NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN 1.2. OPERACIONES CON COMPLEJOS

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1 NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN La ecuación x no tiene solución en el cuerpo de los números reales R ya que no existe un número real x tal que x 1. Necesitamos un conjunto que contenga a R, que solucione lo que soluciona R y que, por ejemplo, solucione el problema planteado, tal conjunto es el conjunto de los números complejos C. Se define al conjunto C como C {z a, b) / a, b R}. 1.. OPERACIONES CON COMPLEJOS Definición Sean z 1 a, b), z c, d) C, entonces { a c z 1 z a, b) c, d) b d Definición 1... Sean z 1 a, b), z c, d) C, entonces, la suma de complejos, denotada +, es tal que z 1 + z a, b) + c, d) a + c, b + d) C. Ejemplo Si z 1, 6), z 4, ) entonces z 1 + z, 6) + 4, ), 9). Teorema C, +) es un grupo conmutativo, es decir, 1. z 1 + z + z ) z 1 + z ) + z, z 1, z, z C. Asociatividad de la Suma.. Existe el complejo z N tal que z N + z z + z N z, z C. z N Neutro Aditivo.. z C z op C tal que z + z op z op + z z N. z op Opuesto de z. 4. z 1 + z z + z 1, z 1, z C. Conmutatividad de la Suma. Demostración. 1

2 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA. Sean z a, b), z N x, y) C; imponiendo la condición de neutro tenemos z + z N z, es decir, a, b) + x, y) a, b); debemos determinar x e y, { a + x a a, b) + x, y) a, b) a + x, y + b) a, b) y + b b como este sistema ocurre en R entonces x 0 e y 0, de donde z N 0, 0). Por otro lado, z N + z 0, 0) + a, b) a, b) z. 4. Sean z 1 a, b), z c, d) C entonces, z 1 + z a, b) + c, d) : por la conmutatividad de la suma en R. Es inmediato determinar que a + c, b + d) c + a, d + b) c, d) + a, b) z + z 1 a) z N 0, 0) es único y lo dotamos por 0. b) Si z a, b) entonces z op a, b) es único y lo denotamos por z. Definición 1... Sean z a, b) C, k R entonces, la ponderación del complejo z por el escalar k, denotada kz, es tal que kz ka, b) ka, kb) C. Observación z z, z C, 1 R.. k 1 + k )z k 1 z + k z, z C, k 1, k R.. k 1 k )z k 1 k z), k 1, k R, z C. 4. kz 1 + z ) kz 1 + kz, k R, z 1, z C. Ejemplo 1... Sean z 1, ), z, 4) C entonces z 1 z, ), 4) 5, 14).

3 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO Definición Sean z 1 a, b), z c, d) C, entonces el producto de complejos es tal que z 1 z a, b)c, d) ac bd, ad + bc) C. Teorema 1... Se cumple: 1. z 1 z z ) z 1 z )z, z 1, z, z C. Asociatividad del producto.. Existe el complejo z N tal que z N z z z N z, z C. z N : Neutro multiplicativo.. z C {0} z inv C tal que z z inv z inv z z N. z inv : Inverso multiplicativo. 4. z 1 z z z 1, z 1, z C. Conmutatividad del producto. Demostración. ) Sean z a, b) 0, 0), z N x, y) C, entonces, como debe cumplirse que z N z z tenemos, z N z z x, y)a, b) a, b) xa yb, xb + ya) a, b). Por la igualdad de complejos deducimos el sistema { xa yb a xb + ya b multiplicando la primera ecuación por a y la segunda ecuación por b, sumando obtenemos xa + xb a + b de donde x 1; podemos deducir que y 0, de donde z N 1, 0). Por otro lado, z z N a, b)1, 0) a 0, 0+b) a, b) z. Si z a, 0), z 0, b), z 0, 0) también se cumple 1, 0) z z 1, 0) z, z C. ) Sean z a, b) C {0}, z inv x, y), entonces se debe cumplir que z z inv 1, 0), es decir, se debe cumplir que a, b)x, y) 1, 0); tenemos, a, b)x, y) 1, 0) ax by, ay + bx) 1, 0) { ax by 1 bx + ay 0 multiplicando la primera ecuación por a, la segunda ecuación por b y sumando, obtenemos a x + b x a de donde x a ; usted puede concluir que y b, a +b a +b de donde, el inverso multiplicativo de z a, b) es z inv a b, ). a +b a +b Observación 1...

4 4 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA a) z N 1, 0) es único y lo dotamos por 1. ) b) Si z a, b) 0, 0) entonces z inv a b, es único y lo denotamos por a +b a +b z 1, así, a, b) 1 ) a a + b, b a + b. Observación 1... Definimos el cuociente z 1 z, z 1, z C, z 0 por z 1 z 1.. SUBCONJUNTOS DE C Existen dos importantes subconjuntos de C, a) Complejos reales, denotado C R, tal que C R {z a, b) / b 0} C. z 1 z 1. b) Complejos imaginarios, denotado I, tal que I {z a, b) / a 0} C. Observación Aceptaremos que existe un isomorfismo entre C R y R el cual nos permite identificar el complejo real a, 0) con el real a, así, a, 0) a.. En los complejos imaginarios, la unidad imaginaria es i 0, 1). Potencias de i Se cumple, a) i 0, 1). b) i 1 ya que i i i 0, 1) 0, 1) 1, 0) 1. c) i i. d) i 4 1. e) con n, p N. i si n 4p + 1 i n 1 si n 4p + i si n 4p + 1 si n 4p Observación C no es ordenado. Haremos la demostración por reducción al absurdo. Supongamos que C es ordenado, entonces existe C + C tal que,

5 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 5 a) z 1, z C + { z 1 + z ) C + z 1 z C + b) z C se cumple sólo una de las siguientes, i) z C + ii) z C + iii) z 0. Sea i 0, 1) C {0} y supongamos que i C +, entonces por a) i 1 C +, así, por a) 1) 1) 1 C +, es decir, 1 y 1 C + ). Por otro lado si suponemos que i C +, entonces por a) i) i 1 C +, así, por a) 1) 1) 1 C +, es decir, 1 y 1 C + ). Luego, C no puede ser un conjunto ordenado.. Si p R entonces p i p C. En efecto, sea p x, y) donde p p, 0) entonces p, 0) x, y)x, y) es decir p, 0) x y, xy), de aquí concluimos que { p x y 0 xy De la segunda ecuación concluimos que x 0 y 0, notamos que y 0, ya que si y 0 entonces p x, 0) x R esto es una contradicción), luego x 0. Como x 0 entonces, reemplazando en la primera ecuación del sistema obtenemos p y es decir, y p R, luego y p R; finalmente p 0, p) i p COMPLEJOS EN FORMA CANÓNICA Sea z a, b) C entonces la forma canónica del complejo es z a + bi. En efecto, z a, b) a, 0) + 0, b) a, 0) + b, 0)0, 1) a + bi OPERATORIA CON COMPLEJOS CANÓNICOS La suma, producto y ponderación por escalar se realiza como si ellos fuesen polinomios, considerando las potencias de i. Por ejemplo, 5 4i) + i) i 8i 1i i i. La división de complejos en forma canónica se efectúa, amplificando por el conjugado +i del complejo divisor, por ejemplo, 4+5i +i 4+5i 4 5i 4 5i ; al efectuar las multiplicaciones obtenemos 8 10i + 1i 15i 8 10i + 1i 15 1) 16 5i ) + i i

6 6 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA 1.6. CONJUGADO DE UN COMPLEJO Definición Sea z a, b) C, definimos el conjugado del complejo z, denotado z como z a, b) C. Teorema Para todo z 1, z C se cumple, 1. z) z.. z 1 + z z 1 + z.. z 1 z z 1 z. 4. ) z1 z z 1 z, z z + z a, z z a + b si z a, b). Demostración. 1. Si z a + bi entonces z a bi de donde z) a + bi z.. Si z 1 a + bi, z c + di entonces z 1 + z a + c) + b + d)i de donde z 1 + z a + c) b + d)i a bi) + c di) z 1 + z. 5. Si z a, b) entonces z + z a, b) + a, b) a, 0) a; por otro lado z z a, b)a, b) a + b, 0) a + b. Notación Sea z a+bi un número complejo entonces la parte real de z, denotada Rez) es a Rez) y la parte imaginaria de z, denotada Imz) es b Imz). Ejemplo Determine z C {0} tal que z z. Solución. Sea z a + bi entonces, imponiendo la condición obtenemos a + bi) a bi, a + bi) a bi a + abi + b i a bi a b ) + abi a bi { a b a 1) ab b )

7 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 7 De ) y suponiendo que b 0 obtenemos a 1 ; reemplazando en 1) conseguimos ) 1 b 1, de aquí concluimos que b ±, entonces los complejos que se obtienen son z 1 + i, z 1 i. Si b 0 entonces reemplazando en 1) conseguimos a a, de donde a 0, a 1; como no puede ocurrir que a 0 entonces el complejo que se determina, ahora es z 1. Ejemplo Si z a + bi, determine irez) Imiz). Solución. Como iz ia + bi) ai + bi b + ai entonces irez) Imiz) ia a i NORMA O MÓDULO DE UN COMPLEJO Definición Sea z a, b) a + bi un número complejo entonces, la norma del complejo, denotada z es tal que z + a + b. Teorema Para todo z 1, z C se cumple, 1) z 0. ) z z. ) z z z ó z z z. 4) z 1 z z 1 z. 5) z 1 z z 1 z, z 0. 6) Rez) z, Imz) z. 7) Rez) z+ z z z, Imz). 8) z 1 + z z 1 + z. 9) n z i n z i. i1 i1 Demostración. Demostración de la propiedad 8). z 1 + z z 1 + z ) z 1 + z ) z 1 + z ) z 1 + z ) z 1 z 1 + z 1 z + z z 1 + z z z 1 + Re z 1 z ) + z z 1 + z 1 z + z z 1 + z ).

8 8 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Sacando raíz cuadrada conseguimos lo pedido. : Rez) Rez) z. : z 1 z +z 1 z Rez 1 z ) FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO Considere el número complejo z a, b) a + bi, entonces definimos el argumento de z, denotado argz) θ, como aquel ángulo θ, 0 θ π, tal que θ arctan b a) ; además, si r z a + b concluimos que la forma trigonométrica de z es z rcosθ) + i senθ)). Ejemplo Escriba en forma trigonométrica los siguientes números complejos, a) z 1 + i. b) z i. c) z + i. d) z 4 i. e) z 5 i. f) z 6.

9 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 9 Solución. a) Como a, b entonces r + ; por otro lado, el complejo está en el primer cuadrante, de donde θ arctan b a) arctan1) 45, así entonces z 1 + i cos45 ) + i sen45 )). b) Como a, b entonces r ) + ) ; por otro lado, el complejo está en el tercer cuadrante, de donde θ arctan b a) arctan1) 5, así entonces z i cos5 ) + i sen5 )). c) z + i cos15 ) + i sen15 )). d) z 4 i cos15 ) + i sen15 )). e) z 5 i cos90 ) + i sen90 )) ya que el complejo está en el eje Y y el argumento es, inmediatamente, θ 90. f) z 6 cos180 ) + i sen180 )) OPERATORIA CON COMPLEJOS TRIGONOMÉTRICOS Teorema Sean z 1 r 1 cosθ 1 ) + i senθ 1 )), z r cosθ ) + i senθ )) dos complejos, entonces, a) z 1 z r 1 cosθ 1 ) + i senθ 1 )) r cosθ ) + i senθ )) r 1 r cosθ 1 + θ ) + i senθ 1 + θ )). b) c) z 1 z r 1cosθ 1 ) + i senθ 1 )) r cosθ ) + i senθ )) r 1 r cosθ 1 θ ) + i senθ 1 θ )); z 0. z n [rcosθ) + i senθ))] n r n cosnθ) + i sennθ)); n N. Observación El teorema en su parte a) y b) se demuestra con ayuda de las identidades trigonométricas: senα ± β) senα) cosβ) ± cosα) senβ).. La parte c) del teorema se demuestra usando inducción y se llama Teorema de De Moivre.. Si z rcosθ) + i senθ)) 0 entonces:

10 10 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA a) 1 z cos0 ) + i sen0 ) rcosθ) + i senθ)) 1 cos θ) + i sen θ)) r 1 cosθ) i senθ)). r b) 1 z n 1 cosnθ) sennθ)). rn Ejemplo Calcule 1 + i) 4. Solución. Como z 1 + i cos15 ) + i sen15 )) entonces, [ i) 4 cos15 ) + i sen15 ))] ) 4 cos4 15) + i sen4 15) ) 1 cos5670 ) + i sen5670) ) 1 cos ) + i sen ) ) 1 cos70 ) + i sen70 )) 1 i. Ejemplo Escriba en forma a + bi la expresión ) i i Solución. Escribimos cada complejo en su forma trigonométrica, los dividimos, aplicamos el Teorema de DeMoivre y listo. 10 ) 6 ) + 10i 5 + 5i i i 5 ) 6 cos45 ) + i sen45 )) 0cos0 ) + i sen0 )) [ 5 ] 6 0 cos45 0 ) + i sen45 0 )) [ ] 6 4 cos15 ) + i sen15 )) ) 6 cos90 ) + i sen90 )) i) 1 51 i.

11 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 11 Definición Sea z C {0}, n N, n > 1. Decimos que w C es una raíz n-ésima de z si y sólo si w n z. Observación Si denotamos w n z entonces w n z w n z. Ejemplo Verifique que w i, w 1 1 i, w 1 son raíces cúbicas de 1. Solución. Debemos demostrar que wi 1, i 1,,. Como w i cos10 ) + i sen10 ) entonces, usando el teorema de De Moivre obtenemos w 1 [cos10 ) + i sen10 )] cos60 ) + i sen60 ) 1. De manera análoga, w 1 1 ) i cos40 ) + i sen40 )) cos70 ) + i sen70 ) RAÍCES DEL COMPLEJO z rcosθ) + i senθ)) 0 Las n raíces n-ésimas del complejo z rcosθ) + i senθ)) 0 son w k n r cos ) θ+k 60 n + i sen θ+k 60 )) n, donde k 0, 1,,..., n 1. Observación Note que w n k [ n r cos θ+k 60 n n r ) n cos θ+k 60 n rcosθ) + i senθ)) z. ) + i sen θ+k 60 ))] n n n ) + i sen θ+k 60 n n )) Ejemplo Calcule las tres raíces cúbicas de 8. Solución. Como z 8 8cos180 ) + i sen180 )) entonces, con k 0, 1,. 8 8cos180 ) + i sen180 )) w k 8 cos ) 180 +k 60 + i sen 180 )) +k60, Si k 0 entonces w 0 cos60 ) + i sen60 )) i ) 1 + i. Si k 1 entonces w 1 cos180 ) + i sen180 )) 1 + 0i).

12 1 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Si k entonces w cos00 ) + i sen00 )) 1 1 i ) 1 i, así, i 1 i Ejemplo Determine m, n R tal que z 1 + i sea raíz de la ecuación z 5 + mz + n 0. Solución. Si z 1 + i entonces z cos45 ) + i sen45 )) de donde z 5 [ cos45 ) + i sen45 ))] 5 ) 5 cos5 ) + i sen5 )) ) ) 5 i 4 4i, z [ cos45 ) + i sen45 ))] ) cos15 ) + i sen15 )) ) ) + i + i. De z 5 + mz + n 0 obtenemos 4 4i) + m + i) + n 0 + 0i es decir, obtenemos { 4 m + n m 0 Como m, si reemplazamos este valor en la ecuación 4 m + n 0 conseguimos n 8. Ejemplo Calcule el valor de 1 + w) w ) 9 si, w es raíz cúbica de 1 y distinta de la unidad. Solución. Ya hemos visto en un ejemplo anterior, las tres raíces cúbicas del 1; las dos raíces distintas del 1 son w i; w 1 1 i, sin embargo, no conviene reemplazar cada una de estas raíces en la igualdad planteada, nos conviene realizar el calculo de la siguiente manera. Como w es raíz cúbica de 1 entonces w 1, de aquí obtenemos w 1 0, factorizando tenemos w 1)w + w + 1) 0.

13 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 1 Como w 1 entonces w + w así, 1 + w w y 1 + w w entonces 1 + w) w ) w ) + w) 9 w 6 w 9 w ) w ) FORMA EXPONENCIAL La ecuación e iθ cosθ) + i senθ) que define a e iθ, θ R, se conoce como la fórmula de Euler; así, z rcosθ) + i senθ)) re iθ. Observación Se puede demostrar que a) e iθ1 e iθ e iθ 1+θ ). b) e iθ) n e inθ. Ejemplo Calcule 1 i). Solución. 1 i) e 7π 4 i) e 161π 4 i. Ejemplo Demuestre que: a) cosθ) eiθ +e iθ. b) senθ) eiθ e iθ i. Solución. a) eiθ +e iθ cosθ)+i senθ)+cos θ)+i sen θ) cosθ). b) Se demuestra de manera análoga. Ejemplo Demuestre que sen θ) 4 senθ) 1 4 senθ).

14 14 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Solución. sen θ) e iθ e iθ ) i e iθ ) e iθ ) e iθ + e iθ e iθ) e iθ ) 1 8i 8i e iθ e iθ 4 i 8i e iθ e iθ + e iθ e iθ) e iθ e iθ) 1 e iθ e iθ) 8i 1 e iθ e iθ 4 i 4 senθ) 1 4 senθ) 1.1. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1.1. Determine los números reales x e y tal que x+)+iy ix+5y 7+5i. Resp. x 11, y Ejercicio 1.. En los siguientes ejercicios reduzca a la forma a + bi. a) + 5i) i) 4 + 7i) b) + i)5 i) 4 + 5i 5 ) c) d) 5 i 4 + i + + 5i i 45 i)4 + 6i) e) f) 5 + i)1 + i) i [ i 7 + i) + 4i) + i ] Ejercicio 1.. Si z a + bi, determine, i) Rez) iimiz). Resp. i. ii) [1 Rez) + iimz)] [1 Rez) iimz)]. Resp. 1 + a + b a. Ejercicio 1.4. Si z i, z + i, z 1 i, calcule, a) z 1 + z + b) z 1 iz c) z 1 + z d) z 1 + z 1 + z. Ejercicio 1.5. Represente en el plano, a) {z C / Rez) }. Resp. Recta de ecuación x. b) {z C / 1 Rez), 0 Imz) }.

15 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 15 c) {z C / z 1}. Resp. Círculo con centro en 0, 0) y radio menor o igual a 1. d) {z C / z i 4}. e) { z C / Rez 1) ) Rezz 1)) }. Resp. Hipérbola 1 x y. { } f) z C / z + 1)z + 1) + Rez + 1) 0. Ejercicio 1.6. Determine Rep) e Imp) si p es a) z, b) i z, c) z, donde z a + bi donde ab 0. Resp. a) Rep) a ab, Imp) a b b ; b) Rep) b a +b, Imp) a a +b. Ejercicio 1.7. Determine z C tal que a) z z 1 + i. Resp. i. b) z + z + i. Resp. 4 + i. c) z z + z z) 4 i. Resp. ± 15 1 i. d) z z + z + i. Ejercicio 1.8. Evalúe las siguientes expresiones a) i)5 + 4i)1 + i). Resp b) + i) + 4i)5 i) 4i)5 + i). Resp. 5. c) + 5i)5 i) 5 + i i. Resp. 4. Ejercicio 1.9. Demuestre que z C : z z. Ejercicio Encuentre los números complejos z que satisfacen las dos relaciones siguientes, z 1 z 8i 5 y z 4 z 8 1. Resp. z i, z 6 + 8i.

16 16 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio La suma de dos números complejos es + i. La parte real de uno de ellos es. El cuociente entre ellos es imaginario puro. Hallar ambos números. Resp. z ) i, z ) i ; z ) i, z ) i. Ejercicio 1.1. Analice si se cumplen las siguientes igualdades, a) + i) 4i 1 b) 1 + i ) 4 1 i. Ejercicio 1.1. Verifique si el número complejo z 1 i satisface la ecuación z z 1. Ejercicio Demuestre que, a) z z) 0, z C. b) Si z z entonces z R Rez) 0. Ejercicio Determine z C tal que z 1 z 1 z. Resp. z 1 + i, z 1 i. Ejercicio Resuelva { 1 + i)z iu + i + i)z + i)u i donde z, u C. Resp. z 6 9i 1, u 16+11i 1 Ejercicio Si w + 1 w ) R, w C, demuestre que Imw) 0 w 1. Ejercicio Si z, w C y z 1, demuestre que z+w z w+1 1. Ejercicio Calcule a) z w si z+w z w 1 + 4i tal que z, w C. Resp. 5 b) 1 si z 4i, u 4 + i. z + 1 u.

17 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 17 c) 1 z z si z i. Resp Ejercicio 1.0. Calcule a) ) 1 i 1 b) 1 + i ) 10 1 i Ejercicio 1.1. Usando De Moivre y Teorema del Binomio demuestre que a) senθ) senθ) 4 sen θ). b) cosθ) 4 sen θ) cosθ). Ejercicio 1.. Exprese en forma a + bi a) z 7 + 4i. b) z i 5+5i ) 6. c) z 6 + i 1. Resp. z ± ± 1 i. d) z 11 60i. Resp. z 5 6i, z 5 + 6i. e) S i i) 7. Ejercicio 1.. Si w 1 es una raíz cúbica de 1 verifique si a) 1 + w ) 4 w. b) 1 w + w )1 + w w ) 4. c) + w + 5w ) Ejercicio 1.4. Demuestre que a) 1 + i) n n cos nπ 4 ) + i sen nπ 4 )), n N. b) i ) n n cos nπ 6 ) + i sen nπ 6 )), n N. Ejercicio 1.5. Verifique que 1 + i) 1 + i ) cosθ) + i senθ)) [ cos 7π 1 + θ) + i sen 7π 1 + θ)].

18 18 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio 1.6. Calcule, usando forma trigonométrica a) + i ) 1 + i). b) 1 + i ) 1 i). c) 1 i 1+i. d) i i. e) 1 i) 10. f) + i ) 6. g) 1 i) i). h) 5+5i i. i) 1 + i) 4. Ejercicio 1.7. Resuelva, a) i b) 4 4i c) 4 1. Ejercicio 1.8. Encuentre las 5 raíces quintas de la unidad. Ejercicio 1.9. Resuelva la ecuación z 6 iz 1 0, z C. Ejercicio 1.0. Si x n + iy n 1 + i ) n, n N, demuestre que x n 1 y n x n y n 1 n. Ejercicio 1.1. Demuestre que 1 + i ) n + 1 i n nπ ) n+1 cos ). Ejercicio 1.. Sea z 1 una raíz n-ésima de la unidad. Demuestre que para todo natural distinto del uno se cumple 1 + z + z + + z n 1 0. Ejercicio 1.. Resuelva la ecuación a) x i 0 b) x 6 + 7x 8 0. Ejercicio 1.4. Sea x n + iy n 1 + i ) n. Demuestre que xn + x n 1 0. Ejercicio 1.5. Si z n 1)! + n!i y w 1 + ni, pruebe que zw n 1)!1 + n ).