólo constituye un medio para suministrar información simplificada. Por lo general se dice, y con absoluta razón, que la media aritmética es la que se obtiene al sumar una serie de valores y su resultado se divide entre la cantidad de sumandos; si dividimos 40 entre 8, hemos repartido 40 en 8 partes iguales y cada parte contiene 5 unidades. Dentro de esta idea del reparto de unidades, imaginemos que el ingreso mensual de una familia donde trabajan tres de sus integrantes es Bs. F ,00 (dos millones quinientos mil Bolívares de los antiguos), por lo tanto el promedio mensual del ingreso es de 833,33 Bolívares Fuertes; pero esto no indica que, necesariamente, cada persona gana esta cantidad en el mes, habrá quien gana un poco más y quien gana un poco menos. De lo expuesto, se deriva una conclusión importante: La media representa la totalidad del grupo en estudio así como el valor esperado de cualquiera de los sujetos que se obtenga al azar. Otro de los aspectos que pueden enriquecer la comprensión de la media aritmética, es el relacionado con los promedios de vida, en torno a este tema Alfaro-Salazar (1994) hizo el siguiente análisis: De un promedio de vida de 35 años que tenía todo venezolano, al nacer en 1941, ya para 1968 era de 63; en 1978 de 67,75; y en estos momentos es de alrededor de 75 años (p. 212); si se toma en cuenta el crecimiento del promedio de vida entre el 78 y el 94 no se puede afirmar con certeza (una seguridad del 100%) que quienes actualmente tienen 75 años, por ejemplo, van a morir cuando tengan 82 años, la misma dificultad se presenta si el grupo es muy numeroso. Toda persona con 75 años está sujeta a múltiples contratiempos: infartos, accidentes cerebro vasculares, complicaciones por diabetes, etc., pero cada individuo puede llegar a vivir con plenas facultades hasta el Es evidente que bajo el promedio de vida quedan encubiertas todos los imprevistos señalados y, en consecuencia, no se corresponde con la realidad, sólo se ha convertido en un medio para proporcionar información de una manera más sencilla y comprensible. 2

3 Es conveniente recalcar que la esperanza de vida media tiene gran precisión cuando se trata de un gran número de personas de 75 años, por ejemplo, porque el cálculo se hace para un número aún mayor, pero es de poca utilidad si se trata de una persona. Esto pone de manifiesto que la estadística sólo tiene aplicabilidad en los colectivos, pero no en un caso aislado. Retomemos el procedimiento para hacer el cálculo de la media aritmética y partamos del supuesto que un grupo de estudiantes obtuvo las siguientes calificaciones en Castellano ( i ): 12; 13; 14; 15; 16; siendo i = 1, 2, 3, 4, 5 ; N = 5 La media aritmética viene dada por la sumatoria de las calificaciones entre el número de ellas; i, es decir, N puntos. En conclusión, la calificación promedio alcanzada por los alumnos en Castellano es de 14 puntos. Si el resultado se expresa en términos de desviación o desvío (x) se puede afirmar que alrededor de este valor las desviaciones positivas y negativas se equilibran. Se entiende por desviación la distancia que hay entre cualquier valor de la distribución en estudio y su media aritmética; el resultado se obtiene restando de la media cualquier valor de la serie de donde se obtuvo el promedio, x = - ; En el caso de las calificaciones en Castellano los desvíos son los siguientes: = -2; = -1; = 0; 15 14= 1; = 2. Los resultados indican que las calificaciones 12 y 13 se encuentran a una distancia de 2 y 1 unidad por debajo de la media, respectivamente. De igual manera, la calificación 15 está a una unidad por encima de la media y 16, se encuentra a dos unidades sobre la media. Del ejemplo se desprende que en la medida en que crece la desviación en esa misma medida es más grande la distancia entre la calificación y el promedio. Es necesario aclarar que no es una coincidencia que lo descrito se cumpla para este grupo de calificaciones, estas son propiedades que se cumplen, generalmente, en cualquier serie de valores. 3

4 Reflexionando en torno a la media como punto de equilibrio en una distribución, se observa en el ejemplo que la suma de los desvíos con respecto a su media, que están sobre el promedio, (1 + 2 = 3) es igual a la suma de los valores absolutos (se omite el signo negativo) de las desviaciones que se encuentran por debajo de la media (2 + 1 = 3). Ahora, asumamos que las calificaciones de los alumnos en Castellano fueron las siguientes: 01;13;14;15 y 16; El promedio viene dado por: ,8 puntos; es notorio que el promedio se desplazó hacia la calificación menor (1 Punto), por lo tanto, no cabe duda que la media es sensible a cualquier cambio en los datos de la distribución; si se aumenta o disminuye considerablemente un valor de la serie, el promedio de la distribución aumentará o disminuirá, pero no en la misma cantidad. Esta sensibilidad hay que tenerla en cuenta al utilizar la media aritmética como medida de tendencia central, porque se puede hacer uso inapropiado en aquellas distribuciones con valores atípicos, o cuando se requiera hacer inferencia acerca del promedio de la población, a partir de la media muestral. El procedimiento utilizado para determinar la media aritmética tiene una variante cuando los datos recolectados se repiten una y otra vez, por ejemplo, imaginemos que se aplicó una prueba de Física a una muestra de alumnos y los resultados fueron los siguientes: 14; 11; 13; 16; 11; 12; 10; 13; 15; 14; 15. Según lo descrito anteriormente para encontrar la media habrá que sumar y dividir el resultado entre 11; un procedimiento aconsejable en este caso consiste en construir una distribución de frecuencias para los datos, atendiendo el comportamiento de la frecuencia de cada resultado y determinar la media a través de la siguiente ecuación: a continuación i * fi ; este procedimiento pudiera generar en el lector la siguiente interrogante Cómo se organizan los datos en un cuadro para poder aplicar la fórmula?. Esta interrogante tiene su respuesta en otras que están implícitas en la ecuación, como por ejemplo: Se conoce los i?. Sí se conocen, son las calificaciones n 4

5 obtenidas por los alumnos en la prueba de Física; Dónde se encuentran las f i?, es el número de veces que aparece cada calificación en la prueba; Cómo se obtiene los i * f i?, sencillamente multiplicando cada calificación por su respectiva frecuencia; usted probablemente exclamará todo aparentemente es fácil!! y lo es, pero probablemente le surja otra duda Cómo se logra la expresión i * fi? Muy sencillo, sólo tiene que sumar los productos que obtuvo en el paso anterior y, finalmente, dividir por el número de calificaciones (11, en este caso). De las interrogantes y sus respuestas se concluye que la manera de resolver una ecuación por muy compleja que ésta sea consiste en encontrar de manera razonada cada componente, es decir, viéndolos en la ecuación de adentro hacia fuera; como si observáramos una planta, de la raíz hacia las hojas y no a la inversa, porque esto puede conducir a un resultado de dudosa satisfacción y a una respuesta que puede lucir muy romántica, pero no es pertinente con el objeto de estudio perseguido; algo parecido a lo que, por lo general, ocurre con la búsqueda de respuesta a algunos de los problemas de la vida diaria, se emprende el camino de la solución de las hojas hacia la raíz y lamentablemente la respuesta se queda en la admiración del verdor de las hojas, porque la raíz ni siquiera se palpó y el problema persiste. La parte operativa del caso en estudio se ilustra en la siguiente distribución (calificación obtenida por los alumnos en la prueba de Física): i f i i * f i ,

6 Interpretación; los alumnos lograron una calificación promedio de 13,09 en la prueba de Física. Mediana (Me). Anteriormente se hizo referencia a la sensibilidad de la media aritmética ante cualquier cambio de los datos en una distribución de frecuencias, ante esta situación pudiera surgir la siguiente interrogante Si se presenta una distribución de datos con valores atípicos cómo se describe su comportamiento? En verdad no resulta complicada esta tarea, porque cuenta con una medida de tendencia central que se denomina mediana (Me), la cual se utiliza algunas veces en lugar de la media aritmética, cuando ésta no es adecuada debido a que en la distribución hay datos que se salen de la normalidad. La mediana se define como el valor de la distribución por encima del cual está el 50% de los casos y por debajo el otro 50%, es decir, divide la distribución en dos partes iguales... (Hamdan-González, p. 52). Cuando las variables en estudio pertenecen al nivel de medición ordinal, por intervalos o de razón resulta posible localizar el valor más cercano al centro de la distribución, previa organización de los datos en forma creciente o decreciente, pero no es aplicable si la escala es nominal. Por ejemplo, el siguiente cuadro refleja el comportamiento del color de ojos de un grupo de personas: Cuadro 1 Color de los ojos f i Negro 7 Azul 9 Verde 8 Marrón 12 se Como se puede observar carece de sentido decir, por ejemplo, que las personas con ojos azules ocupan el primer lugar por la importancia del color y los de ojos marrones el último lugar. De igual modo, no es posible acumular la frecuencia, porque qué significado tiene acumular , son colores 6

7 distintos, a lo sumo lo que se puede hacer es calcular el porcentaje de personas con determinado color de ojos, pero el cálculo de la media o la mediana resulta ilógico. Volviendo al caso de las calificaciones de los alumnos en Castellano 01; 13; 14; 15 y 16; el valor de la mediana (Me), según su definición, viene dada por 14, ya que por encima está el 50% de los resultados (15 y 16) y por debajo se encuentra el otro 50% (01 y 13). Del resultado se deduce que la mediana no es sensible a los cambios de los datos en la distribución. Partamos del supuesto que la prueba de Castellano se valoró en puntaje y el obtenido por cuatro alumnos fue el siguiente: 12; 13; 14 y 25; si se desea determinar la mediana se presenta una variante; el centro de la serie está ocupada por dos puntajes (13 y 14) y surge la interrogante De qué forma se elige uno de los dos de manera que divida la serie en dos partes iguales?, ninguno permite partir la serie en dos partes iguales, pero se logra a través de su promedio 13, 5, el 50% de los puntajes está por encima de 13,5 2 y por debajo, se encuentra el otro 50%. Un procedimiento práctico para encontrar la posición de la mediana consiste en ordenar la serie de datos de menor a mayor o viceversa, dividir la serie entre dos y sumar 0,5. Apliquemos el criterio a los dos casos anteriores: Para la primera serie de calificaciones de Castellano la posición de la mediana viene dada por: 5/2+0,5 = 3, es decir, el valor de la mediana está en la tercera posición (14 puntos) Para la segunda serie de calificaciones en Castellano la posición de la mediana queda definida por 4/2+0,5= 2,5; por tanto el valor de la mediana es 13, 5 puntos. Estos dos ejemplos conducen a las siguientes conclusiones: 1. Para determinar la mediana hay que ordenar en forma ascendente o descendente la serie de valores. 2. La posición de la mediana viene dada por el número de casos N dividido entre dos más 0,5 (PMe = 0,5). 2 7

8 Cuando los datos se organizan en función del rol de su frecuencia la mediana se obtiene mediante la siguiente ecuación: Me sr f a N f i p i Donde: Me = valor de la mediana. sr = Límite superior real del valor que toma la variable. fa = Frecuencia acumulada. N = Número de casos de la distribución en estudio. P = 50% ó 0,5, posición según definición de la mediana. f i = Frecuencia absoluta correspondiente. i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana. Para ilustrar la parte operativa de la fórmula vamos a utilizar la distribución de frecuencias de las calificaciones de la prueba de Física. i f i En el cálculo de la mediana la columna de las frecuencias acumuladas juega un papel preponderante; su determinación se hace de conformidad con lo explicado en Distribución de Frecuencia, tal como se ilustra en la tercera columna de la distribución que se presenta seguidamente i f i fa

9 Una vez preparado el cuadro de distribución de frecuencias con su respectiva columna de frecuencias acumulada, el paso siguiente consiste en ubicar la posición de la mediana, la cual viene por el producto de N * p = (11)*0,5 = 5,5; este valor se ubica en la columna de las frecuencias acumuladas y la primera fila que contenga una cantidad igual o mayor a 5,5 ( en este caso es 6) es donde está localizada la posición de la mediana; en esta fila (la cuarta ) está la frecuencia absoluta (2), límite real superior (sr = 13,5) y el intervalo, que en este caso es igual a 1 (11-10=1; 12-11=1;...; 16-15=1). Finalmente, se procede a sustituir estos valores en la ecuación: 6 5,5 Me = 13,5-1 2 Me =13,5-0,25 = 13,25 Interpretación. El 50% de los alumnos que presentaron la prueba de Física lograron calificaciones por debajo 13,25 puntos. La moda o modo (Mo). En la vida cotidiana es frecuente escuchar Alicia siempre está a la moda!, bien porque utiliza determinada vestimenta, peinado, baila cierto tipo de música o porque luce un tatuaje. Una persona es ubicada dentro del rubro moda porque utiliza lo que un gran número de personas usa o ejecuta. En los número también se observa este acontecimiento, sólo que en este caso es utilizado, algunas veces, como una medida de tendencia central y se define como el valor, la clase o categoría que ocurre más a menudo, es decir, con más frecuencia; se utiliza en cualquier nivel de medición, en variables discretas o continuas y con datos numéricos o categóricos; ejemplo, en la información del cuadro que hace referencia al color de ojos se observa que la Moda o Modo son los ojos de color marrón, ahí está concentrado el mayor número de personas (12). 9

10 Ahora observemos el siguiente ejemplo, a un grupo de 42 alumnos se le aplicó una prueba de conocimientos y las puntuaciones obtenidas se ilustran en la siguiente distribución de frecuencias. Cuadro. Distribución de puntajes de la prueba de conocimientos Puntaje en la prueba de conocimientos f i En esta distribución de frecuencias la Moda es 27 puntos porque en esa puntuación se concentró el mayor número de alumnos (14). En estos dos ejemplos (color de ojos y prueba de conocimientos) la Moda se obtuvo por inspección; pese a que hay fórmulas para calcularla este es el procedimiento de mayor uso. Hasta el momento los ejemplos presentan una moda (distribución unimodal), pero algunas distribuciones de frecuencia presentan dos o más modas, tal como se observa en la siguiente distribución. i f i

11 11 1 En esta distribución se observa que 13 y 16 son los que aparecen con más frecuencias (2 cada uno), por lo tanto esta distribución tiene dos Modas (13 y 16) y se le denomina bimodal, si hubiese tenido más de dos Modas, la distribución sería polimodal. En este momento es probable que al lector le surja la siguiente pregunta: Cuando una distribución de frecuencias presenta más de una moda cuál se utiliza para hacer el análisis de los datos? Se utiliza la que tenga el menor valor; este criterio es el utilizado en las salidas (resultados) del Paquete Estadístico para las Ciencia Sociales (SPSS); al pie del cuadro resultante aparece la siguiente leyenda: Existen varias modas. Se mostrará el menor de los valores. En el caso de la distribución de frecuencias de las calificaciones de Física es polimodal, tiene cuatro calificaciones modales (11, 13, 14 15), tal como se ilustra en el siguiente cuadro i f i Para hacer el análisis estadístico de estas calificaciones se elige como calificación modal 11 puntos, atendiendo el criterio antes descrito. Formas de la distribución. Con los valores que se obtienen de la media, mediana y modo se puede evaluar el comportamiento central de diferentes aspectos de una distribución de datos estadísticos; dependiendo de su comportamiento los resultados de estas tres medidas pueden ser iguales o diferentes. Si el valor de la media es 11 igual al de la mediana Me los datos tienen una distribución simétrica; si la media es igual al valor de la mediana e igual al valor del modo Me Mo la distribución es simétrica y unimodal, conocida también como distribución 11

12 normal. Cuando la media es mayor que la mediana ( >Me) la distribución es asimétrica positiva y cuando el valor de la media es menor que el de la mediana ( < Me), la asimetría es negativa. En el caso de la distribución de puntajes en la prueba de Física la es 13,09 la Me es 13,25 y Mo es 11 puntos, por lo tanto la distribución es asimétrica negativa ( < Me) Referencias Bibliográficas Hamdan-González, N (1994). Métodos estadísticos en educación. Caracas: Ediciones de la Biblioteca. Alfaro-Salazar, L. (1994). La prodigiosa vejez del homo sapiens. Caracas: Fondo Editorial Tropykos 12